2536
.pdfx
Следовательно, f(- 1+0) = lim 3x 2 −1 = +∞ .
x→−1+0
Таким образом, точка х = -1 —точка разрыва второго рода.
2. Рассмотрим точку х = 1. Находим пределы
|
x |
|
x |
||
f(1 - 0) = lim 3 |
x 2 −1 |
= 0, |
f(1 + 0) = lim 3 |
x 2 −1 |
= +∞, |
x→1−0 |
x→1+0 |
функция в точке х = 1 имеет также разрыв второго рода.
Найдем теперь пределы при |
х → ± ∞ . |
|
|||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
f (-∞) = lim 3 |
x2 −1 |
|
=1, f (∞) = |
lim 3x2 −1 |
=1 . |
||
x→−∞ |
|
x→+∞ |
|
График функции показан на рис. 1.18.
Рис. 1.18
41
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2.1. Вычисление производных
10. Производной от функции у = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента
|
|
|
|
lim |
|
f (x0 |
+ x) − f (x) |
= lim |
y |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
x →0 |
|
|
|||
Если этот предел конечный, то функция называется |
|||||||||||||
дифференцируемой в точке x 0. |
|
|
|
|
|
||||||||
Производная обычно обозначается y‘ |
или |
yx’ , или f’‘(x), |
|||||||||||
или |
|
dy |
. |
Нахождение |
производной |
называется |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцированием функции. |
|
|
x = a |
|
|||||||||
Частное |
значение |
производной при |
обозначается |
||||||||||
f ‘(a) |
или y ‘ x = a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Геометрически производная y‘(x0) |
функции y = f(х) |
||||||||||||
представляет |
угловой |
коэффициент |
|
k = tgα = y‘(x0) |
касательной к графику этой функции в точке х0 (рис.2.1).
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа |
f ' |
(x ) = lim |
y(x0 ) |
|
и |
f ' |
(x ) = lim |
y(x0 ) |
|
|||
|
|
|||||||||||
|
− |
0 |
x→−0 |
x |
|
+ |
|
0 |
x→+0 |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
называются |
соответственно |
левой |
и |
правой |
|
производными |
42
функции у = f(x) в точке x0 . Для существования производной функции f (х) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производные в этой точке существовали и были равны между собой: f−' (x0 ) = f+' (x0 ) .
Если существует (конечный или нет) предел
lim |
f (x) = M , то такова же будет и производная в точке x0 |
||
x→x0 ±0 |
|
|
|
справа (слева). |
|
|
|
Если в точке x0 производная не определена, но функция |
|||
имеет |
различные односторонние пределы lim |
y(x0 ) |
и |
|
x→0− |
x |
|
y(x0 ) , то в этой точке графика функции существуют две x
различные с соответствующими угловыми коэффициентами k 1 , k 2 односторонние касательные, составляющие угол (рис. 2.2), а точка называется угловой.
|
|
|
Рис. 2.2 |
Если |
lim |
y(x1) |
= ±∞, то есть функция имеет |
|
x→0 |
x |
|
бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).
Если в точке x2 |
функция |
имеет |
бесконечные |
односторонние производные |
разных |
знаков, |
то график |
43
функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (точка возврата с вертикальной касательной (рис. 2.2)).
20. Основные правила дифференцирования:
1. (Cu)’=Cu’; |
|
|
|
|
|
2. (u+v)’ = u’ + v’ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. (uv)’ =u'v + v'u; |
|
|
u |
' |
= |
|
u'v −uv' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где u ,v — некоторые функции от x, a С - постоянная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
величина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. Таблица производных основных функций: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. (xn)’=nxn-1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y = C, y’= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. (sin x)’= cos x ; |
|
|
|
|
|
4. (cos x)’= - sin x; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. (tg x)’ = |
1 |
|
|
; |
|
|
6. |
(ctg x)’ = - |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7. (ax)’ = ax lna, a>0; |
|
8. |
(ex)’ = ex; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
’ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. (logax) = |
|
|
|
|
, a≠1, a>0; |
10. |
(ln x) = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x ln a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
11. (arcsin x)’= |
|
|
1 |
|
|
; 12. (arcos x)’ = - |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|||||
13. (arctg x)’ = |
|
|
1 |
|
; |
|
|
14. (arcctg x)’ = - |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
+ x2 |
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. (ch x)’ = sh x; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15. (sh x)’ = ch x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
17. (th)’ = |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
18. (ctg x)’ = - |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
40. Гиперболический синус, косинус, тангенс и котангенс |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяются выражениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sh x= |
ex |
− e−x |
|
; ch x = |
|
ex + e−x |
|
; th x = |
|
shx |
|
; cth x = |
chx |
и |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
chx |
shx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
обладают свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. ch2 x – sh 2x =1; |
2. ch2 x – sh 2x = ch2x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. sh2x = 2shxchx; |
4. |
|
sh0 = 0; |
ch0 = l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
50. Производная от сложной функции y = f(u), где u = u(х), равна произведению производной от этой функции по промежуточному аргументу и на производную от
промежуточного аргумента и по независимой переменной х,
т. е. y’ = f ’u u’x .
1.1. Пользуясь только определением производной, найти
производные от функций: |
|
|
|
||||
а) у=х2 - Зх + 5; 6) у = |
x ; в) y = tg2x. |
||||||
Решение. а) Находим приращение функции |
|||||||
y = y(x+ |
x) – y = (x + |
x)2 – 3(x+ |
x) + 5 – x2 +3x -5= x2 + |
||||
2x x + |
x2 – 3x -3 x+5 - x2 +3x -5 = 2x |
x + x2 - 3 x. |
|||||
По определению производной имеем |
|||||||
’ |
lim |
y |
lim |
2x x + |
x2 −3 x |
= |
|
|
|
|
|
||||
y = |
x→0 |
x = x→0 |
x |
|
= lim (2x −3 + x)= 2x −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Приращение функции равно: |
y= |
x + |
x − |
x . |
|
|||||||
|
|
По определению производной имеем: |
|
|||||||||
|
|
у‘ = lim |
y = lim |
x + |
x − |
x = |
|
|||||
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
= lim ( x + |
x − |
|
x )( x + |
x + |
x ) = |
|
||||
|
|
x→0 |
|
x( |
x + |
x + |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
x + x − x |
|
= lim |
|
1 |
x ) |
= |
|
1 . |
||
x→0 |
x( x + x + |
|
x ) |
x→0 ( x + x + |
2 x |
|||||||
в) Находим приращение функции |
|
|
|
|
||||||||
|
|
y = tg(2x + 2 |
x) - tg2x = |
|
|
|
|
|||||
|
= |
sin(2x + 2 |
x) cos 2x −sin 2x cos(2x + 2 |
x) |
= |
|||||||
|
cos(2x + 2 x) cos 2x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
sin(2 |
x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(2x + 2 |
x)cos 2x |
|
|
|
|
|
|
45
По определению производной
|
|
|
|
|
|
|
y' |
= lim |
sin(2 |
x) |
|
|
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x cos(2x + 2 x) cos 2x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x)cos 2x |
|
cos2 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 cos(2x + 2 |
|
|
|
||||||||
1.2. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) y = |х|, (х ≠ 0); б) y = |2х-3|; в) y = e2 x ; |
|
||||||||||||||||||||
г) y = |х + 1| + |х - 1 | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. а) Представим функцию в виде |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, x > 0; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
x < 0; |
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > 0; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' = |
−1, x < 0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следует |
|
|
заметить, |
что |
функция |
|
у = x |
|
|||||||||||||
производной |
|
в |
точке |
x0, так |
как |
f−' (0) = lim − |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−0 |
|
f+' (0) = lim |
|
|
x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x→+0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Представим функцию в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2x −3, |
|
|
x > 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
|
|
|
+3, |
|
|
|
x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тогда |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, x |
> |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
' |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
− 2, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
в) Представим функцию в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 x |
, |
|
x > 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
−2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, |
|
x < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не имеет xx = −1 , а
46
В этом случае производная будет
|
|
|
|
|
2 x |
, |
|
|
x > 0; |
|
|
|
|
|
||||||
y' |
= |
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2e |
, x < 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
г) Представим функцию в виде |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2x, |
|
x >1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
|
|
|
−1 < x <1; |
|
|
|
|
|
||||||||||
2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < −1, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− 2x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тогда |
|
|
|
|
x >1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y' |
= |
0, −1 < x <1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < −1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 2, |
|
|
y-‘(x0), |
y+’(x0) |
|
|||||||||||||
1.3. Найти производные |
|
для функций: |
||||||||||||||||||
а) |
y = |
x, |
|
|
|
x ≤1; |
|
x0 = 1; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2x, x > |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
− x2 |
|
|
1, |
|
|
|
|||||||||||
б) y = 1 − e−x 2 , x = 0; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
в) y = |
|
2 − x |
|
+ |
|
2 + x |
|
, x0 = ±2. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Решение. а) Находим производную |
||||||||||||||||||
y' |
= |
1, |
|
x ≤1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x >1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
− 2x + 2, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и вычислим пределы производной слева и справа в точке |
||||||||||||||||||||
x0=1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y−′(1) = lim 1 =1, |
y+′ = lim (−2x + 2) = 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
||||
б) |
Находим производную y' |
= |
x |
и вычислим |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 2 |
1 − e−x 2 |
|
пределы производной слева и справа в точке x0: |
||||||||||||||||||||
y−′(0) = lim |
|
|
|
|
|
x |
|
= −1, |
|
|
|
|||||||||
|
|
ex2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
→−0 |
|
|
ex2 −1 |
|
|
|
y+′(0) = lim |
|
x |
=1. |
|
ex2 −1 |
||
x→+0 ex2 |
|
Касательные к кривой в точке x0 = 0 показаны на рис. 2.3.
Рис. 2.3
в) Представим заданную функцию в виде
− 2x, x ]− ∞,−2];
y = 0, x ]− 2,2];
2x, x ]2,∞[
и найдём производную
− 2, x ]− ∞,−2];
y′ = 0, x ]− 2,2];
2, x ]2,∞[.
1.4. Найти производные: а) y = |
x3 |
− |
3 |
+ 4 x −5 |
; |
||||||||
2 |
x2 |
||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1, |
|
|||
б) y = x cos x; в) y |
= |
|
|
; г) y = |
|
− x |
|
|
|||||
|
x2 +1 |
3 |
|
|
|||||||||
′ |
f |
′ |
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||
вычислить f (0), |
(1), |
(−1). |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Преобразуем функцию к виду, удобному для дифференцирования. Пользуясь основными правилами дифференцирования и таблицей производных, имеем
48
|
|
|
|
|
|
|
= 1 x3 − |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
3x−2 + 4x2 −5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
3 |
2 |
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 2 x |
|
+6x |
|
+ 2x |
|
2 = |
|
2 x |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x |
||||||||||||||||||||
б) Здесь имеет место случай произведения двух функций, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
′ |
= |
3 |
|
′ |
|
3 |
|
|
|
|
′ |
= 3x |
2 |
cos x − x |
3 |
sin x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x |
|
) cos x + x |
(cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в) Поскольку имеет место частное двух функций, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
(x |
2 |
′ |
2 |
+1) − (x |
2 |
)(x |
2 |
|
′ |
|
|
|
|
2x |
3 |
+ 2x − 2x |
3 |
|
|
|
2x |
|||||||||||
y |
= |
|
|
) (x |
|
|
|
+1) |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +1)2 |
|
|
(x2 +1)2 |
г) Находим производную f'{x) = x2 - 2х и вычисляем ее значения в точках x = 0, х = 1, х = - 1 , т. е. находим частные значения производной в этих точках:
f |
′ |
= 0, |
f |
′ |
= −1, |
f |
′ |
= 3. |
(0) |
(1) |
(−1) |
1.5.Найти производные: а) y = ln x2 − 4x + 4 ;
x2 + 4x + 4
б) |
y = ln |
x +1 |
; |
|
в) |
|
y = log2 |
3 tg 2 2x; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 − x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
y = ln3 cos |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. a) Упростим логарифмируемое выражение |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x − 2 |
2 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
||||||
y = ln |
|
= 2ln |
|
|
. |
Полагая у = 2ln и, |
u = |
|
|
, |
||||||||
|
x + 2 |
x + 2 |
||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
применяем правило дифференцирования сложной функции |
|
|||||||||||||||||
y′ = 2(ln u)′u u′x = 2 |
x + 2 |
|
|
(x − 2)′(x + 2) − (x − 2)(x + 2)′ |
= |
|
|
8 |
. |
|||||||||
x − 2 |
|
x2 |
− 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)2 |
|
|
б) Полагая у = lп и, где и = |
x +1 |
, имеем |
x2 − x +1 |
||
y′ = 2(ln u)′u u′x = |
|
|
49
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x +1 − (x +1) |
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
|
x2 − x +1 |
|
2 x2 − x +1 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
3 |
|
|
|
1 − x |
= |
|
3 1 − x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 (x +1)(x2 − x +1) |
|
2 (x +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
в) Упростим логарифмируемое выражение |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = log2 tg |
3 |
2x = |
log2 tg2x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Дифференцируем как сложную функцию |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
= 3 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg2x ln 2 |
cos2 2x |
sin 4x ln 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) Дифференцируем как сложную функцию |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
x |
|
||||
|
|
|
y |
= 3ln |
|
cos 3 cos |
x |
|
(−sin 3) 3 = −tg 3 ln |
|
|
|
cos 3 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1.6. Найти производные: а) z = xea |
+ ae |
a ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) |
y = e−3x (sin 3x + cos3x) ; в) z = ln |
|
1 − 2x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x |
|
|
|
|
г) y = esin 3 |
x + 55 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
a) |
Дифференцируем |
||||||||||
|
|
x |
|
x |
1 |
− |
x |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
функций z′ = ea + xea |
|
|
||||||||||||
|
+ ae |
|
− |
|
|
= |
||||||||
a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
как сумму сложных eax 1+ ax −e−ax .
б) Дифференцируем как произведение сложных функций y′ = e−3x (−3)(sin 3x + cos3x) + e−3x (cos3x 3 + (−sin 3x) 3) =
= −6e−3x sin 3x.
в) Упростим функцию y = 1 ln 1 − 2x . 2 1 + 2x
Находим производную как от сложной функции
50