книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfсжимаемого тела Д = О (1.15) при следующем уравнении:
состояние е'0) = 2 вЭ]'1, где 9t — интенсивность девиатора логарифмических удлинений формоизменения Грина
(1.40), е\а) — интенсивность (1.34) тензора истинных напря
жений (отл) (см. § 4 гл. I). Из рис. 12 следует, что сущест
вуют такие отношения |
когда при любой нагрузке (лю |
бые удлинения Я.) не происходит потеря устойчивости. Из сравнения этого вывода с выводами § 5 гл. VII видно, что в зависимости от формы упругого потенциала можно получить не только количественные, но и качественные выводы противоположного характера. Это обстоятельство следует иметь в виду при анализе решения конкретных задач в любой из постановок.
§ 8. Полый цилиндр при осевой нагрузке (неосесимметричная задача)
Рассмотрим задачу предыдущего параграфа при неосе симметричной форме потери устойчивости. Принимая ци линдрические поверхности незагруженными, получаем при г — R ± h граничные условия в виде (VI.50). Величины
Oik, и а;/ определяются так же, как и в § 8 гл. VI. Ре шение основных уравнений выберем в форме (V.15). Под ставляя решение в форме (V.15) в граничные условия (VI.50), выводим после ряда преобразований характеристи
ческое уравнение, предварительно выделяя в Ат„ и Ат„. множитель у. Элементы характеристического определителя имеют следующий вид:
« и (Ai+i, 1п) = 2> Г3 - ^ - ( е + |
х Г ' «£1 X |
|
|||
|
|
1*13 |
|
|
|
х /„+1 [(X + |
е) у |
+ 2Я—3 -HlS-n (п _ 1 )(х + е )-2 х |
|||
|
|
|
Н-13 |
|
|
х 1п1(и ®)У» |
«1а= «и ( |
к пу, |
|||
«1з(^п+1> |
£г) = |
— 2Я, |
|*12 |
(х + е) |
S2 X |
х /„+.[(Х + |
е) у |
+ (Й + |
2Я.-3- !^ - п (и - |
1) X |
|
|
|
|
|
Учз |
|
191
X (X + е )-2 + ■Х |
|
К*[(х + 8)CJ; |
|
|||||
®14= |
®1з( |
Кп+1 Кп, ?г)> |
|
|
|
|||
■®16 ^ |
®18 (Ai+Ь 1п> У » |
®ie s |
®13 ( |
К«-Н. Кп, У» |
||||
а 31 (Лх+Ь Л|) = КК 3 (х + е) |
/ „ [(х + 8) У ; |
(VIII.38) |
||||||
^32 == ( |
Кп+\, Кп), |
|
|
|
|
|||
«33 (/«+1. In, У - |
(Й + ЬЛ~*) /«+. [(X + е) у |
+ |
||||||
4- и (х + |
е) |
(й 4- ^ |
) Л» Кх 4- 8) У> |
|
||||
®34 = |
®зз(— Кп'\~\, А„, У ! |
те38 = |
осаз(/п+ii /ni У» |
|||||
■®зв ~ ®зз ( |
Кп н> K,i, У ! |
|
|
|
||||
«м Un+U I„) = 2£, (X 4- е)~‘ /„+1 [(х + е) у |
+ |
|||||||
4- \2п (1 — п) (х + |
е)-2 — Й1 К [(* + е) У ; |
|
||||||
а Ь2 — а ы ( |
Кп+1, К „У, |
|
|
|
|
|||
«ю (/»+!. |
|
У = |
— 2Un (* + е)-1 X |
|
||||
X /„+i[(x + |
е) У |
— 2п(п—1)(х+е)- ? /п[(х+е)У ; |
||||||
а м s |
®ьз ( |
/Сп+1, Кп, у , |
o ijj s |
o tjj ( / n+t* Л1» У I |
||||
«М = |
^ьз ( |
Кп+l, К п, у . |
|
|
|
Для определения элементов второй, четвертой и шестой •строк необходимо в элементах соответственно первой, тре тьей и пятой строк изменить знак перед в на противополож ный. Следует отметить, что в данном параграфе приведена наиболее общая задача в цилиндрических круговых коорди натах для. несжимаемого тела. Как и в предыдущих пара графах, на торцах цилиндра выполняются условия (VI 11.35). Таким образом, при выбранном решении на торцах цилин дра реализуются в интегральном смысле условия шарнирно го опирания. Аналогичные результаты можно получить и при другом представлении решений. Для неогуковского те ла выражения (VIII.38) значительно упрощаются.
* * *
В настоящей главе получены характеристические урав* нения для ряда задач устойчивости несжимаемого трансвер •
192
сально-изотропного тела при произвольной форме упругого потенциала. Из полученных характеристических уравне ний можно найти известные частные случаи для конкретной формы упругого потенциала.
Устойчивость полого и сплошного изотропного ци линдров при осевом сжатии рассмотрены в работе [921 для изотропного тела с произвольной формой упругого по тенциала. Примеры приведены для неогуковского тела. Исследование выполнено для осесимметричной и неосесим метричной задач.
Осесимметричная задача, в основном, для случая растя жения изотропного тела с потенциалом общего вида иссле дована в работах [85, 911. Примеры приведены для неогу ковского тела. Изучены различные случаи представления решения.
Неосесимметричная задача (стержневая форма потери устойчивости) для неогуковского тела рассмотрена в рабо те [91. Осесимметричная задача для полого изотропного ци линдра при частном виде упругого потенциала исследова на в работе [311. Результаты экспериментов приведены в [521.
В работе [62] рассмотрена задача для изотропного кругового цилиндра при неоднородном докритическом со стоянии (осевая нагрузка и кручение).
Для полой изотропной сферы, загруженной равномер ным внешним давлением, при различных граничных усло виях задачи исследованы в работе [861. Материал пред полагался изотропным. Записано представление реше ний в сферической системе координат. Численным инте грированием получены результаты для тела с потенциа лом Муни.
Устойчивость при растяжении полосы и прямоугольно го образца рассмотрена в [84, 87]. Несколько работ посвя щено исследованию устойчивости полосы при сжатии. Для изотропного тела с потенциалом общего вида эта задача исследована в [881, где приведен пример для неогуковского тела. В последующем только для неогуковского тела эта задача рассматривалась в работах [9, 67, 721. Задача о двух осном сжатии полосы для тела с потенциалом Муни иссле дована в 1581; поверхностная неустойчивость полупростран ства в случае неогуковского тела — в (711. Ряд плоских задач с прямолинейными границами рассмотрен в моногра фии [561.
13 3-1365 |
1 9 3 |
Осесимметричная задача для круглой пластины из H30J тройного материала исследована в работе [96]. Для тела q
потенциалом Муни приведен числовой пример. |
j |
Общие вопросы устойчивости несжимаемых гиперупру |
|
гих тел рассмотрены в [501. |
|
Заметим, что результаты данной главы получены для гиперупругих и общих упругих тел, причем характери стические определители остаются справедливыми для слу чаев растяжения и сжатия.
Одним из интересных свойств, отмеченных в настоящей главе, является тот факт, что от вида упругого потенциала зависят не только количественные результаты, но и ка чественные.
Ч А С Т Ь Т Р Е Т Ь »
УСТОЙЧИВОСТЬ АРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
Г л а в а IX
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ СЖИМАЕМЫХ И НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ
В IX и X гл. выясним механизмы потери устойчиво сти слоистых и волокнистых сжимаемых и несжимаемых материалов. Этот вопрос особенно важен в связи с тем, что при построении теорий прочности при сжатии композит ных материалов в качестве возможного механизма разру шения принимают потерю устойчивости структуры. Во всем изложении будем считать армированные тела кусочно-од нородными, т. е. будем исходить из точной постановки.
§ 1. Постановка плоских задач. Возможные формы потери устойчивости
Исследуем плоскую деформацию в плоскости л^ол:2, ког да имеют место соотношения (III.62). Будем считать, что материал состоит из слоев связующего и наполнителя, ко торые чередуются вдоль оси оха- Все величины, относящие ся к наполнителю, будем отмечать индексом 1. Так, толщи ны слоев обозначим через 2h и 2Л(1) (рис. 13, а). Каждый из слоев отнесем к системе координат, центр которой располо жен на средней линии слоя. Докритическое состояние при мем двухосным однородным:
oia = ом?0 ss const; |
о*?, = const; |
ouin = const; |
" ш Ф On/1'; |
= Mi'; xu s |
(IX.1) |
jciV = xv |
Исследуем потерю устойчивости в структуре материала, когда длина волны формы потери устойчивости определя ется не длиной образца или формой элемента конструкции, а соотношениями между геометрическими и механическими
13* |
195 |
характеристиками слоев. Такое явление возникает, если кривая зависимости критического удлинения (корень ха рактеристического уравнения) от параметра волнообразо вания имеет максимум, когда параметр волнообразования отличен от нуля. Для решения рассматриваемых задач не обходимо построить решения уравнений (III.68), (III.69) в случае сжимаемого или уравнений (III.68), (IIIЛОЗ) в случае несжимаемого тела, которые являются периодиче-
H flt I |
6 |
б |
г |
д |
|
Рис. |
13 |
|
|
скими по х2. Потом из условия непрерывности вектора на пряжения и вектора перемещений на линии раздела
P u U r - h = |
P\i 1 ^ « Р Г 1 ^ , г |
(IX 2)
1x21=—h UU |^ (0 _ л(1)> |
|*2i=“—It ~ ^21 1ХД )^(1) |
нужно получить однородную систему уравнений. Условие существования ненулевых решений даст характеристиче ский определитель. Заметим, что для рассматриваемых за дач возможны различные формы потери устойчивости. Ис следуем только формы потери устойчивости, показанные на рис. 13, б, в, г, д, которые назовем формами потери устой чивости соответственно первого, второго, третьего и четвер того рода. Необходимо отметить, что для форм первого и
третьего рода период решения вдоль ох2 равен 2 (А + А<1>), т. е. равен периоду структуры, а для форм второго и чет
вертого рода период решения вдоль ох2 равен 4 (А + А(1)). Таким образом, формы потери устойчивости второго и чет вертого имеют период вдвое больший по сравнению с фор
196
мами первого и третьего рода. Аналогично можно рассмо треть и другие формы потери устойчивости с периодом, крат ным периоду структуры. Поскольку условия непрерывности векторов перемещений и напряжений записаны только на одной линии раздела, то для любой из форм потери устой чивости, кроме условий периодичности, необходимо также выполнить и соответствующие условия симметрии. Так, для формы потери устойчивости первого рода перемещений
«2/ и «и являются четными функциями похц и X2t\ для фор мы потери устойчивости второго рода ш — нечетные функ
ции, a t&'i — четные функции, для формы потери устой
чивости третьего рода иц и i4V — нечетные функции, для формы потери устойчивости четвертого рода «я — нечет ные и и*? — четные функции.
Необходимо отметить, что поскольку исследуемая задача имеет периодические коэффициенты, то для ее решения мож но применить теорию Флоке. Для рассматриваемых форм потери устойчивости результаты совпадают. Кроме того, следует отметить, что во всех слоях наполнителя и связую
щего величины напряжений 022 одинаковы, поэтому везде в этих напряжениях опустим индекс i и 1. В величинах
же а*?, %21 и можно опустить только индекс t, так как они будут разные в заполнителе и связующем.
§ 2. Представление решений для сжимаемого тела
Построим решение уравнения |
(II 1.68) |
при условии |
(II 1.69), которые удовлетворяют условиям |
периодичности |
|
и симметрии для исследуемых форм |
потери |
устойчивости. |
Ограничимся представлением решений типа (V.6), для дру гих форм решений можно получить аналогичные резуль таты. Учитывая второе выражение (V.1), для формы по тери устойчивости первого рода решение выбираем в сле дующем виде:
|
= [А sh |
т]^,- + В sh -j- т1зХ21-) sin-y- хг; |
(IX.3) |
, |
|
\ |
|
Х{« = (А(*>s h - f г£'ж£> + Bll) sh - f nJ'M}») s in - f |
|
||
Заметим, |
что в решении (IX.3) постоянные А, В, |
А(1> и |
в <1> одинаковы для всех слоев.
•197
Для формы потери устойчивости второго рода решение выберем в виде
%, = (-4 ch -у-т)**-,, + В ch -у- Tj3x2() sin-^- xt;
/ |
. |
(IX.4) |
= [A(t) s h - f T,£>4> + Ba) sh - f ч М > ) sin - f
Решение (IX.4) записано для i-x слоев. Чтобы получить решение для i + 1-х слоев или i — 1-х слоев, необходимо в выражениях (IX.4) изменить знаки перед постоянными
A, В, Л(,) и В(1). Построенное таким образом решение удов летворяет условиям периодичности и симметрии, харак терным для формы потери устойчивости второго рода, если учесть второе выражение (V.1).
Для формы потери устойчивости третьего рода решение выберем в следующей форме:
X, != (Л ch-j- v |
2l- + |
B ch_L |
sin |
x j |
, |
|
|
\ |
(IX.5) |
X}‘>= (Л<" ch-^- r « > |
+ |
ch - f ц З Д ) sin f |
|
Заметим, что в решении (IX.5) постоянные Л, В, Л(1)
и В(1) одинаковы для всех слоев. Учитывая второе выраже ние (V.1) и решение (IX.5), получаем, что условия периодич ности и симметрии, характерные для формы потери устойчи вости третьего рода, выполняются.
Для формы потери устойчивости четвертого рода реше ние выберем таким образом:
X, = (Л sh-j- г\ъх21+ В sh -j- т1зХа, jsin -у- хг;
, |
\ |
(IX.6) |
t f > - (*<»<*- f , W |
+ |
|
Решение (IX.6) записано для i-x слоев. Чтобы получить решение для i + 1-х или i — 1-х слоев, необходимо в вы ражениях fIX.6) изменить знаки перед постоянными Л,
B, Л(,) и Вг}. Учитывая выражения (IX.6) и второе (V.1), получаем, что построенное решение удовлетворяет услови ям периодичности и симметрии, характерным для формы потери устойчивости четвертого рода.
198
Следует отметить, что решения (IX.3) — (IX.6) записа
ны только для случая, когда величины т]| и т]з (III.65) поло жительны и не равны между собой. Для других случаев можно аналогичным образом записать решения с учетом выражений (V.7), (V.8) и других возможных представлений.
Учитывая соотношения (V.l), (V.4), (IX. 1) и (IX.2), получаем граничные условия на линии раздела, сформули рованные для функций 5Cj и yj1’:
*11 |
( <*пА* 2 — а12) + ай (ц12 + о*?ЯГ2)] |
+ |
*t »
+ к 4 * ,2 + °£) (о*. + 022ЯГ2)] ~ J |
%i \X2i=_h~ |
||
— Яг1’’ |[Я?ц|г)( a , W |
— а[г) -f а*о ^Н) ^ |
||
Ч-а;?(,^ ,,- 2) ] - ^ - + |
[ ( З Д |
+ а^)(а(')+ |
СТ2^ ) - 2)]х |
Х & |5r} ' 4 i T ^ |
= |
0; |
|
(IX.7)
199
^ 2 (P'12 "f* ® u ) d X f d X f t l*M“ —^ ^2 X
x j
Таким образом, для сжимаемого тела граничные усло вия на линии раздела, сформулированные для функций %,
и И*0, имеют вид (IX.7), а решения для рассматриваемых форм потери устойчивости — вид (IX.3) — (IX.6). Заметим, что с целью получения всех величин для наполнителя не обходимо во всех формулах гл. II—V поставить возле всех величин индекс 1.
§ 3. Характеристические определители для сжимаемого тела
Подставляя решения (IX.3) — (IX.6) в граничные усло вия (IX.7), в результате обычной процедуры находим ха рактеристические определители в виде (VI.24) при i, / = =» I, 2, 3, 4. Запишем элементы характеристического опре делителя для формы потери устойчивости первого рода:
®ц (Лг) в Лг^г {1Л1М12 4* Огг) (о22 4* ст22^2 2)] Т)!—
— ft-iPu (<*.?ЯГ2— а и ) 4* а22 (р.12+ апЯГ2)]} сЬл уГ]2;
а 12 s а 11 (Лз)!
««(лР’) - |
- r f W |
{ [ ( « |
+ о2)(аЙ? + о1°Ж1)~ 2)Ы |
|
||
X i f * - |
М |
(а У М Г * - |
а®) + <& X |
|
||
X ^ P + o W ^ I J c h n - f ^ ; |
|
|||||
а и а“ « 1 « ( Л |
|
|
|
|
|
|
a 2i (Лг) = |
[ц12 (й22 + сггг^Г2) Лг 4* о 12 X |
|
||||
X (^12 + |
оп^Г2)] sh я - j - |
т)2; |
|
|
||
tt22— а 21 (Лз)> |
а 23 (Л^ *) = |
Я2* (р.12 (022* 4* |
|
|||
+ о % к р -2) r f * |
+ |
а|2 (рГ2>+ |
о Т Х ' ~ 2)] х |
(IX.8) |
200