- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
той же |
площади сечения, если они изгибаются |
в вертикаль |
||||||
ной плоскости одинаковым моментом Л4=Ш00 кгм. |
|
|
||||||
По |
табл. |
9 находим |
для двутавра |
F = 21,5 |
см3 и TF= |
|||
= 102 |
см3. |
Нормальные |
напряжения |
будут |
σχ = - 1 |
= |
||
= 980 кг(см2. |
|
|
|
|
примерно |
|||
В табл. 7 для круглых труб подбираем сечение |
||||||||
такой же площади, как и двутавр. Останавливаемся |
на трубе |
|||||||
с диаметрами 120ХІ08лш . Площадь ее сечения |
|
21,488 смг |
||||||
и'момент сопротивления |
Wz= 58,36 см3. Наибольшие |
напря- |
||||||
жения |
трубы |
100 000 |
= 1710 кг\см2. |
„ |
превосходят на- |
|||
σ2 = ----- ;— |
Они |
|||||||
|
|
58,36 |
|
|
|
|
|
|
пряжения двутавра в — = ^ ^ = 1,75 раза. Труба |
имеет менее |
|||||||
рациональное сечение, чем двутавр. |
|
|
|
|
|
§ 7. Касательные напряжения при изгибе
Сначала рассмотрим балку сплошного прямоугольного сече ния. В § 1 предыдущей главы (фиг. 8. 4) установлено, что в по перечных сечениях балки, помимо нормальных напряжений, возникают также и касательные напряжения т. В § 3 той же главы было отмечено, что касательные напряжения при изгибе зависят от поперечной силы Q. Как они изменяются по сечению, еще неизвестно, но предварительно можно принять два предпо ложения: 1) касательные напряжения направлены параллельно
поперечной силе Q, от которой они |
зависят в данном сечении; |
2) по ширине сечения касательные |
напряжения распределены |
равномерно.
К а с а т е л ь н ы е н а п р я ж е н и я в п р о д о л ь н ы х се ч е н и я х . При наличии напряжений τ в поперечных сечениях балки в ее продольных сечениях, параллельных нейтральному слою, согласно закону парности, также появляются касательные напряжения. Наличие напряжений в продольных сечениях на глядно показывает следующий простой опыт. Возьмем балку, составленную из двух брусьев прямоугольного сечения, поло женных друг на друга и заделанных одним концом (фиг. 9. 21,а). Если изогнуть ее вертикальной силой Р, то каждый брус изогнет ся отдельно и крайние нижние волокна АВ верхнего бруса удли нятся, а соприкасающиеся с ними верхние волокна CD нижнего бруса сократятся. По плоскости раздела произойдет продольное смещение точек одного бруса относительно соответствующих то чек другого бруса, и в результате крайнее сечение верхнего бру са выдвинется относительно крайнего сечения нижнего бруса (фиг. 9.21,6). Произойдет продольное смещение, аналогичное смещению листов тетради или книги, если, удерживая за коре шок, изогнуть их подобно изгибу консоли. Такое же смещение по-
284
лучается вследствие того, что в плоскости соприкасания между брусьями отсутствуют силы взаимодействия, а силы трения малы и легко преодолеваются. Если взять балку такого же сечения, но не составленную из двух брусьев, а целую, положим, склеив меж ду собой оба бруса, то, во-первых, изогнуть ее будет значительно труднее, а во-вторых, ее средние волокна АВ и CD совпадут с нейтральным слоем и не будут ни удлиняться, ни сокращаться,
и крайнее сечение на всю вы
соту будет |
лежать в одной |
||
плоскости |
(фиг. |
9. 21,в). |
|
В этом |
случае продольному |
||
смещению |
точек |
слоя АВ |
|
верхней |
половины |
относи- |
Фиг, |
9.21. Касательные |
напряже |
Фиг. 9.22. |
Закон |
парности |
|||||||||
ния |
в продольных сечениях балки. |
иежду касательными |
напря |
|||||||||||
а — балка |
составлена |
из |
двух |
жениями в продольных и по |
||||||||||
перечных |
сечениях |
балки. |
||||||||||||
брусьев; б — при изгибе |
происхо |
|||||||||||||
дит смещение точек верхнего бру |
тельно |
смежных |
точек |
слоя |
||||||||||
са относительно |
нижнего по |
по |
||||||||||||
верхностям АВ |
и CD·, в — при из |
CD нижней |
половины |
ме |
||||||||||
гибе |
балки |
того же сечения, но |
шают |
силы |
взаимодействия |
|||||||||
из одного бруса среднее волокно |
||||||||||||||
АВ (или CD) не изменяет своей |
между частицами материала |
|||||||||||||
длины; |
г — касательные |
напряже |
обеих |
половин |
балки. |
Эти |
||||||||
ния |
в |
продольном сечении, |
уни |
силы |
и |
будут |
уничтожать |
|||||||
чтожающие |
удлинение |
волокна |
||||||||||||
АВ и сжатие волокна CD. |
удлинение |
|
волокон |
АВ и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сжатие |
волокон |
CD. Раз |
резая балки на две части продольным сечением АВ, к каждой половине мы должны приложить обнаруженные силы взаимодей ствия, создаваемые касательными напряжениями τ' (фиг. 9. 21,г). По ширине балки они распределяются равномерно, потому что верхняя и нижняя части смещаются друг относительно друга на одинаковую величину по ширине. Это ясно видно в крайнем се чении. Таким образом наше второе предположение о равномер ности касательных напряжений по ширине не противоречит ха рактеру деформации балки при изгибе.
Если сделать поперечное сечение с уступом, как показано на фиг. 9. 22, то одновременно с напряжениями τ, возникающими
285
в вертикальных гранях, обнаруживаются по закону парности такие же по величине и противоположные по направлению ка сательные напряжения τ' в продольных гранях. Их величина в продольном сечении, проведенном на расстоянии у от нейтраль ного слоя (фиг. 9.22), равна величине напряжений τ в точках поперечного сечения на том же уровне у. На верхней и нижней наружных поверхностях касательные напряжения τ' отсутствуют, потому что на поверхности балки отсутствуют касательные силы. Следовательно, и напряжения τ в поперечных сечениях у верх-
л
него и нижнего края, на расстоянии у = — от нейтрального слоя,
должны быть равны нулю. Это указывает на неравномерность распределения касательных напряжений по высоте балки.
§ 8. Определение касательных напряжений
Прежде чем приступить к выяснению закона изменения ка
сательных напряжений по сечению, докажем |
предварительно |
|
одну теорему, необходимую для определения |
величины |
τ. |
З а в и с и м о с т ь м е ж д у п о п е р е ч н о й с и л о й |
и из |
|
г и б а ю щ и м м о м е н т о м . Выделим двумя |
поперечными се- |
Фиг. 9.23. Зависимость между поперечной силой и изгибающим
моментом.
а — малый участок длиной Ах, выделенный из балки близкими по перечными сечениями /—/ и 2—2; б— схема равновесия сил, дей ствующих на выделенный участок А х балки.
чениями 1— 1 и 2—2 малый участок балки длиной А.ѵ (фиг. 9. 23,а). Для удобства вывода выбираем этот участок так, чтобы и поперечная сила и изгибающий момент были положи тельные. При отрицательных значениях Q и М направления со ответствующих им напряжений изменяются на обратные. В се чении 1—1 внешние силы, действующие на левую отбрасываемую часть балки, заменяются поперечной силой Q, направлен ной вверх, и изгибающим моментом М1. В смежном ему сече нии 2—2 силы правой части заменяются такой же силой Q, направленной вниз, и изгибающим моментом М„. Величина Q при отсутствии нагрузки в пределах участка Ах остается посто янной, а М увеличивается вследствие увеличения расстояния х.
286
Разность между М^ и М2 равна приращению изгибающего мо мента ΔΜ при переходе к смежному сечению на расстояние Δχ. Это приращение можно найти из условия равновесия, которое представим в виде суммы моментов всех сил, приложенных к выделенному участку δ χ , относительно центральной оси правого сечения, проходящей через точку О (фиг. 9.23,6):
Σ м = Q b x + М х — M t = о,
откуда
|
|
|
|
|
Δ* |
|
Δχ |
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' ’ |
||
Приращение изгибающего момента, отнесенное к прираще |
|||||||||||
нию |
длины, равно |
поперечной |
силе |
в данном |
сечении |
балки. |
|||||
Эта |
зависимость |
справедлива |
и в |
|
|
|
|
|
|||
тех случаях, когда |
Q — переменная |
|
|
|
|
|
|||||
величина. |
ф о р м у л ы к а с а |
|
|
|
|
|
|||||
В ы в о д |
|
|
|
|
|
||||||
т е л ь н ы х |
н а п р я ж е н и й . Чтобы |
|
|
|
|
|
|||||
установить |
закон изменения |
напря |
|
|
|
|
|
||||
жений X по поперечному сечению и |
|
|
|
|
|
||||||
найти |
их |
величину, |
проще |
всего |
|
|
|
|
|
||
определить |
равные |
|
им напряжения |
|
|
|
|
|
|||
τ' в каком-нибудь слое на расстоя |
|
|
|
|
|
||||||
нии у от нейтрального. Для этого |
|
|
|
|
|
||||||
проведем продольное сечение АВ и |
Фиг. 9.24. |
Элемент, |
выделен |
||||||||
отсечем на |
участке |
Δχ (фиг. |
9. 23) |
ный |
ия малом |
участке балки |
|||||
элемент с прямоугольными гранями |
тремя |
взаимно |
перпендикуляр' |
||||||||
размером: |
— у |
) |
по высоте, |
дх |
|
ными сечениями. |
|||||
|
|
|
|
|
по длине и b по ширине в направлении, перпендикулярном пло скости чертежа. Полученный элемент вырезан только тремя се чениями: 1—А, А—В и В—2\ его четвертая грань 1—2 является наружной поверхностью балки и свободна от напряжений. Усло вия равновесия элемента требуют, чтобы сумма проекций всех приложенных к нему сил на ось балки равнялась нулю. На эту ось проектируются нормальные напряжения аг и σ2, возникаю щие в вертикальных гранях (фиг. 9.24), а также касательные напряжения τ' в продольной грани АВ. Напряжения х, возникаю щие в вертикальных гранях, не дают проекции на ось балки и на чертеже не показаны. Для наглядности вырезанный элемент изо бражен на фиг. 9. 25 в перспективе. Чтобы составить уравнение проекций, вычислим усилия, действующие на грани элемента. Ка сательные напряжения х' в горизонтальной грани распределены равномерно по площади bt±x и дают касательную силу Т= = χ'6Δχ. Необходимо отметить, что ширину b нужно брать на уровне слоя, в котором вычисляется величина х'. Это важно для сечений, у которых ширина b изменяется по высоте.
287
Нормальные напряжения распределяются неравномерно по высоте сечения. На каждую малую площадку Δ/7, взятую на расстоянии у ' от нейтрального слоя на левой грани, прихо дится малая сила a ^ F . Эти силы распределены по всей пло щади боковой грани элемента, составляющей только часть поперечного сечения. Суммируя их по этой части сечения,
т. е. давая расстоянию у ' все значения от у до —·, находим
продольную силу ΛΓ1 = Σσ1Δ/7. Напряжения 3j на уровне у'
Фиг. 9.25. Общий вид выделенного из балки элемента с напряжениями, которые проектиру ются Н4 горизонтальную ось.
зависят от изгибающего момента Мх в сечении 1 — 1 (фигу-
ра 9.23,6) по формуле (4): a ^ ^ j - y '. Подставим их в выра-
м,
жение равнодействующей и вынесем за знак суммы -у- как
величину, постоянную для всего сечения. Тогда получим
Сумма распространяется только на боковую грань элемента и представляет собой статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной от
jt
2
уровня у |
до |
края |
балки. Обозначим его S = ^ y ^ F |
и будем |
|
|
S |
у |
|
помнить, |
что |
меняется в зависимости от |
расстояния |
уот нейтральной оси до слоя, в котором вычисляются
напряжения τ'. Продольная сила левой грани элемента
равна N x = ^ j S . |
В правой грани нормальные напряжения бу |
|
дут несколько |
больше, потому что |
> Мх (фиг. 9. 23, б). |
288
Аналогично получаем продольную силу правой грани УѴ2 =
=S.
./
Статический момент 5 имеет ту же величину, что и для N v Теперь напишем уравнение проекций на горизонтальную ось Τ + ΝΛ—/Ѵ2 = 0. Подставляя найденные выше значения, имеем
■ z 'b ^ x + ^ i - S — ^ - 5 = 0.
Отсюда находим |
J |
J |
|
М 2 — М х |
S |
||
|
|||
‘ — |
χ |
Jb ' |
|
Но по формуле (16) м , - м 2 — Q. |
Произвецем эту замену и |
χ
окончательно получим
(17)
Формула касательных напряжений применительно к балке прямоугольного сечения впервые была выведена русским инже нером Д. И. Журавским в 1855 г. По ней вычисляют касатель ные напряжения как в продольных, так и в поперечных сече ниях и применяют не только для прямоугольного сечения, но и вообще ко всем балкам со сплошным сече нием любой формы (фиг. 9. 26). Необходимо обратить внимание, что при вычислении по этой формуле нужно брать статический мо мент относительно нейтральной оси площади только части сечения, расположенной между уровнем у и верхним или нижним краем (на фиг. 9.26 верхняя часть заштрихована), и подставлять ширину Ь, взятую на уровне у.
По высоте сечения произвольной формы ка сательные напряжения изменяются в зависи мости от статического момента S и от ши
рины Ь, а эти величины зависят от у. Для наиболее удаленных, крайних точек сечения при г / = г / ті1х, выше которых нет заштри хованной площади (фиг. -9.26), статический момент S обра щается в нуль, а следовательно, и напряжения - в этих точках также равны нулю. То же самое было установлено нами ранее на основании закона парности касательных напряжений. С умень шением расстояния у вышележащая заштрихованная площадь увеличивается, и статический момент S возрастает. Наибольшей величины он достигает при у = 0 для точек, расположенных на уровне нейтрального слоя; при переходе в другую половину се
чения в сумму S = £ y '\F |
будут добавляться произведения г/'Δ/7 |
|
противоположного |
знака, |
и статический момент начнет умень |
шаться. Он станет |
равен |
нулю для крайних нижних точек, по |
19 |
Основы строительной механики |
289 |
|
тому что выше этого уровня будет лежать вся площадь сечения, статический момент которой относительно ее центра тяжести всегда равен нулю. Таким образом при изгибе балки в край них точках поперечного сечения касательные напряжения рав ны нулю, а нормальные имеют наибольшую величину; в точках, близких к нейтральному слою, наоборот, касательные напря жения наибольшие, а нормальные малы и в нейтральном слое равны нулю. Распределение напряжений τ по высоте, зависящие от изменения и статического момента S и ширины сечения Ь, раз
лично в различных по очертанию сечениях. Общую эпюру распределе ния τ для всех сечений, как это было сделано для о, построить нельзя. Эпюра τ устанавливается для каж дого вида сечения отдельно.
|
|
|
К а с а т е л ь н ы е |
н а п р я ж е |
|||||
|
|
ния |
в |
п р я м о у г о л ь н о м |
се |
||||
|
|
чении. |
Возьмем сечение балки в |
||||||
|
|
виде прямоугольника высотой h и |
|||||||
Фиг. 9.27. |
Эпюра касательных |
шириной b (фиг. 9.27). |
Чтобы |
оп |
|||||
ределить |
касательные |
напряжения |
|||||||
напряжений |
для прямоугольного |
||||||||
|
сечения. |
в |
какой-нибудь точке |
на |
высоте |
||||
|
|
у |
от |
нейтрального слоя, |
прежде |
всего вычислим статический момент 5 заштрихованной площади, равной b — у 1. Для этого умножим ее на рас стояние
от ее центра тяжести С до нейтральной оси 0 0 ;
Мт-'ЖІ+*К(^-4
Вынесем |
fjt |
|
и |
bh* |
( |
4y*\ |
в фор |
за скобки |
подставим S = — |
11— |
|||||
мулу (17), |
принимая |
во |
внимание, что для |
|
прямоугольника |
||
|
, |
Ь№ „ |
|
|
|
|
|
момент инерции У = — . Тогда касательные напряжения в за |
|||||||
висимости |
от расстояния у |
будут выражаться |
так: |
|
x _ Q S nQ — 11 —Ю = — — fl —
Jb |
ЫіѢ 8 l |
Λ* / |
2 b h \ |
Λ* / ■ |
Полученное уравнение показывает, что τ зависит от квад рата расстояния у, следовательно, величина касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения меняется «о закону квадратной параболы (фиг. 9.27). У верхнего и ниж-
290
него краев сечения при у = ± -у - касательное напряжение
получается равным нулю. Наибольшей величины оно дости гает в точках на ней тральной оси при у = 0:
Q_
τmax (18)
2 F
Наибольшее касательное напряжение в прямоугольном се чении в полтора раза больше его среднего значения, вычис ленного в предположении равно мерного распределения х по сече
нию по формуле тср = -^-·
у, |
К р у г л о е |
с е ч е н и е . |
По оси |
|
||||||
совпадающей с плоскостью |
на |
|
||||||||
грузки (фиг. 9.28), касательные на |
|
|||||||||
пряжения |
круглого сечения |
изме |
|
|||||||
няются |
в |
зависимости не |
только |
|
||||||
от |
статического момента S, но и |
|
||||||||
от |
изменения |
ширины Ь. Пели вы |
Фиг. 9.28. Эпюра касательных |
|||||||
разить |
S u b |
через |
расстояние у |
|||||||
напряжений и их направление в |
||||||||||
до |
нейтрального слоя |
и составить |
круглом сечении. |
|||||||
уравнение |
для определения |
х, |
то |
|
получится, что вдоль оси в плоскости нагрузки касательные на пряжения круга изменяются по квадратной параболе (фиг. 9. 28), как ив прямоугольнике. Наибольшие χ возникают в точках се чения, лежащих на нейтральной оси. Чтобы их найти, достаточно
подсчитать |
статический |
момент |
площади |
|
половины сечения. |
||
Для этого |
|
|
|
|
|
|
1 |
нужно половину площади круга (фиг. 9.28), — —, |
|||||||
умножить |
|
|
|
2d |
от центра |
сечения до центра |
|
на расстояние с= — |
|||||||
|
|
|
|
Ък |
|
|
|
тяжести половины круга. Тогда |
|
|
|
||||
|
|
~ |
8 |
3ΪΓ |
12 ' |
|
(19) |
|
|
|
|
||||
Подставляя в формулу (17) полученное значение S, момент |
|||||||
|
, |
πά* |
|
|
|
, |
, |
инерции круга J = — и ширину сечения |
Ь = а, находим |
||||||
|
|
64 |
|
QS_ |
JI6 _Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Jb |
3 πά* |
|
|
|
|
|
|
πά* |
через F, |
окончательно полу |
|
Обозначая площадь круга — |
|||||||
чаем напряжения |
на уровне |
нейтрального слоя в виде |
|||||
|
|
|
τ |
= ! £ |
|
(20) |
|
|
|
|
“ЗХ 3/? |
|
19* |
291 |
Во всех точках круглого сечения, исключая точки, лежащие на нейтральной оси, помимо касательных напряжений, парал лельных плоскости нагрузки, возникают также касательные на пряжения, перпендикулярные к ней. Это очевидно из того, что полные касательные напряжения в точках, лежащих на наруж ном контуре сечения, должны быть направлены по касательной к линии контура (см. фиг. 6. 10). Таким образом полные напря жения будут действовать, как показано на фиг. 9. 28. Это поло жение имеет место для всех сечений, отличных от прямоуголь
ного или |
составленного из прямоугольников, |
расположенных |
|||||
|
|
так, чтобы одна сторона каж |
|||||
|
|
дого из них была параллель |
|||||
|
|
на плоскости нагрузки. |
|||||
|
|
В практических |
расчетах |
||||
|
|
сплошных сечений или сече |
|||||
|
|
ний |
с |
толстыми |
стенками |
||
|
|
обычно учитывают только те |
|||||
|
|
составляющие |
касательного |
||||
|
|
напряжения, которые парал |
|||||
|
|
лельны плоскости изгиба. |
|||||
|
|
Пример |
1. |
Найти наи |
|||
|
|
большие нормальные и каса |
|||||
|
|
тельные |
напряжения в про |
||||
Фиг. 9.29. Эпюры усилий и напряжений |
стой |
балке |
прямоугольного |
||||
для простой балки от равномерной |
сечения, |
6Х/г = 4Х12 см, на |
|||||
|
нагрузки. |
груженной |
равномерной на |
||||
|
|
грузкой <7 = 1 2 0 |
кг/м, распре |
||||
деленной по всему пролету /=2,4 м (фиг. 9. 29). |
|
|
|
||||
Построив эпюры Q и М, найдем, что наибольшая попереч |
|||||||
ная сила |
возникает в опорных |
сечениях |
|
|
|
|
120-2,4 = 144 кг,
2
аизгибающий момент — по середине балки
М= qP 120-2,4* = 86,4 кгм.
8 8
Момент сопротивления прямоугольного сечения равен
W-. |
ЬИ1 4-12' пс |
о |
|
- = - |
- = 96 |
см3. |
|
|
6 |
|
|
Наибольшие нормальные напряжения возникают по середине пролета в крайних точках сечения 7 — 7:
м_ 8640 = 90 кг/см3.
W96
Вэтом сечении касательные напряжения отсутствуют, так как
292
0 = 0. |
Наибольшие |
касательные напряжения будут вблизи |
|||||
опор |
в сечениях 2 — 2 на уровне нейтрального слоя: |
||||||
|
3 |
Q |
3-144 |
. с |
, |
|
„ |
|
t = — |
— |
= ------ = 4.5 |
кг |
см2. |
||
|
2 |
F |
2-4-12 |
|
' |
|
равны нулю, пото |
В этих сечениях нормальные |
напряжения |
||||||
му что Λί = 0. На фиг. |
9.29 изображены |
эпюры τ и а в со |
ответствующих сечениях. Во всех остальных сечениях балки они будут меньше. Этот пример показывает, что в прямо угольной балке касательные напряжения получаются малыми
по сравнению |
с нормальными. При |
т |
|
|
|
|
изгибе балок сплошных и толстостен |
|
|
|
τ |
||
ных сечений |
расчет производится |
|
|
|
||
главным образом по нормальным на |
«у |
|
|
|
i ? |
|
пряжениям. |
|
£ |
|
|
|
|
Пример 2. |
Определить нормальные |
d*7 |
|
1 |
||
и касательные |
напряжения в опасном |
|
|
|
~ ^ t --и и |
|
сечении двутавровой балки № 20а дли |
|
|
|
|||
ной /=1,5 м, если она заделана одним |
|
Ь =ЮОлім· |
|
i |
||
концом в стену и нагружена силой Р = |
|
!-«*------ Ή |
|
|||
= 2000 кг на свободном конце в пло |
Фиг. |
9.30. |
Размеры дву |
|||
скости стенки двутавра. |
|
тавра |
№ |
20а. |
Опасное сечение балки будет у за
делки, где Q =P = 2000 кг и изгибающий момент M — Pl= 2000Х X 1,5= 3000 кгм. По табл. 9 § 5 настоящей главы находим разме ры сечения (фиг. 9.30), его площадь F= 35,5 см*, момент сопро тивления №=237 см3 и момент инерции 7=2370 см*. Нормальные напряжения в крайних точках опасного сечения равны
М |
ЗоО 000 , огс. |
, „ |
" —------ ---------- — 1266 кг/см2. |
||
W |
237 |
|
Чтобы найти наибольшие касательные напряжения, |
||
возникающие в точках |
нейтральной оси |
ОО, вычислим ста |
тический момент площади полусечения |
относительно ОО. |
Эту площадь разбиваем на площадь полки, приблизительно
равную |
прямоугольнику (b — d )t = (10— 0,7) |
1,14=10,6 см2 |
||
и площадь |
половины стенки — d — 10- 0,7 = |
7,0 см2. |
Рас- |
|
стояния |
их |
2 |
|
будут |
центров тяжести· до нейтральной оси |
—-----—= 10— 0,57 = 9,43 см и — — = 5 см. Статический мо-
2 |
2 |
2 |
2 |
|
мент полусечения |
|
см3. |
||
|
5 = |
%y'&F= 10,6-9,43 + 7-5=135 |
||
Ширина сечения |
по нейтральной |
оси равна |
толщине стенки |
|
<7 = 0,7 см. Подставляя найденные |
значения |
в формулу (17), |
получаем касательные напряжения в точках по нейтральной оси опасного сечения
QS 2000-135
163 K Z j C M 2 .
лъ 2370-0,7
293