2536
.pdf5.13. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, определяется по закону q = 3t2-2. Найти силу тока в конце второй секунды.
Решение. Сила тока равна первой производной от коли-
чества электричества по времени I = dqdt = 6t . При t = 2 сила
тока равна I(I = 2) = 6·2 = 12а.
5.14. Зависимость между количеством q вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выра-
жается уравнением q = A(1 −e−at ) .
Определить скорость реакции.
Решение. Скорость реакции есть производная dqdt = Aae−at или q = a( A − q) .
2.6. Теоремы о среднем
10. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка и удовлетворяет условию f(a) = f (b) = 0, то между a и b найдется такая точка ξ ]a,b[, что f ′(ξ) = 0 .
Геометрически это означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f(x) равны нулю, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ох (рис.2.14). Теорема также верна, если f(a) = f(b) ≠ 0.
Рис. 2.14
91
20. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то между а и b найдется такая точка ξ ]a,b[, что f(b)-f(a)=(b-a) f ′(ξ) . Эта формула называется
формулой конечных приращений.
Геометрически это означает следующее: на дуге АВ (рис. 2.15) всегда найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.
Рис.2.15
30. Теорема Коши, Пусть функции ϕ(x) и ψ (x) непрерывны на отрезке [а, b] и имеют конечные производные в каждой внутренней точке этого отрезка. Если эти производные не обращаются в нуль одновременно и ϕ(a) ≠ ϕ(b) , то между a и b
найдется такая точка ξ ]a,b[, что |
ψ (b) −ψ (a) |
= |
ψ |
′ |
, если |
′(ξ) |
|||||
|
ϕ(b) −ϕ(a) |
|
ϕ (ξ) |
|
ϕ′(x) ≠ 0 в промежутке [а, b].
6.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функций: а) у = х2-2х-3 на отрезке [-1,3]; б) y = 1 - 5 x2 на от-
резке [-1,1].
92
Решение. а) Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. Значения функции на границах отрезка равны между собой у(-1) = y(З) = 0 и функция имеет конечную производную y′= 2x - 2 в каждой точке этого отрезка, следовательно, условия теоремы Ролля выполняются.
Значение ξ определяем из выражения y′= 0, 2x - 2 = 0,
т. е. ξ = 1.
б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и на концах этого отрезка принимает равные значения y(-1)=y(1)=0. Находим
|
|
′ |
2 |
|
1 |
|
производную |
y |
= − 5 |
5 |
x3 в точке x = 0 [-1,1] производная |
||
|
не существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены, то теорема Ролля к данной функции неприменима.
6.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для
функций: а) f(x) = |
1 |
x3 |
− x +1 на [0,1]; б) f (x) = 3 |
x2 −1 на |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
||
[−1,1] . Если теорема применима, то найти точку ξ . |
|
Решение. а) Даная функция на отрезке [0,1] непрерывна и имеет конечную производную f ′(x) = x2 −1. Следовательно, условия теоремы Лагранжа выполняются. Точку ξ найдем из
формулы |
конечных |
приращений |
|
|
′ |
|||||
f (1) − f (0) = (1 −0) f (ξ) , |
||||||||||
|
1 |
−1 = ξ 2 |
−1 , |
ξ1,2 |
= ± |
3 . Поскольку |
ξ = − |
3 не принадле- |
||
3 |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|||
жит отрезку [0,1], то искомое значение ξ = |
|
3 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и имеет произ- |
||||||||
|
|
|
′ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
водную f (x) = 3 |
3 x . Поскольку производная в точке x=0 |
[-1,1] не существует, то теорема Лагранжа к данной функции не применима.
93
6.3. В какой точке касательная к параболе у = х2 +2х параллельна хорде, стягивающей точки A(−2,0) и B(1,3) ? Пояс-
нить графически.
Решение. Наклон хорды АВ (рис. 2.16) определяется уг-
ловым коэффициентом k = |
y2 |
− y1 |
= |
3 − 0 |
=1. По теореме Ла- |
||
y |
2 |
− x |
1 + 2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
гранжа f (1) − f (−2) = (1 + 2) f ′(ξ) , 3 = 3(2ξ +2), ξ = − 12 . Угло-
вой коэффициент касательной к данной кривой
Рис. 2.16 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
Следовательно, в точке |
С |
− |
|
, |
|
касательная к парабо- |
|
2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
ле параллельна хорде АВ. |
|
|
|
|
|
||
|
6.4. Для функций ϕ(x) = sin x |
и ψ (x) = cos x |
проверить |
||||
выполнение условий теоремы Коши в интервале |
[0, π ] |
и |
|||||
найти t. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
Найдем |
|
|
производные |
||
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
ϕ (x) = cos x; ψ (x) = −sin x . Поскольку производные сущест- |
|||||||
вуют |
во |
всех |
точках |
этого |
интервала |
и |
94
ϕ(a) ≠ϕ(b); sin 0 |
≠ sin π , |
то условия теоремы Коши выпол- |
|||||
няются. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле Коши имеем |
|
|
|||||
|
cos |
π |
−cos 0 |
−sin ξ |
|
|
π |
|
2 |
|
tgξ =1, ξ = |
||||
|
|
|
|
= cosξ |
, откуда |
4 . |
|
|
sin |
π |
−sin 0 |
||||
|
2 |
|
|
|
|
6.5. Доказать, что уравнение ex-x-1=0, имеющее корень x=0, не имеет других действительных корней.
Решение. Пусть данное уравнение имеет еще один действительный корень х2, тогда между корнями x=0 и x2 найдется такая точка ξ , в которой f (ξ) = 0 . Обозначим левую часть
уравнения за f (x) = ex − x −1 и найдем производную f ′(x) = ex −1. Приравнивая ее нулю, получим ex=0, x=0.
Поскольку это значение х совпадает с корнем уравнения, а другой точки ξ , где бы f (ξ) = 0 нет, то данное уравнение не
имеет других действительных корней.
6.6. Многочлен f (x) = x4 − x3 + x2 − x имеет корни x=0 и x = 1. Доказать, что dfdx имеет действительный корень, при-
надлежащий интервалу [0,1].
Решение. Находим производную dfdx = 4x3 −3x2 + 2x −1.
Поскольку функция f(x) удовлетворяет на интервале [0,1] условиям теоремы Ролля, то приравниваем производную нулю 4x3 −3x2 + 2x −1 = 0 . Данное уравнение третьей степени, следовательно, имеет, по крайней мере, один действительный ко-
рень. Поскольку многочлен dfdx на концах интервала [0,1]
имеет разные знаки, а производная от него
95
d 2 f |
=12x |
2 |
−6x + 2 |
не имеет корней, то |
df |
на данном интер- |
dx2 |
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
вале имеет один действительный корень.
2.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Если при x → a функции ϕ(x) и ψ(x) одновременно
стремятся к нулю или ∞, то предел их отношения равен пределу отношения их производных, т. е.
lim |
ϕ(x) |
= lim |
ϕ′(x) |
x→a |
ψ (x) |
x→a |
ψ (x) |
|
′ |
При этом предполагается, что ϕ(x) и ψ(x) существуют и
конечны.
Если же отношение производных также будет представ-
лять случай 00 или ∞∞ , можно снова и снова применять прави-
ло Лопиталя. Если неопределенности типа 0 ∞ или ∞ −∞, то сначала приводят эти функции к виду дроби, которая пред-
ставляет неопределенность 00 или ∞∞ , а затем уже пользуются
правилом Лопиталя.
Нахождение предела функции в случае неопределенно-
стей типа 1∞ , ∞0 , |
00 с помощью логарифмирования также сво- |
||||||||||||||||
дится сначала к случаям |
0 |
или |
|
∞ |
, а затем уже используется |
||||||||||||
0 |
|
∞ |
|||||||||||||||
правило Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.1. Найти пределы: а) lim |
|
ex |
−1 |
; |
б) lim |
1 |
−cos 2x |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin 3x |
|
1 |
−cos3x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
||||||
в) lim |
ex2 − x2 −1 |
; |
г) lim |
ln sin x |
. |
|
|
|
|
||||||||
sin 4 |
2x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
96
Решение. а) При x → 0 имеем неопределенность вида 00 .
Применяем правило Лопиталя:
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
ex −1 |
= lim |
|
|
|
ex |
|
|
|
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
3cos3x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
б) При x → 0 неопределенность вида |
|
. Применяем пра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 −cos 2x |
|
|
|
|
|
|
2sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
= lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −cos 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
3sin 3x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
При x → 0 имеем неопределенность вида |
|
. Применяем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
правило Лопиталя еще раз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2sin 2x |
|
= lim |
4 cos 2x |
= |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin 3x |
9 cos 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
0 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
в) При x → 0 неопределенность вида |
|
. Применяем пра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
ex2 |
|
− x2 −1 |
= lim |
|
|
|
2xex − 2x |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
xex2 − x |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin 4 2x |
|
|
4sin3 2x cos 2x |
2 |
2sin3 |
2x sin 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Выделим первый замечательный предел и воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теоремами о пределах и правилом Лопиталя еще раз: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
2xex2 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
ex2 −1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
lim |
ex2 |
−1 |
= |
||||||||||||||||||
|
|
2sin 2x cos 2x |
2 |
|
8sin 2 2x cos 2x |
2 |
|
|
sin 2 |
2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
8 x→0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 |
|
lim |
|
|
|
|
2xex2 |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2sin 2x cos 2x 2 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
8 x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
г) При x → 0 неопределенность вида |
. Применяем пра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
lim |
ln sin x |
|
|
|
= lim |
cos x x |
= lim cos x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
ln x |
|
|
x→0 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
|
|
1 |
|
x |
|
|
7.2. Найти пределы: a) lim |
|
− |
|
|
; |
|
|
x −1 |
|||||
x→0 |
ln x |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
x |
|
1 |
|||
б) lim |
|
− |
|
|
|
; в) lim(x −π)tg |
|
; г) lim x sin |
|
|
|
x→0 x2 |
|
x sin x |
|
x→π |
|
2 |
x→∞ |
x |
|||
Решение. |
a) При |
|
x →1 имеем |
неопределенность |
вида |
∞ −∞. Приводим к общему знаменателю и получаем неопре-
деленность |
0 |
. Применяем правило Лопиталя: |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
x −1 − x ln x |
= −lim |
|
ln x |
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|||||||||||
x→1 (x −1) ln x |
x→1 |
ln x + |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
= −lim |
|
x ln x |
|
= −lim |
ln x +1 |
|
|
= − |
1 |
||||||||
|
|
|
|
ln x +1+1 |
2 |
||||||||||||
|
x→1 x ln x + x −1 |
x→1 |
|
6)При x → 0 имеем неопределенность ( ∞ −∞). приводим
кобщему знаменателю и получаем неопределенность 00 . При-
меняем правило Лопиталя: |
sin x − x |
|
|
|
|
cos x −1 |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
− |
|
1 |
= lim |
= lim |
|
|
|
= |
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 sin x |
2x sin x + x2 cos x |
|||||||||||||||
x→0 x2 |
|
|
x sin x |
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||
|
|
= lim |
|
|
−sin x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→0 2sin x + 4x cos x − x2 sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= −lim |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
= − |
1 |
. |
||||
2 cos x + 4(cos x − x sin x) − 2x sin x − x2 cos x |
6 |
||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||||
в) При |
x → π |
имеем неопределенность вида |
( 0 ∞ ). |
||||||||||||||||
Приводим неопределенность к виду |
|
0 |
и пользуемся правилом |
||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лопиталя:
98
lim(x −π)tg |
|
x |
= lim |
x −π |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= −2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→π |
|
|
|
x→π |
|
ctg |
x |
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) При x → ∞ имеем неопределенность вида 0 ∞ . При- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
водим эту неопределенность к виду |
|
0 |
|
|
и пользуемся правилом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
sin |
|
|
|
= lim |
|
|
cos |
|
|
|
|
1 |
=1. |
|||||||||||||||||||||||||
lim x sin |
= lim |
x |
|
|
x2 |
x |
= lim cos |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
x |
|
x→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
7.3. Найти пределы: a) |
lim(tgx)tg 2 x ; 6) lim(ln x) |
x |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim x x |
; |
r) |
lim(x + 2x ) |
x |
; |
д) |
|
|
lim(1 +sin 2x)ctg 5 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
имеем неопределенность 1∞ . |
||||||||||||||||||||||||||||
Решение. a) При x → 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прологарифмируем данную функцию y=(tgx)tg2x; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln y = tg2x ln tgx , |
тогда |
lim ln y = lim tg2x ln tgx , т. e. по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
лучим неопределенность вида ∞ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Представим эту неопределенность в виде неопределен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ности |
0 |
и применим правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ln y = lim |
ln tgx |
|
= −lim |
sin 2 |
2x |
= −1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg2x |
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→ 4 |
|
|
|
x→ |
4 |
|
|
|
|
x→ 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
Так |
как |
lim ln y = −1 , |
то |
lim y = e−1 |
= |
|
|
1 |
|
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim(tgx)tg 2 x = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→π |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Неопределенность вида ∞0 . Прологарифмируем дан- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ную функцию y = (ln x) |
x |
|
|
ln y = |
ln ln x |
и сведем неопреде- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ленность к виду |
∞ : |
lim ln y = lim ln ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применим правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln ln x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
|
= lim |
|
x |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
x |
x→∞ ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Так как lim ln y = 0 , то lim y =1 или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim(ln x) |
x |
=1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) Неопределенность вида 00. Прологарифмируем функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
цию y=xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ : |
||
. |
Представим |
|
неопределенность |
|
|
в |
|
|
виде |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim ln y = lim |
|
. Применим правило lim |
= lim |
|
|
|
x |
= 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
x→0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1 |
|
|
x→0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда lim ln y = 0 , lim y =1 . |
Итак lim x x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
г) Неопределенность вида ∞0 . Положим |
y = (x + 2x ) |
x |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прологарифмируем: ln y = |
|
1 |
ln(x + 2x ) . Применяя правило Ло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
питаля, получим
100