§ 5. Более сложные случаи расчета

О б щ и й с л у ч а й н а г р у з к и . П р и б л и ж е н н ы й р а с ч е т . В случае сложной нагрузки площадь эпюры моментов трудно вычислить и тем более затруднительно определить ее центр тяжести. В таких случаях применяют приближенное ре­ шение, поясняемое следующим примером. Пусть эпюра изги­ бающих моментов М для некоторой балки постоянного сечения выражается произвольной кривой (фиг. 11.16). Разобьем пло­ щадь этой эпюры произвольно вертикалями на отдельные участки.

Фиг. 11.16. Замена криволинейной эпюры ступенчатой.

Если участков возьмем достаточно много, то площадь каждого из них можно будет приближенно вычислить как площадь пря­ моугольника и центр тяжести его считать находящимся по сере­ дине участка. В целях повышения точности расчета следует брать участки тем меньше, чем круче в данном месте линия, ограничивающая эпюру М, как это и сделано на фиг. 11.16. Тогда замена кривой ступенчатой линией происходит с меньшими погрешностями. Обозначим попрежнему площади участков че­ рез Si, S 2, S 3..., центры тяжести их через Си С2, С3... и соответ­

ствующие им ординаты из эпюры М — через mv m,, т3...

Эпюра М на фиг. 11. 16 взята произвольно; она может быть ломаной, но на протяжении каждого участка эпюры М она долж­ на быть прямолинейной. Это следует учитывать сразу при раз­ бивке эпюры М на участки.

376

Искомое перемещение найдем по правилу Верещагина, перемножая площади 2 и ординаты т:

тями: путем резкого изменения сечения через некоторые интер­ валы по длине (фиг. 11. 17,а) и путем непрерывного изменения сечения (фиг. 11. 17,6). Первый тип будем называть брусом сту-

377

т. е. бруса, состоящего из нескольких участков постоянного сече­ ния (см., например, кроме фиг. 11.17,а, также фиг. 11. 17,в и 11. 18,а). Формула Верещагина для этого случая имеет вид

Знаменатели EJ различны. Поэтому произведя «перемножение» эпюр по Верещагину по участкам, следует результат на каждом участке делить на жесткость EJ данного участка. Полученные

момента, равного единице, приложенного в том сечении, угол поворота которого нужно определить; «единичная» эпюра на каждом участке прямолинейна.

Поясним рассматриваемый случай на примере (фиг. 11. 18,а). Момент инерции поперечного сечения балки на первом участке равен / 1( на втором — / 2, на третьем — J3. В пределах каждого участка момент инерции постоянен. Требуется определить про­ гиб конца консоли. Построим эпюру М изгибающих моментов

от заданной нагрузки (фиг. 11. 18,6) и «единичную» эпюру М (см. фиг. 11. 18,в и г). Эпюру М разобьем на участки так, чтобы на протяжении каждого участка момент инерции сечения был

постоянным и эпюра М прямолинейной. Так как эпюра М пря­ молинейна в данном случае на всем протяжении консоли, раз­ биваем эпюру М на три участка соответственно трем участкам балки с различными жесткостями. Определяя затем площади Ω

378

и ординаты т (см. фиг. 11. 18,6 и г), по формуле (15) получим искомый прогиб.

Б р у с н е п р е р ы в н о - п е р е м е н н о г о с е ч е н и я . Мы рассмотрели брусья ступенчато-переменного сечения. Но часто балки имеют непрерывно-переменное сечение. Сечение лонже­ рона крыла, например, непрерывно меняется по размаху крыла. Для приближенного вычисления перемещений сечений таких ба­ лок также может быть применен изложенный выше метод рас­ чета. При этом балку непрерывно-переменного сечения заменяют балкой ступенчато-переменного сечения (см. фиг. 11. 19,а и б). Искомое перемещение опреде­ ляется затем общим путем по формуле Верещагина. Иногда такая замена проводится неяв­ ным путем. Производят пред­ варительное деление ординат

на ординаты т из эпюры М и результаты делят на Е. Оба указанных способа по сути одинако­

вы. Приведем пример расчета по второму способу.

Пусть дана балка переменного сечения (фиг. 11.20,а), за­ щемленная одним концом, для которой требуется определить при заданной нагрузке прогиб на свободном конце. Построим эпюру изгибающих моментов М от заданной нагрузки. Вид эпю­ ры будет зависеть от характера распределения и величины на­ грузки; на фиг. 11.20 эта эпюра показана условно. Наметим произвольно несколько сечений нашей балки. Для определения прогиба лонжерона крыла, например, достаточно таких сечений взять пять-шесть. На фиг. 11. 20 эти сечения обозначены циф­ рами 1, й, 3, 4, 5. Расстояния между сечениями можно брать большими на тех участках балки, где нагрузка и поперечное сечение балок меняются незначительно, и, наоборот, меньшими там, где поперечное сечение балки (в рассматриваемом примере вблизи конца консоли) или нагрузка изменяются быстро. Если эпюра М имеет переломы (в местах приложения сосредоточен­ ных сил эпюра М будет иметь переломы), то сечения рекомен­ дуется принимать в местах этих переломов (чтобы облегчить

379

соответственно на Jlt У2, У3...—моменты инерции сечений балки.

построена и вся эпюра -у- (см. фиг. 11.20), причем тем точ­

нее, чем больше вычислено значений ординат.

Затем построим эпюру М от единичной силы. В данном слу­ чае единичная сила должна быть приложена вертикально на конце консоли (где оты­ скивается прогиб). При­ мем ее направленной вниз (на фиг. 11.20 единичная сила не показана). Полу­

чаемая эпюра М изобра­ жена на фиг. 11.20,3. Те­ перь для того, чтобы най­ ти значение искомого прогиба у, нужно пло-

М

щадь ш эпюры — умно­

жить на ординату т эпю­

ры М, соответствующую центру тяжести площади, и результат разделить на Е, т. е.,

нимаемых за трапеции или даже'прямоугольники) на соот­ ветствующие ординаты эпюры М (см. фиг. 11.20,в и г). Значе-

380

ния площадей шь <о2, <о3...и ординат т1г тг, т3... можно взять из чертежа. Таким образом получим

ю\ГП-\-<*>3т3-\-и>3т3+ . . .

(17)

Е

Так же поступают в том случае, когда эпюра М является ло­ маной.

дение площади ω эпюры — на соответствующую ординату т из эпюры Λί:

женного силой Р и парой сил М. Пред­ ставим себе вместо нашего криволинейного бруса брус, состоя­

щий из прямолинейных участков (фиг. 11.21,6), но такой, чтобы его ломаная ось была близкой к криволинейной оси действитель-

381