книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfЗаметим, что условие самосопряженности (IV.40) не зависит от формы упругого потенциала для гиперупруго го тела и от уравнения состояния для общего упругого тела, а зависит только от возмущений поверхностных и объемных сил. Этот результат получен для произвольного сжимаемого анизотропного гиперупругого тела и для про извольного сжимаемого изотропного общего упругЬготела при ограничениях, связанных с дифференцируемостью дважды непрерывно упругого потенциала и один раз непрерывно функцией (рт (см. гл. II). Внешние силы, для которых выполняется условие (IV.40), называются кон сервативными, для которых не выполняется условие (IV.40), — неконсервативными. В случае «мертвых» сил
(Р*т = А* = 0) условие (IV.40) выполняется.
Если условие (IV.40) выполняется, то задача (IV.19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24) -является самосопряженной, по этому ее собственные числа Q2 будут действительными. Следовательно, Q могут быть или мнимыми или действи
тельными. Потеря |
устойчивости происходит, |
|
когда Imfi |
||
из положительной |
становится |
отрицательной, |
т. е. |
когда |
|
Im Q переходит через нуль. |
Поскольку в |
этом |
случае |
||
и Re fi = 0, то для определения границы области |
устой |
||||
чивости можно принять Q = 0. С учетом этого |
результата |
из статической задачи при использовании динамического метода (IV. 19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24) получаем стати ческую задачу с применением метода Эйлера (IV. 19), (IV.21), (IV.22) и (IV.24).
Таким образом, достаточными условиями использова ния метода Эйлера при исследовании статических задач устойчивости произвольных сжимаемых упругих тел (совпадение результатов при применении метода Эйлера с результатами при применении динамического метода) являются условия в виде (IV.40).
§ 7. Достаточные условия применения метода Эйлера для несжимаемого тела
Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять возмущения объемных и поверхностных сил, чтобы резуль таты для статических задач несжимаемого тела, получен ные методом Эйлера, совпадали с результатами для этих же задач, полученными при помощи динамического метода. Статические задачи для несжимаемого тела при
1 1 1
динамическом методе исследования сводятся к (IV.28), (IV.34),(IV.31) и (IV.24), а статические при исследовании методом Эйлера — к (IV.28), (IV.30), (IV.31) и (IV.24).
Пусть 1игп и аит (rn = 1, 2, 3, 4; ы4 = р) компоненты двух произвольных дважды дифференцируемых векторов, удовлетворяющих условиям (IV.31) и (IV.24) и условию несжимаемости (II.6). Соответствующие им возмущения объемных и поверхностных сил представим в виде (IV.36). Достаточное условие применения метода Эйлера для не сжимаемых тел можно записать в виде условия (IV.40), которое должно выполняться для любых 1ит и 2ит, удов летворяющих сформулированным выше требованиям. По кажем вначале, что в этом случае собственные значения задачи (IV.28), (IV.34), (IV.31) и (IV.24) действительные (Im О2 = 0). Предположим обратное, т. е. что какоето собственное число Й* является комплексным. Тогда сопряженное число тоже будет собственным числом и из
уравнений (IV.28) |
получаем |
|
|
Лйх«« = 0. |
(IV.41) |
Из уравнений (IV.28) и (IV.41) в этом случае |
находим |
|
^ |
таМа. — UmMmaUa) dV — 0. |
(IV.42) |
Выберем в качестве 1ит и 2ит функции ит и йт, кото рые удовлетворяют условиям (IV.31), (IV.24) и (II.6). Подставляя выражение (IV.34) в (IV.42), учитывая усло вия (IV.31), (IV.24), (П.6) и (III.4) и применяя формулу Гаусса — Остроградского, после преобразования полу чаем
£ (Um^maU-a. UmNtnafla) dV = | {[Ыто(И/тарН<х,р),| —■
falma.Э^о,э)»< “Г ИщМтаЦа. — итЛ1{па^а ~Г
~Г Р |
“ |
П2) WmWcAxm] (1 —бт4) (1 —6а4) -f- |
+ 6<х4 (1 |
^W) [um(Go [fimn -[- и°тп]Ua),i — |
ит(Go [fimn + «т.п] °а)>;] + 6т4 (1 —6<х4) X
X Gp |
(6цп -{- U^n) (UmUg,'i ~ U mUa i)} dV = |
= J |
U(Wm*<ftnapWo(.P WmX/mapOa p)(f—. |
V |
|
1 1 2
— «imap(U m .iU a.fi — «m.i«a,p) + (u mM ma.Ua — UmM \X t«a) +
+ |
p(S2*— Q2) итйт\ (1 — 6m4)(l - У |
+ 8»4(1- У х |
|
X [{Go* фтп -f- Um,n) (Uf/^o. |
UmUa)},( — |
|
— Gi0n(f>mn+ U m,n) (UjrJla — *W«a)]} & = |
|
= |
j {[{« m K 1 — 6a4) »W pH a,B + 6ct4<Jo" (6mn + «m,n) « a ] — |
— Um [(1 — 604) XI-map«a,g + Go”фтп + Um.n)«a])»{ +
+(UmM m aU a — UmMma.Ua) (1 — 6 0 4 ) +
+p (Q2 — Q2) Um«m(l — 6a4)] (1 — M } dV =
= ( 1 — M |
( 1 — fiLl) { j (U m M i& V a ~ UmM l^ f l a) d V + |
+ f («mII<” |
- U jl^U a) dS + ( № - &) P |
s, |
(IV.43) |
|
Подчеркнутые в (IV.43) выражения равны нулю в силу
условий несжимаемости (II.6).
Таким образом, если предположить, что существует комплексное собственное число, то из выражений (IV.34), (IV.40), (IV.43) получаем
(1 - М (1 - М (G*- О*) р | |
u |
j i j v |
= 0. |
(I V.44) |
Из выражения (IV.44) выводим |
Im О* = |
0, что |
проти |
|
воречит предположению. |
|
соотношение |
(IV.40) |
|
Таким образом, если имеет место |
для несжимаемого тела и функции удовлетворяют усло вию несжимаемости (II.6), то задача (IV.28), (IV.34), (IV.31) и (IV. 24) имеет действительные собственные числа. Учитывая это и рассуждая аналогично рассуждениям, при веденным в § 6 гл. IV, получаем достаточное условие применения метода Эйлера при исследовании статических задач устойчивости для произвольного несжимаемого те ла. Это условие имеет вид (IV.40), но в отличие от сжимае мого тела функции ит также должны дополнительно удов летворять условиям несжимаемости (Н.6).
g 3-1365 |
113 |
|
§8. Сведение задан устойчивости
кбесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений
Сформулированные в § 4 и 5 гл. IV динамические за дачи устойчивости и статические задачи при динамиче ском методе исследования сжимаемых и несжимаемых тел можно свести к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, используя метод Бубно ва — Галеркина. Для статических задач, используя метод Бубнова — Галеркина, получаем бесконечную систему ал гебраических уравнений. Не уделяя внимания обоснова нию применения метода Бубнова — Галеркина, проил люстрируем его применение на примере сжимаемого тела. Представим функции в виде рядов
Mm = /p(T)<Pmp(x1, х2, ха), т = 1,2,3; р = 1.......... |
оо. |
(IV.45)
Систему функций {<ртр} будем считать полной и удов летворяющей условиям (IV.24). В этом случае уравнения метода Бубнова — Галеркина запишем в форме
|
f [(®imaflWa,g)>( + Хт— Рит] |
— |
|
. - |
V |
|
|
|
— j (N<t»/m<xe«a.e — Pm) &imdS = |
0. |
(IV.46) |
|
S, |
|
|
Подставим выражения (IV.45) и (IV. 1) в уравнения ме тода Бубнова — Галеркина (IV.46) и приравняем нулю множитель при 6/р. G помощью формулы Гаусса — Остро градского после ряда преобразований получаем бесконеч ную систему обыкновенных алгебраических уравнений:
Cpqfq ~Г Apqfq + Ppqfq = 0 |
(Р> Я = 1» • • • > °°)» (IV.47) |
где
Cpq = р ^ (PmptymqdVApq = |
| фlпpЛ4таtфaв^^/, |
— ^ фтрПтафар^^»
114
(IV.48)
'.flTmpdS — l (Щтарфав.р),/ <PmpdV
+ J toimafitpav.efPmp'idV.
V
Для статических задач при динамическом подходе и
при подходе Эйлера система (IV.47) принимает соотг ветственно вид
(IV.49)
(IV.50)
Аналогичные результаты можно получить и для не сжимаемого тела.
Заметим, что в качестве полной системы функций {<Ртр} можно выбрать собственные функции свободных •малых колебаний незагруженного тела, как это приме няется для линейно-упругих тел при малых докритпческих деформациях. Для нелинейно-упругих тел такой вы бор не упростит выражений (IV.48), так как величины ©/тар и «/map не совпадают с соответствующими коэффи циентами линеаризированных соотношений для незагру женного тела.
Кажущихся упрощений можно достичь при разложе нии по собственным функциям следующей краевой задачи;
(%mae«a.e),< + |
рйа«т = 0; |
(IV.51) |
N/to/mapWa.B |s, = |
0; Hm |Si = 0. |
(IV.52) |
Поскольку fi»/map зависит от величин, харакгеризующих докритическое состояние, при неоднородных докритических состояниях необходимо проводить построение соб ственных функций для системы уравнений с переменными коэффициентами, причем собственные функции также будут зависеть от параметров докритического состояния. В случае же однородных докритических состояний, по-видимому, не нужно применять методику, описанную в настоящем параграфе, так как в этом случае построены общие решения.
8* |
115 |
Для ^мертвых» нагрузок система (IV.47) принимает вид (IV.&0), где
Bpq = j" N i(Dimnf>J<Po.q,fi<[>mpdS—
S ,
1 (tolmoLfflaq.ldtiympdV = ^ %mct0фa^,g<Pmp,<^fl/,. (I V.53)
** *
Впервые уравнения трехмерной теории упругой устой чивости при малых докритических деформациях были полу чены в работах [54, 791 из соображений физического ха рактера без использования линеаризации. В дальней шем различные варианты уравнений трехмерной теории упругой устойчивости при малых докритических деформа циях были получены путем линеаризации нелинейных уравнений [55, 56, 66, 69, 36], причем наиболее строго эти уравнения выведены в работах [66, 36]. Анализ при ближенного подхода, основанного на использовании урав нений Ляме, дан в монографии [13].
Впервые уравнения трехмерной теории упругой устой чивости при конечных докритических деформациях в общей постановке путем линеаризации получены в [60], которая явилась основой для дальнейших исследований. В этой работе основные уравнения выведены в координа тах начального деформированного тела.
Условия устойчивости трехмерного тела при малых до критических деформациях рассматривались в [80]; при конечных докритических деформациях условие устойчи вости исследовалось в [76, 93, 63], результаты, описанные в § 2 и 3 гл. IV по форме изложения близки к [63].
Вопросам устойчивости и единственности в теории ко нечных деформаций посвящена работа [64], эти же резуль таты помещены в монографии [11].
Достаточные условия применения метода Эйлера для исследования устойчивости линейно-упругих сжимаемых тел при малых докритических деформациях в форме, по добной (IV.40), получены в монографии [10], когда докритические деформации определялись по геометрически линейной теории. В случае нелинейно-упругих сжимаемых тел при конечных докритических деформациях эти усло вия получены в виде (IV.37) в работе [97]. В гл. IV данной монографии эти условия найдены для сжимаемых и не
116
сжимаемых тел при конечных докритических деформациях в виде (IV.40), независящем от формы упругого потенциа ла, а зависящем только от поведения возмущений объемных
иповерхностных сил.
Взаключение необходимо отметить, что метод Бубно ва — Галеркина (см. § 8 гл. IV), хотя и не является мате матически обоснованным, но дает возможность исследо вать динамические и статические задачи при однородном
инеоднородном докритических состояниях. Для линейно упругого тела в случае малых докритических деформа ций, когда последние определялись по геометрически ли нейной теории, результаты типа соотношений, приведен ных в § 8 гл. IV, получены в [10].
Сформулированные вариационные принципы позволя ют исследовать динамические и статические задачи при однородном и неоднородном докритических состояниях, когда возмущения объемных и поверхностных сил не за висят от возмущений перемещений. Построенные общие решения дают возможность исследовать динамические и статические задачи только при однородных докритиче ских состояниях, если возмущения объемных сил отсутству ют, а возмущения поверхностных сил являются произ вольными.
Возможности методов, изложенные в первой части на стоящей монографии, во второй и третьей частях будут использованы лишь частично для исследования стати ческих задач при использовании метода Эйлера путем применения построенных общих решений в случае одно родных докритических состояний. Исследование же дина мических задач методами, описанными в первой части моно графии, может служить предметом отдельной книги.
Ч А С Т Ь В Т О Р А Я
УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
Г л а в а V
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В КРУГОВОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
В настоящей главе в явной форме записаны решения статических линеаризированных задач при однородных Докритических деформациях в круговой цилиндрической и прямоугольной системах координат для сжимаемых и несжимаемых тел в случае плоской и Пространственных задач. Рассмотрены также соответствующие граничные условия. Эти результаты будут использованы в дальней шем для решения статических задач при «мертвых» • на грузках.
§ 1. Плоская задача для сжимаемого тела
Рассмотрим плоскую задачу в плоскости хгох2при одно родной докритической деформации. В этом случае име ют место соотношения (III.62). Для статических задач из выражений (II 1.65) получаем формулы для определения перемещений в виде
Функция X |
является решением |
уравнения (II 1.67). |
||
Из выражений |
(III.62) и (V.1) выводим |
|||
°п = V^2 |[Яц (Pis + |
outa 2)] |
-f- |
|
|
+ [Пц (ам -р Н22Я2 ) |
Ои (Pia + |
Оц)] |
-гщ- |
118
(722 = |
|[а и (Ц.12+ Ol1Я,2 )] ^ 5 Н" 1Й21(й224~ ст22^2 2) — |
(V.2)
1^1P'12 I (tfnta 2 — ^ia)
Сформулируем граничные условия для функции %, соответствующие граничным условиям в напряжениях. Согласно выражениям (Ш.71), (V. 1) и (V.2) получаем гра ничные условия в напряжениях при хг = const (проек ции составляющих поверхностных сил, выраженных через напряжения или функцию X, что тождественно)
Р\ = $ |[Я?ИП (P'12 + ап^2 2) + |
СТП (Pl2 4* |
2)] |
+ |
|
4~ [^i (ац 4* оцЛ.1 2) (о м + Оя&2 ) — |
|
|
||
|
|
|
|
(V.3) |
Pi = |
1[— Л|а12 (р^ + |
<Уп%22)] |
|
|
|
|
Эл? |
|
|
Согласно выражениям (III.70), (V.1) и (V.2) находим граничные условия в напряжениях при х2 = const (проек ции составляющих поверхностных сил, выраженные через напряжения или функцию X, что тождественно)
4-[— ^ % ( fl22 4-oS^2 2)]-^-|-g^-3t; |
(V.4) |
1 1 9
P i — %2 |[^ 'llAu (°П^-2 2 ---- ° в ) |
+ °22 (H u + |
СТ11Л2 2)J |
+ |
+ [(Я|(112 + Ощ) (Оде + |
<*22X2 2)1 ^ |
| -gj- X. |
(V.4) |
Согласно выражениям (11.55) и (V.1) получаем гранич ные условия в перемещениях при х, = const и х2 = const, выраженные через функцию X,
^-2Г(И-12 + |
~ ^г + (Щц + |
0 ^X2 2) - ^ - 1 X = |
0; |
|
|
1 |
* |
J |
(V.5) |
|
К К (His + |
«и) ~д^дх^ Х — 0* |
|
Таким образом, все величины и граничные условия для плоской статической задачи сжимаемого тела при однород ной начальной деформации выражаются через функцию X, которая является решением уравнения (III.67).
Рассмотрим различные случаи представления решения уравнения (Ш.67) в зависимости от выражений (III.69).
Если величины г\1 и i)§ (III.69) вещественны, различны и положительны, то
X = [л* ехр ~ ~ Т1йх2 + В* ехр (- ■ j - V s ) +
+ A t ехр ^р - 1}3х2 + В* ехр (— Up- %*2)] Ир~xv |
(V.6) |
||
Если величины т]| и т]| (III.69) вещественны, |
равны |
||
между собой и положительны, то |
|
|
|
X = |
[(Л* + хгА%) ехр Ир- т]2*2 + |
|
|
+ (В* + |
xsB})exp{— |
V 2)]cos'T LAr1- |
(V-7) |
Если величины rji и т]з комплексные, то rji = "Пз = 11а и |
|||
X = [{A * sin Ир. |
’Fs + A t c o s I m t ] X 2jexp ~ - R e rpr2+ |
+sin— Im rpr2+
-f A t cos |
Im r)X2j exp (— Up- Re tyr*) ] ^ Ир. xv (V.8) |
120