книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfЭ. И. ГРИГОЛЮК, П. П. ЧУЛКОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК
М о с к в а ( М а ш и н о с т р о е н и е *
1 9 7 3
Г82
УДК Д 629.13.011.12 : 534.833
Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., «Машиностроение», 1973, стр. 172.
В книге изложены методы расчета трехслойных конст рукций.
Теории оболочек предпосылается общая теория прямых трехслойных стержней. Здесь разбираются те основные зада чи, которые в настоящее время разработаны для случая одно родных стержней.
Излагается разработанная авторами теория пологих обо лочек конечного прогиба, являющаяся обобщением классичес кой теории пологих оболочек. Уравнения этой теории исполь зованы для определения критических нагрузок и частот соб ственных колебаний цилиндрических, сферических, коничес ких и торообразных оболочек при различных внешних воздей ствиях.
Развивается теория так называемых полубезмоментных цилиндрически* трехслойных оболочек. Приведена теория трехслойных непологих оболочек общего вида при конечных прогибах.
Книга предназначена для инженеров-проектировшиков. Она может быть полезна научным работникам и аспирантам, спе циализирующимся в области расчета трехслойных конструкций.
Табл. 1. Ил. 43. Список лит. 30 назв.
Р е ц е н з е н т д-р техн. наук В. В. Васильев
3186 183
183-73
038(01)-73
© Издательство «Машиностроение», 1973 г.
П Р Е Д И С Л О В И Е
Трехслойные конструкции давно нашли применение в инже нерном деле. Однако лишь к сороковым — пятидесятым годам относится начало их интенсивного использования в авиации, в строительном деле, в судостроении. Начиная с этого времени бы ли поставлены многочисленные эксперименты для выяснения со противления трехслойных конструкций различного типа внешним воздействиям, а также разрабатывались эмпирические и анали тические методы-расчета конструкций этого рода.
Вполне естественно, что принципиальную роль в разработке теории трехслойных оболочек сыграли исследования по теории и расчету однородных оболочек, попытка использования уравнений трехмерной теории сплошных сред не принесла успеха. Трехслойность конструкции не только вызывает неоднородность структу ры оболочки по толщине, но и требует учета работы слоя запол нителя при поперечном сдвиге и поперечном сжатии, а также приводит к необходимости в том или ином виде проводить сопря жение слоев. Если исключить случай местной потери устойчи вости внешних слоев, то оказывается, что, вводя гипотезу о ли нейном распределении касательных перемещений по высоте пакета и условие несжимаемости пакета, можно построить раци ональную теорию трехслойных тонкостенных конструкций. В от личие от гипотезы Кирхгоффа — Лява при этом нормаль к исход ной поверхности не остается нормалью к деформированной по верхности, а за счет поперечного сдвига заполнителя поворачи вается на некоторый угол.
Таким путем удалось построить теорию пологих трехслойных оболочек конечного прогиба, которая, являясь обобщением клас сической теории однородных пологих оболочек, позволяет для однородных оболочек ставить естественные граничные условия и получить разрешающую систему уравнений. Следующий шаг состоял в выделении из полученной системы дифференциальных уравнений уравнения второго порядка, которым потом можно пренебрегать при решении конкретных задач. Тем самым пони жался порядок системы, подлежащей исследованию. Проведен ные в настоящей книге исследования базируются на укороченной системе дифференциальных уравнений. Обоснование возможнос ти использования укороченной системы уравнений здесь не пред ставлено, но в опубликованных в печати работах оно получено
3
для ряда пластин и оболочек при различных граничных условиях и показано, что указанная замена правомерна: погрешность при подмене одной системы другой пренебрежимо мала.
В монографии представлено решение большого числа задач устойчивости, колебаний цилиндрических, конических, сфериче ских и тороидальных оболочек на основе указанной выше реду цированной системы уравнений. Особое внимание уделено тео рии расчета прямого стержня, так как для этого случая теория особенно проста и выразительна.
Приведенная в книге теория полубезмоментных трехслойныч цилиндрических оболочек дополняет результаты по расчету ус тойчивости пологих цилиндрических оболочек.
Авторы будут признательны лицам, которые пришлют заме
чания по книге по |
адресу: Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., |
д. 3, издательство |
«Машиностроение». |
Г л а в а 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ
1. ГИПОТЕЗЫ
Всякая теория расчета по необходимости компромиссна, так как, с одной стороны, требуется, чтобы эта теория с нужной пол нотой учитывала все существенные стороны работы конструкции, а с другой стороны, приводила ж достаточно простым расчет ным схемам и формулам. Построение рациональной теории до стигается введением ряда упрощающих гипотез, в некоторых случаях обоснованных анализом уточненных решений и экспери ментом, а иногда и путем качественного исследования задачи.
Одним из многочисленных примеров удачной реализации обо их требований является теория тонкого однородного стержня, основанная на гипотезе плоских сечений, введенной Якобом Бер нулли в 1705 г. Поскольку этот пример представляет для нас осо бый интерес, ибо работа трехслойного стержня во многих отно шениях подобна работе однородного, остановимся на нем под робнее.
Гипотеза Бернулли предполагает, что при изгибе стержня его плоские поперечные сечения, перпендикулярные к центральной оси, в процессе деформации поворачиваются как жесткое целое, оставаясь перпендикулярными к изогнутой центральной оси. Эта гипотеза кинематическая: она позволяет исключить из уравнений поперечную координату, так как с помощью этой гипотезы уста навливается закон распределения перемещений по толщине стержня, и поэтому эта гипотеза совершенно не связана со свой ствами материала стержня. Интересно отметить, что тот же ре зультат мы получим, основываясь на соответствующих предпо ложениях относительно свойств материала стержня. Действи тельно, представим себе, что материал стержня ортотропен, причем несжимаем в поперечном направлении E z= o o , и явля ется абсолютно жестким на сдвиг в плоскости поперечного се чения G = oo.
Согласно обобщенному закону Гука для плоского состояния имеем
еX |
<*г |
( £ > ! = £ > 2). |
|
Ег |
|||
|
|
(1Л)
Здесь е* и sz — относительные деформации в направлении х и “ ах, ог — нормальные напряжения; т — касательное напряжение Ех и Е г— модули Юнга для ортотропного материала; vi и vj — коэффициенты Пуассона; G — модуль сдвига материала; а — угол сдвига.
Устремляя E z и G к бесконечности и полагая V2= 0, найдем,
что при любых ограниченных напряжениях |
|
||
S |
д: |
ег = 0 ; а = 0 . |
1 2 |
|
( . ) |
||
|
|
|
|
Если w — нормальное к центральной оси |
перемещение точки |
стержня (прогиб), а иг — продольное перемещение, то два послед них равенства дадут зависимости этих перемещений от коорди наты г. Из уравнения
dw |
0 |
(1.3) |
= |
~dz
вытекает, что нормальные перемещения не зависят от координа ты z
w = w (x). |
(1.4) |
Второе равенство приводит к соотношению между uz и да:
| i!5L = 0 , |
(1.5) |
дг dx
разрешая которое относительно иг, получим (и — продольное пе ремещение точки центральной оси):
— |
( 1. 6) |
d x
Теперь видно, что полученные выражения для иг и да в точнос ти соответствуют картине перемещений согласно гипотезе Бернул ли. Этот результат интересен со следующих точек зрения. Он позволяет получать из уравнений, построенных на основе неко торой системы гипотез, уравнения, вытекающие из менее общей системы гипотез, и тем самым осуществить проверку новых урав нений и оценить погрешность, допускаемую более «грубыми» приближениями. Кроме того, на этом пути* мы формально избав ляемся от противоречий между используемыми предположения ми и интуитивным представлением о работе конструкции. Из вестно, что для получения равенств (1. 2), (1.4), (1.6) гипоте зы плоских сечений недостаточно, следует ввести дополнительно предположение о ненадавливаемости продольных волокон. Ма тематически оно выглядит так:
ozz= 0 . |
(1.7) |
В случае поперечного изгиба это равенство неверно и для обос нования его допустимости приходится приводить громоздкие
6
рассуждения, основанные на дополнительных допущениях, тре бующих, в свою очередь, обоснования. Конечно, предположения относительно свойств материала по существу не устраняют ука занные трудности, но зато для принятой модели материала поз воляют построить полностью адэкватные уравнения. В этом, по-видимому, заключаются определенные преимущества, и при построении теории трехслойных конструкций будем вводить со ответствующие модели материалов.
К идее трехслойного стержня мы приходим следующим об разом. Как видно из (1.6), для стержня, изогнутого поперечной нагрузки (ц = 0), нормальное напряжение а х по поперечному сечению распределено линейно с нулевой точкой на центральной оси. Следовательно, при изгибе в полную меру работают толь ко крайние волокна сечения и чем ближе к центральной линии расположено волокно, тем меньше его участие в работе. Поэто му рациональная конструкция стержня с точки зрения его ра боты на изгиб будет такой, когда основная масса жесткого ма териала в виде двух слоев (несущих слоев) разнесена на неко торое расстояние с помощью тонкой стенки того же материала или когда пространство между жесткими слоями заполнено бо лее легким, а следовательно, менее жестким материалом (за полнителем), удерживающим слои на этом расстоянии и осу ществляющим их совместную работу. Легко понять, что за ис ключением случая чистого изгиба совместная работа несущих слоев зависит от способности заполнителя сопротивляться их отчосительному сдвигу.
Действительно, если несущие слои скреплены друг с другом бесконечно жесткими стерженьками, шарнирно прикрепленны ми к их внутренним линиям (рис. 1 ), то при изгибе несущие слои работают совершенно самостоятельно, так как ничто не пре пятствует свободному повороту их поперечных сечений, поэто му каждый из слоев имеет свою нейтральную ось, следователь- ю, такое разнесение не дает требуемого эффекта. Условия заботы несущих слоев коренным образом меняются, когда стер- •кеньки прикрепляются к ним жестко (рис. 2 ), несущие слои шчинают работать совместно, так как с поворотом поперечного сечения слоя поворачивается на тот же угол жестко скреплен- 'ый с ним стержень, в результате для обоих слоев образуется збщая нейтральная линия, расположенная между ними, один лой помимо изгиба растягивается, другой сжимается, на изгиб >аботает сечение в целом! Этот случай реализуется в прокате ;двутавры, швеллеры). Если стерженьки прикреплены к слоям ‘ помощью упруго вращающихся шарниров, то в зависимости >т жесткости шарниров получаем тот или иной промежуточный случай по отношению к разобранным выше. Совокупность скрепсяющих стерженьков представляет собой простейшую дискрет- (ую модель сплошного упругого заполнителя с конечной жестсостью на сдвиг, бесконечно большой жесткостью на попереч-
7
ное сжатие и нулевой жесткостью на продольное растяжение. Заполнители, не воспринимающие продольных напряжений, по традиции, установившейся в литературе, называются легкими заполнителями. Для легкого заполнителя рассматриваемая мо дель вытекает и из уравнений равновесия сплошной среды.
4нейтральные оси. |
ось пакета |
|
несущих слоев |
||
Рис. 1. Соединение внешних слоев |
Рис. 2. Соединение внешних слоев |
|
стержня с помощью шарниров |
стержня с помощью жестко при |
|
|
соединенных |
поперечных стер |
|
|
женьков |
Действительно, так как в данном случае о у— (УХу= Оуг= 0 , урав нения равновесия имеют вид (рмс. 3)
двхх |
| дчхг |
дахг |
j dQzz Q |
(1. 8) |
dx |
dz |
dx |
dz |
|
В случае легкого заполнителя
Охх= 0 ,
поэтому в силу первого уравнения напряжение ахг не зависит от поперечной координаты, а следовательно, и деформация попе речного сдвига
duz |
. dw |
(1.9) |
W = — н — |
||
dz |
Г дх |
|
пропорциональная вхг, также не зависит от координаты г. Интег рируя уравнение (1.9) по z с учетом несжимаемости заполни теля в поперечном направлении, получим выражение для про дольного перемещения точки заполнителя (рис. 4, 5)
uz= u -\ -z (a — |
. |
( 1 .Ю ) |
Из этой формулы следует, что для несжимаемого в поперечном направлении легкого заполнителя поперечные сечения, перпен дикулярные к центральной оси, в процессе деформации повора чиваются как жесткое целое, что и доказывает высказанное ра нее предположение.
8
Помимо наглядности для объяснения явлений, происходя щих при изгибе составного стержня, рассматриваемая модель подсказывает простейшую кинематическую гипотезу для жест кого, т. е. воспринимающего продольные напряжения, заполни
теля. В самом |
деле, если |
|
|
Нейтральная ось |
||||||
каждый стерженек отож |
- Z |
1 |
||||||||
|
/ |
z| |
||||||||
дествить с поперечным се |
|
|||||||||
чением в заполнителе, |
то |
/ |
Е, |
|
|
|
||||
|
|
L |
|
|||||||
для |
заполнителя |
можно |
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
|
||||||
сформулировать |
следую |
|
|
|
|
|||||
щую |
гипотезу, позволяю |
|
Ej,G |
^ |
; ' X |
У |
||||
щую |
учесть |
поперечный |
/ |
/ |
\ |
I |
b/2 b/2 |
|||
сдвиг. В п р о ц е с с е |
д е |
/ |
* f |
\ |
|
|||||
ф о р м а ц и и с т е р ж н я |
2 |
£* |
3 |
|
|
|||||
п о п е р е ч н ы е |
с е ч е |
Рис. 3. Продольный и поперечный разрезы |
||||||||
ния |
з а п о л н и т е л я , |
|
трехслойного стержня: |
|
||||||
п е р п е н д и к у л я р н ы е |
/—первый несущий слой; 2—второй несущий слой; |
|||||||||
к о с и с т е р ж н я , п о в о |
3—третий слой |
(заполнитель) |
||||||||
|
|
|
|
|
р а ч и в а ю т с я к а к ж е с т к о е ц е л о е на н е к о т о р ы й у г о л ф. Здесь, в отличие
от гипотезы плоских сечений, мы не требуем, чтобы поперечные сечения в процессе деформации оставались перпендикулярными к изогнутой оси стержня, но, вообще говоря, и не исключаем этого. Это более общая гипотеза, нежели гипотеза Бернулли, но она переходит в последнюю, если жесткость заполнителя на сдвиг неограниченно велика. Только что сформулированную гипотезу в отличие от гипотезы плоских сечений будем называть гипоте-
dw
Рис. 4. Взаимное расположение осей |
Рис. 5. Изменение продольного пере |
стержня до и после деформации |
мещения стержня по высоте |
зой прямых сечений, она позволит учесть поперечный сдвиг, но по-прежнему не позволит учесть упругие свойства заполнителя в поперечном направлении. Влияние последнего фактора сущест венно только для определенного круга задач, связанных с мест ной потерей устойчивости Несущих слоев, поэтому на этом на чальном этапе мы исключим его из рассмотрения. В следующих
9
параграфах мы, используя гипотезу прямых сечений для запол нителя, построим уравнения равновесия, устойчивости и колеба ний трехслойного стержня с различными несущими слоями, вы полненными из материалов с бесконечной жесткостью на сдвиг и поперечное сжатие, и заполнителя, обладающего бесконечной жесткостью на поперечное сжатие.
Отнесем стержень к системе прямоугольных координат Олег, ось х направим вдоль стержня по средней линии заполнителя, ось г — вверх. Несущий слой, расположенный со стороны поло жительного направления оси Ог, назовем первым слоем, следу
ющий несущий слой — вторым, а |
заполнитель — третьим |
слоем |
||
(см. рис. 3). Индекс k принимает |
значения h = \ , 2, 3. |
Пусть |
||
Лй(Аз= 2с) — толщины |
слоев; h, b — толщина |
и ширина |
стенки |
|
стержня; E h — модуль |
упругости |
материала |
слоя; G — модуль |
|
поперечного сдвига заполнителя; |
— удельная плотность мате |
|||
риала слоя. |
|
|
|
|
Для компактной записи формул удобно ввести осредненный модуль упругости
E = h - ^ E khk, k -i
осредненную плотность
з
0=А "1 2 0»**. ft- 1
а также безразмерные жесткостные характеристики ук, безраз мерные толщины слоев 4
yk= E khk{Eh)~1\ tn— h1fir'L
и безразмерные плотности материала слоев
Y»=С»Л* (О*)-1.
Очевидно, имеют место равенства
2 v ft= i; |
2 |
*ft= 1 ; |
ft-i |
ft-i |
ft_i |
Перейдем к вычислению перемещений, деформаций и напря жений в слоях.
2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Так как по предположению материал всех трех слоев не сжимаем в поперечном направлении, прогиб w не зависит от по перечной координаты z
w = w ( x ,f) . |
(1 .11) |
ю