книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

потери устойчивости первого, второго, третьего и четвер того рода соответственно:

[Р(ЯГ3 + Я?) — 2ЯГ3]2 thcath Л г 3 — 4ЯГ3 (1 — Р)*th ю X

221

Заметим, что в уравнениях (IX.37) — (IX.40) в качес1 ве неизвестной величины введено Aj — удлинение вдол; оси oxlt которое согласно соотношений (III.88) связано ■ удлинением вдоль оси охя. Уравнения (IX.37) — (1Х.4( остаются в силе и для материала с потенциалом типа Муни только в этом случае под величиной р, входящей в уравне ния, следует понимать величину р, определяемую из форму лы (VI.37). Таким образом, для тел с потенциалом типа Тре= лоара и типа Муни пространственная задача о внутренней неустойчивости слоистого материала при равномерном сжа­ тии в плоскости слоев сводится к решению уравнений (IX.37) — (IX.40). Получить точное решение этих уравнен ний за исключением асимптотических случаев не представ-i ляется возможным, поэтому для их решения применим чи-j сленные методы и ЭВМ.

§ 12. Результаты решения характеристических уравнений

Характеристические уравнения (IX.37) — (IX.40) для четырех форм потери устойчивости исследовались числен­ ными методами при помощи ЭВМ. В результате были полу­ чены решения этих уравнений для р = 2; 5; 20 и 100, а

также h/h{l) = 0,1; 0,5; 5; 10; 20 и оо [21. На рис. 20—25 при­ ведены частично результаты решения характеристических уравнений (IX.37) — (IX.40) в виде зависимости корня А,

от параметра ©О) = xfe h О) для различных значений пара­

метров Р и Л/Л<*>. Кривые, соответствующие различным фор­ мам потери устойчивости, отмечены цифрами, совпадающи­ ми с номером формы потери устойчивости. Из рис. 20—23 следует, что для рассматриваемой компоновки материала возможна потеря устойчивости структуры (внутренняя не­ устойчивость), так как кривые, соответствующие формам потери устойчивости первого и второго рода, имеют макси­ мум, который лежит выше кривых, соответствующих фор­ ме потери устойчивости третьего и четвертого рода. Из рис. 24—25 следует, что для рассматриваемых компоновок материала невозможна внутренняя неустойчивость (потеря устойчивости структуры), хотя кривые, соответствующие форме потери устойчивости второго рода, и имеют макси­ мум, однако этот максимум лежит ниже монотонных кривых,

222

соответствующих форме потери устойчивости первого рода. При этом будет происходить потеря устойчивости по фор­ ме, длина волны которой определяется геометрическими параметрами элемента конструкции. В случае существова­ ния внутренней неустойчивости длина волны формы потери устойчивости соответствует максимуму значения корня уравнений (IX.37) — (IX.40).

В рассмотренных примерах при всех значениях р и h/W>— = 0,1; 0,5 и 5 внутренняя

потеря устойчивости не возникала. Полученные числовые результаты позволяют сделать следующие выводы.

1.Внутренняя потеря устойчивости (неустойчивость в структуре материала) реализуется не при любых компо­ новках материала. Она возникает, когда менее жесткие слои значительно толще более жестких слоев (при малой концен­ трации наполнителя).

2.В случае существования внутренней неустойчивости результаты расчета для форм потери устойчивости с перио­ дом, равным периоду структуры, и с периодом, вдвое боль­ шим периодом структуры (формы потери устойчивости пер­ вого и второго рода), совпадают или отличаются незначи-

223

тельно. Критическая нагрузка, вычисленная по форм* потери устойчивости с периодом структуры (формы потере устойчивости первого рода), не меньше критической на* грузки, вычисленной по форме потери устойчивости с nei риодом, вдвое большим периода структуры (форма потери устойчивости второго рода). <

3. Критические значения параметра ^ и соответствую-i щие значения параметра вол-1 нообразования со»1» в случае существования внутренней не-» устойчивости (потери устой-.

Рис. 22

чивости структуры) можно с достаточной точностью опреде­ лить, заменив слои связующего полупространствами.

Замечания об уточнении выводов, изложенные в парагра­ фе 6 данной главы, остаются в силе и для пространственных задач. Кроме того, следует отметить, что характеристиче­ ские уравнения (IX.37) — (IX.40) можно получить непо­ средственно из уравнений (IX.20) — (IX.24), если в по-,

следних заменить К — ЯГ2/3; а — ю и а*1*— ю(1>.

224

** *

Результаты, изложенные в настоящей главе, могут быть использованы для объяснения механизма разрушения ар­ мированных материалов. Одним из выводов в этом направ­ лении является то обстоятельство, что прочность при сжа­ тии армированных материалов определяется сдвиговой же­

поверхностной неустойчивости слоистых материалов, не­ устойчивости материалов с искривленными слоями, а также задачи при различных нагрузках для слоистых тел Q уп­ ругими потенциалами различных типов.

Устойчивость слоистых материалов при точной поста­ новке для малых и больших докритических деформаций рас­ сматривалась в работах [2, 4, 7, 13].

225

Г л а в а X

УСТОЙЧИВОСТЬ волокнисты х СЖИМАЕМЫХ И НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ

Внастоящей главе рассмотрена устойчивость сжимаемых

инесжимаемых тел, армированных волокнами. Исследова­ ния выполнены для тел, армированных одним, двумя волок­ нами, конечным числом волокон, бесконечным рядом оди­ наковых волокон и двоякопериодической системой волокон. Во всех случаях матрицу (связующее) будем считать беско­

нечным телом, наличие внешней границы может быть учте­ но без принципиальных затруднений.

§ 1. Постановка задач. Возможные формы потери устойчивости

Рассмотрим связующее (матрицу), армированное волок­ нами (наполнителем) кругового поперечного сечения радиу­

Будем считать, что армированное тело загружено толь­ ко вдоль оси оха. В этом случае приближенно примем, что докритическое состояние является однородным и характери­ зуется следующими величинами:

226

Таким образом, отличными от нуля будут только нор­ мальные напряжения по площадкам, нормаль "к которым совпадает с осью охя. Заметим, что соотношения (Х.2) точ­ но выполняются для несжимаемого тела, так как выраже­ ния (II 1.88) имеют место независимо от уравнения состоя­ ния. В связи с этим рассматриваемая постановка точная для несжимаемого и приближенная для сжимаемого тела. Пред­ полагая, что между волокнами и матрицей осуществлено полное сцепление, на поверхности раздела сред потребуем выполнения условий непрерывности вектора усилий, и век­ тора перемещений:

Кроме того, примем, что потеря устойчивости волокон происходит вдали от торцов, в связи с чем тело в направле­ нии оси ох3 будем считать бесконечным. Заметим, что в гра­ ничных условиях (Х.З) составляющие поверхностных сил и перемещений в матрице, стоящие слева, необходимо вы­ числять в местной <у-й системе координат, связанной с ^-м волокном. Это замечание относится также и к левым частям граничных условий (Х.4) и (Х.5).

Для сжимаемого тела, учитывая выражения (V.9), (V-13), (Х.2) и (Х.З), получаем граничные условия на q-й поверхности раздела сред, сформулированные для функ­ ции ф, X, ф<‘>? и х(,)?:

228

Аналогично для несжимаемого тела из выражений (V.32), (V.35), (Х.2) и (Х.З) получаем граничные условия на по­ верхности раздела сред:

ff=Rq

18 Эг, /-, ^

229

Таким образом, учитывая выражения (Х.2), необходимо построить решения уравнений (III.51) при условии (III.47) и (III.50) соответственно для сжимаемого и несжимаемого тела. Эти решения должны удовлетворять условиям затуха­ ния «на бесконечности», так как в силу постановки задач связующее (матрица) рассматривается как бесконечное тело. Длина волны вдоль оси ох3 формы потери устойчивости оп­ ределяется как длина волны, которой соответствует мак­

симум на кривой Ка = кя (у), где к — параметр волнообра- D

зования к = я у (R — характерный радиус поперечного

сечения волокон; I — длина волны вдоль оси ох8 формы по­ тери устойчивости). Будем предполагать, что все волокна теряют устойчивость с одинаковой длиной волны вдоль оси ох3. Если отказаться от этого предположения, то в решениях следует выделить интеграл Фурье или ряды Фурье по переменной х3, в результате чего решение существенно усложнится.

В произвольной системе координат любую из действи­ тельных функций (решение исходных уравнений), харак­ теризующую форму потери устойчивости, можно предста­ вить в следующем виде:

+м

/ (г, б, *3) = 2 lfn(Уг) cos у*, + fn (У) sin Y*8] exp Ш0; fie—OO

_____ (X-6)

1 т /0зэ Im /0 = 0.

2 3 0