ного бруса. С полученным брусом поступим так, как поступали ранее с рамами. Построим эпюру М (фиг. 11.21,6) изгибающих

моментов от заданной нагрузки и эпюру М (фиг. 11. 21,б) от си­ лы—единицы, приложенной в направлении искомого перемеще­ ния. Затем, «перемножив» эти эпюры по Верещагину [см. форму­ лу (13) § 3] по участкам (умножая площадь участка из одной эпюры на соответствующую ординату из другой) и разделив сум­ му полученных произведений на жесткость EJ балки, найдем искомый прогиб. При этом, поскольку участки в обеих эпюрах прямолинейны, безразлично, из какой из них брать площади δ

и ординаты т для перемножения (но, беря площадь из одной, ординату следует брать из другой).

Чем короче будут прямые участки ломано­ го бруса, заменяющего действительный криво­ линейный брус, т. е. чем больше их будет, тем точнее будет решена задача. Наиболее корот­ кими должны быть участки в местах наиболь­ шей кривизны оси заданного бруса (в рассмот­ ренном примере — вблизи защемления) и, на­ оборот, в местах малой кривизны (в рассмот­ ренном примере — у свободного конца бруса, где он приближается к прямому) участки могут

быть длиннее. При достаточно коротких участках получающиеся трапеции эпюр оказываются близкими к прямоугольникам и тогда могут быть при вычислениях приближенно приняты за прямо­ угольники, что облегчит вычисление.

Если бы брус был переменного сечения (фиг. 11.22), то ре­ шение следовало бы выполнить по формуле (17), т. е. построить эпюру М, разделив ее ординаты, как в предыдущем примере (фиг. 11. 20,в), на моменты инерции J соответствующих сечений

бруса, и построить эпюру — . Затем эту эпюру следует «перемно­

отношение радиуса кривизны оси бруса к его высоте (h на фиг. 11.22) меньше 5, указанный выше метод расчета, учитывающий только изги­ бающие моменты и не учитывающий продольные и поперечные силы, неприменим, так как дает значительную погрешность. С теорией кри­ вого бруса большой кривизны можно ознакомиться по любому учеб­ нику «Сопротивление материалов» для втузов. В настоящей книге теория кривого бруса большой кривизны не рассматривается.

§ 6. Расчет на жесткость

Расчетом балки называется подбор ее поперечного сечения. Выше в гл. IX рассматривался расчет балки на прочность, т. е. подбор ее сечения по допускаемому напряжению. Расчетом бал-

382

ки на жесткость называется подбор ее сечения по допускаемому прогибу. Ход расчета покажем на примере.

Пусть дана балка, лежащая на двух опорах, нагруженная сосредоточенной силой по середине (фиг. 11.23,а) . Модуль упру­ гости материала балки (сосна) равен 100 000 кг/см2. Поперечное сечение квадратное. Определить сторону а поперечного сечения, исходя из условия, что максимальный прогиб балки не должен превышать 0,5 см.

Приравнивая его к нашему значению 1000 см4, получаем-^- =

1000, откуда а=10,5 см. Таким образом, чтобы наша балка прогибалась при данной нагрузке не болбе чем на 0,5 см, ее сечение должно быть не менее 10,5X10,5 см. Произведенный подбор сечения и называется расчетом балки на жесткость.

Проверим прочность нашей балки. Для этого определим нормальное напряжение з (см. гл. IX) и сравним его с преде­ лом прочности. Наибольшее нормальное напряжение опреде­

ляется по формуле °т„ = - “ р · В нашем случае Л4тах= ^ - =

383

Если бы мы хотели уменьшить запас прочности, то следовало бы уменьшить размеры сечения балки. Но это невозможно, так как тогда уменьшилась бы жесткость балки и прогиб превысил бы допускаемое значение его. Расчет на жесткость часто приво дит к большим размерам сечения, чем расчет на прочность (как это мы видели и выше, при расчете валов на кручение).

Задача. Определить необходимый момент инерции сечения консоли (фиг. 11. 23,6), чтобы прогиб ее не превышал 1 см. Пред­ полагая, что консоль имеет круглое сечение, определить ее диаметр в двух случаях: 1) сплошного бруса и 2) трубы с тол щиной стенки 2 мм. Сравнить вес консоли в этих двух случаях. Модуль упругости материала £=700 000 кг/см2 (дуралюмин). Ответ: 7=180 сж4; ^ = 6 ,5 см; ci2=10,5 см; отношение весок равно 5.

§ 7. Деформация фермы

Мы рассмотрели в данной главе деформацию балок и рам, т. е. стержней, работающих преимущественно на изгиб. При этом мы пользовались в общей формуле (10') (см. § 2) только первым слагаемым [формула (10)], пренебрегая вторым и третьим, так как они в случае балок и рам очень малы по сраи нению с первым слагаемым.

В случае же фермы, т. е. конструкции, стержни которой ра ботают* преимущественно на растяжение или сжатие (а при шарнирных узлах и узловой нагрузке стержни фермы работают, как мы знаем, только на растяжение или сжатие), пренебрегать последним слагаемым нельзя, а наоборот, можно пренебречь первым и вторым слагаемыми.

Формула для определения перемещений в фермах имеет та ким образом вид

ΝΝΔχ

(19)

E F

Здесь под δ подразумевается любое перемещение любого узла или сечения стержня. Знак суммы, как всегда, означает суммирование по всей системе. Напомним, что через N обозна­ чены усилия в стержнях фермы, вызываемые заданной нагруз­

кой, а через N — усилия в стержнях той же фермы, вызываемые силой, равной единице, приложенной к узлу, перемещение кото­ рого нужно определить, в направлении искомого перемещения или парой с моментом, равным единице, если ищется угловое перемещение. £ — модуль упругости материала, £ — площадь поперечного сечения стержня.

Формулу (19) можно выразить по Верещагину так ([ср. с формулой (15)]:

(20)

S

384

где Q — площадь эпюры продольных сил N стержня,.а т — ор­

дината эпюры N.

Сумма (20) содержит количество слагаемых, равное количе­ ству s стержней в ферме, что отмечено индексом 5 при знаке суммы.

Рассмотрим один какой-либо стержень фермы. Пусть он растянут силами N (фиг. 11. 24,а). Эпюра N имеет вид прямо­

стержня фермы. Поэтому вместо формулы (20) можем написать

Ν Ν Ι

(21)

ЕЕ '

Обычно материал всех стержней один и тот же, поэтому модуль упругости Е, как постоянная величина, может быть вы­ несен за знак суммы 21:

двумя силами Р±= 3 т и Р2—1 т, требуется определить переме­ щение $веРГ узла & по вертикали. Площади поперечных сечений поясов равны 5 см2, решетки — 3 см2 (см. третий столбец табли­ цы 10). Длины стержней приведены в таблице. Материал — мяг­ кая сталь; модуль упругости £ = 2 -1 0 8 кг/см2. Податливостью опор пренебречь.

Усилия N в стержнях фермы, вызываемые приложенной к ней нагрузкой, были определены в гл. II и приведены во втором столбце таблицы.

Усилия N в стержнях фермы, вызываемые силой, равной единице, приложенной в узле С вертикально (в соответствии с искомым перемещением), выписаны в пятом столбце табл. 10. Определение их графически показано на фиг. 11.25. Сперва были определены реакции опор; из условий равновесия полу­ чены ^ = 2 и RB = 1 — реакции изображены на чертеже. Затем было выполнено построение диаграммы усилий — фиг. 11.25,6 (порядок построения диаграммы усилий изложен в гл. II* § 7).

Последний столбец таблицы служит для вычисления суммы

У в х о д я щ е й в формулу (22). Суммируя этот столбец, ·“ ■ F

386