=— 1592 кг.

§7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм

Равнодействующая системы сил, как было показано в гл. I, § 5 (фиг. 1.7), замыкает многоугольник, составленный из этих сил. Следовательно, если система сил является уравновешенной (а при этом равнодействующая всех сил равна нулю), то силовой многоугольник будет замкнутым. На этом основаны графические способы определения усилий в стержнях ферм, также широко распространенные и во многих случаях представляющие преиму­ щества перед рассмотренными выше аналитическими методами. Графические способы являются по существу применением метода сечений, причем условия равновесия используются в графической форма

Вернемся к способу вырезания узлов, но вместо составления уравнений равновесия для узла будем пользоваться сформулиро­ ванным выше графическим условием равновесия, также позво­ ляющим, как мы увидим, определить два неизвестных усилия в каждом узле.

В кронштейне, состоящем из двух стержней 1 и 2 (фиг. 2. 28), внешняя сила Р=200кг уравновешивается усилиями стержней 1 и 2. Стержень 1 растянут, т. е. его усилие Nj направлено от узла; стержень 2 сжат, его усилие N2 направлено к узлу. Если все три силы Р, Nx и N2, сходящиеся в узле, отложить в виде век­ торов в одинаковом масштабе друг за другом, то они образуют замкнутый треугольник сил (фиг. 2.28,6). Отрезок АВ, направ­ ленный вниз, изображает силу Р = 200 кг в масштабе, показанном на фиг. 2. 28,в. Отрезок ВС, параллельный стержню 2, изобра-

60

жает усилие стержня 2, и отрезок СА — усилие стержня 1. Уси­ лия и N2, измеренные на чертеже в том же масштабе, составят соответственно 400 и 450 кг. Направление усилий в силовом тре­ угольнике АВСА совпадает с направлением обхода периметра против часовой стрелки. Оно может быть и обратным (как, на­ пример, на фиг. 2. 28,г), но направления отдельных усилий от этого не меняются. Как видим, направления усилий совпадают с действительными в обоих вариантах силовых треугольников. Век­ тор ВС (фиг. 2. 28,6) направлен так же, как усилие N2, и вектор СА — так же, как усилие Nt.

Фиг. 2. 28. Определение усилий в двухстержневом узле графически.

(фиг. 2. 28,6) в виде вектора АВ, затем через начало и конец это­ го вектора проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2 , уси­ лия в которых нужно определить. Получаем нужный нам тре­ угольник сил АВС, стороны которого ВС и СА равны усилиям N2 и Nx в том же масштабе, в каком была отложена сила Р. Направ­ ления усилий в треугольнике определяются направлением силы Р.

В случае нескольких сил решение не меняется. Рассмотрим за­ дачу, подобную предыдущей, но с большим количеством извест­ ных сил в узле. Силы Рг, Р2 и Р3 (фиг. 2. 29) известны по направ­ лению и по величине. Требуется определить усилия в стержнях

уравновешивают друг друга. Отсюда получаем следующий по­ рядок решения задачи. Откладываем, соблюдая параллель­ ность, известные силы Рі, Р2 и Рз цепочкой в любой последова­ тельности, но в одном и том же масштабе, причем так, чтобы силы были направлены одна вслед за другой по периметру получае-

61

мого многоугольника (фиг. 2.29,6). Точка А есть начало по­ строения. Отложив силы Ри Р2 и Р3, приходим в точку В. Прово­ дя затем, как и в предыдущем случае, через точки А и В прямые, параллельные стержням 1 и 2, находим усилия Ni и N2. Направ­ ления их в силовом многоугольнике определяются направлением известных сил: все силы направлены по периметру в одну и ту же сторону. Полученные направления усилий Nі и N2 переносим на чертеж узла (фиг. 2.29,а). Усилие направлено от узла, следовательно, стержень 1 растянут, а усилие N2— к узлу, стер­ жень 2 сжат. Величины усилий берем по масштабу. Построение

Фиг. 2.29. Случай действия нескольких сил на двухстержневой узел.

а — схема узла и нагрузки; б — многоугольник равновесия.

встрежнях: А/і= 580 кг, N2= —480 кг.

Ди а г р а м м а у с и л и й . Для графического расчета приме­

няют особый способ обозначения стержней и усилий. Обозначим цифрами или буквами поля — участки площади чертежа между стержнями и силами (см. пример на фиг. 2. 30,а). Тогда стержни и усилия будут обозначаться номерами прилегающих полей. На­ пример, стержень СЕ обозначится 62 (шесть — два) или 26, а его усилие — Νβ2. Сила Pt будет называться силой 12, реакция опо­ ры В — силой 34 и т. д .!.

Ферма, показанная на фиг. 2. 30,а, является простейшей, но произвольные направления стержней и нагрузок усложняют ана­ литическое решение. Поэтому целесообразно воспользоваться графическим методом. Последовательно вырезая узлы, применим способ, изложенный выше.

Первым рассмотрим узел Е, где имеется два неизвестных уси­ лия Ν3β и Ν2%.С других узлов начать нельзя: в узле D — три, а в

1 При большом числе стержней в случае цифрового обозначения по­ лей обозначение стержней пишут, разделяя номера полей знаком тире, например. 12-24 и т. д. В этих случаях иногда удобно применять бук­ венные обозначения.

62

узле С — четыре неизвестных. На фиг. 2. 30,6 изображен сило­ вой треугольник равновесия для узла Е. Сперва отложена изве­ стная сила Р-2 в виде отрезка 32 (в соответствии с новым прави­ лом обозначения); из ее концов проведены до их взаимного пе­ ресечения прямые, параллельные стержням 36 и 26 (стержни DE и СЕ на фиг. 2. 30,а); через точку 3 проведена прямая 36, парал­ лельная стержню 36, а через точку 2 — прямая 26, параллельная стержню 26. Стрелкам дано замкнутое течение. Полученные на­ правления усилий Л/36 и N2о переносим на чертеж узла

У противоположных концов этих стержней проставляем стрелки обратных направлений.

Переходим к узлу D. Здесь два неизвестных усилия — ЛЛ,5 и ІѴ05. Отложим сперва известное усилие Nw (фиг. 2. 30,в). Затем, проводя из его концов прямые, параллельные стержням 35 и 65, найдем усилия М35 и Ν6$. Полученные направления усилий пока­ зываем стрелками у узла D. У узлов В и С на фиг. 2. 30,а простав­ ляем стрелки обратного направления. Переходя к узлу С, имеем

Мы рассмотрели здесь метод вырезания узлов, причем для удобства объяснения многоугольник равновесия для каждого узла

63

В диаграмме направления усилий стержней не указываются стрелками, так как каждая сторона диаграммы выражает одновременно два взаимно противоположных усилия, относящихся к двум противоположным концам стержня. Направление усилия определяется, если мысленно восстановить многоугольник равно­ весия соответствующего узла.

Рассмотрим теперь ферму на двух опорах. На фиг. 2. 31,а изо­ бражена плоская ферма, левая опора А которой является под­

С

стержнях фермы при нагрузке двумя силами Р^ЗООО кг и Р2= = 1000 кг.

Определим реакции опор графическим путем. Для этого най­ дем точку С пересечения направлений сил Рг и Р2 и произведем здесь графическое сложение этих сил. Масштаб показан на фиг. 2.31,6. Полученная равнодействующая R должна уравнове­ ситься двумя реакциями опор. Если три силы взаимно уравнове­ шивают друг друга, то их направления пересекаются в одной точ­ ке; направление реакции А вертикально, оно пересекается с на­ правлением силы R в точке D, следовательно, через эту же точку проходит и направление реакции В. Отложив силы Рг и Р2 на фиг. 2.31,6 (в соответствии с нумерацией полей, принятой на фиг. 2. 31,а, эти силы обозначены цифрами 12 и 23), проведем ли­ нии 14 и 34 параллельно направлениям реакций А и В до их пе-

64

ресечения в точке 4. Полученные отрезки 14 и 34 изображают реакции опор. Замкнутый многоугольник 12341 есть многоуголь­ ник внешних сил.

Перейдем к определению усилий в стержнях фермы. Начнем с узла Е. Так как узел Е не нагружен и содержит только два стержня, усилия в обоих стержнях равны нулю (см. фиг. 2. 19,а). Следовательно, на диаграмме усилий (фиг. 2.31,6) точка 9 сов­ мещается с точкой 3. Чтобы определить точку 8, проведем через точку 9 прямую, параллельную стержню 98, а через точку 2 — па­ раллельную стержню 28; пересечение этих прямых дает точку 8. Далее определяем точку 7, проводя прямые, параллельные стерж­ ням 87 и 47, через имеющиеся точки 8 и 4 (фиг. 2. 31,6), соответ­ ствующие полям, граничащим с полем 7 (фиг. 2. 31,а). Затем та­ ким же путем находим точку 6, исходя из соседних полей 7 и 2, и точку 5, исходя из полей 6 и 1. Соединяя теперь точку 5 с точ­ кой 2, получаем последнее усилие N25; направление этого усилия должно быть параллельно направлению стержня 52, что служит проверкой правильности и точности построения диаграммы.

Направления усилий показаны на фиг. 2. 31,а. Они определены в результате рассмотрения многоугольников равновесия узлов. Например, к узлу А примыкают поля 4, 1, 5, 6 и 7 и в нем сходят­ ся пять сил, которые образуют на фиг. 2.31,6 силовой много­ угольник 415674. Направление силы 41 (реакция А) известно; отсюда определяются направления всех остальных усилий, так как они должны итти по многоугольнику в одну сторону: усилие 15, следовательно, направлено вправо, к узлу, т. е. стержень 15 сжат; усилие 56 — вниз, тоже по направлению к узлу; усилие 67— к узлу, а усилие 74 — от узла. Усилия сжатия иногда показы­ вают на диаграмме жирными линиями, усилия растяжения — тон­ кими. Значения усилий, измеренные по масштабу на диаграмме, приведены в следующей таблице.