2536
.pdfx = x2 - x1=2 – 1 = 1. Вычислим исходное значение функции
y(x1) = 2 13 - 3 1 + 1 = 0.
Вычислим новое значение функции
y(x1 + x) = y(1+1) = 2 23 - 3 2 + 1 = 11.
Отсюда приращение функции
|
|
y=y( x1 + |
x ) - y( x1 ) = 11. |
|
|
5.2. Найти приращение функции y=3 x2 -2x+4 и вычислить |
|||||
его при x = 2 и |
x = - 0,1. |
|
|
|
|
Решение. |
Новому |
значению |
аргумента |
x+ x |
|
соответствует новое значение функции |
|
|
|||
|
|
y(x + x) = 3(x + x)2 - 2(x + x) + 4. |
|
||
Приращение функции равно y=y(x + |
x)-y(x)= |
|
|||
=3(x + |
x)2 - 2(x + x) + 4 - 3x2 - 2x – 4 = (3 |
x+6x-2) |
x. При |
||
х =2 и |
x = - 0,1 |
получим y = (-0,3 + 12 - 2)(-0,1) = 0,97 . |
5.3.Найти множество значений х, при которых функция
у= x3 - 2x непрерывна.
Решение. Найдем приращение функции |
|
y=(x + x)3 - 2(x + x) - (x3-2x) = x( x2+3x |
x+3x2-2). |
При любых значениях х приращение |
y→0, если |
только x→0, поэтому функция непрерывна при всех действительных значениях х.
5.4. Доказать непрерывность функции y = |
|
|
1 |
|
|
в точке |
|
|||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||
х = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Для доказательства найдем приращение |
||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
у |
при |
переходе |
значения аргумента от |
х = 3 к |
||||||||||||||||||||
х = 3 + х |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 − 2 − x |
|
|
|
|
− x |
|
|
||||
y= |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
− |
|
= |
= |
|
|
|
. |
||||||||||
3 |
+ |
x −1 |
3 |
−1 |
2 |
+ |
x |
2 |
|
|
2(2 + x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2(2 + |
x) |
|
|
||||||||||||||||||
Найдем предел приращения функции при |
|
x→0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
y = − lim |
|
|
x |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2(2 |
+ |
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как предел приращения функции при |
x→0 равен |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю, то функция при x = 3 непрерывна.
5.5. Найти приближенно хотя бы один корень уравнения
3x3 + 2x2 – x – 1 = 0.
Решение. Найдем точку пресечения графика функции y=3x3 + 2x2 – x – 1 = 0 с осью Ох, то есть точку, в которой у = 0.
Подберем две произвольные точки, в которых функция имеет разные знаки. Пусть х =0, тогда у = - 1 , у < 0. При х = 1, у = 3 + 2 - 1 - 1 = 3, у > 0 . Значит, корень находится между x= 0 и х = 1 (в силу свойства непрерывности).
|
|
|
Определим знак функции в середине промежутка [0,1], т. е. |
||||||||||||||||||||||||||
при х =0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Находим y=3 0,53+2 0,52-0,5-1=-0,625; y < 0. Значит, корень |
||||||||||||||||||||||||||
находится между х = 0,5 и х = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Определим знак функции в середине этого промежутка, |
||||||||||||||||||||||||||
т.е. при x = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
2 |
− |
3 |
−1 = |
41 |
|
||||||||||
|
. Находим y = |
3 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
64 |
|
|||||
|
|
|
Следовательно, |
|
корень |
|
находится |
внутри |
промежутка |
||||||||||||||||||||
1 , |
3 . Находим знак функции в середине этого промежутка, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. при x = |
5 |
5 |
3 |
5 |
2 |
5 |
|
|
213 |
|
|
71 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
, 3 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
− |
|
|
|
−1 = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
>0. |
|
|
||||||
8 |
|
|
8 |
|
192 |
|
64 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, корень находится внутри промежутка 12 , 85 .
Можно уже считать, что x = 169 . Если требуется большая
точность, то указанный процесс приближений может быть продолжен дальше.
5.6. Определить характер разрыва функций: а) y= |
1 |
|||||
x −1 |
||||||
|
|
|
2x, при |
x ≠ 2, |
||
при x = 1; б) y= |
x |
|
||||
при x = 0; в) y= |
|
|
||||
x |
|
x = 2. |
|
|||
|
|
1, при |
|
32
1 |
|
1 |
|
||
г) y= a |
x |
(a>1); д) y=arctg |
и построить графики. |
||
x |
|||||
|
|
|
|
Решение. а) При х = 1 функция |
не определена: |
|||||||
lim |
1 |
|
= −∞; |
lim |
|
1 |
|
= +∞. |
x −1 |
|
|
|
|||||
x→1−0 |
|
x→1+0 x −1 |
|
Следовательно, при х = 1 функция имеет разрыв второго рода (рис. 1.7).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7 |
|
||||
|
б) При x<0 предел равен lim |
|
x |
|
= −1 = k |
, при х > 0 предел |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
x |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
равен |
|
lim |
|
x |
|
|
=1 = k2 . Следовательно, при х = 0 функция |
|||||||||
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет |
|
разрыв |
|
|
первого рода |
|
и |
|
скачок |
функции равен |
||||||
|
k1 − k2 |
|
= |
|
−1 −1 |
|
= 2 (рис. 1.8). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
|
|
в) Функция |
определена |
на |
всей |
числовой оси, |
||
неэлементарная, |
так как |
в |
точке |
x = 2 |
аналитическое |
|
выражение функции меняется. |
|
|
|
|
||
Исследуем непрерывность функции в точке х = 2: |
||||||
lim 2x = 4 , |
lim 2x = 4 , |
y(2)=1, |
k1 |
= k2 ≠ k3 . |
||
x→2−0 |
x→2+0 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что в точке х = 2 функция имеет устранимый разрыв (рис. 1.9).
г) Найдём пределы: |
Рис. 1.9 |
|||
|
|
|
||
1 |
1 |
|
||
y(+0) = lim a |
x |
= +∞, y(-0) = lim a |
x |
= 0. |
x→+0 |
x→−0 |
Вточке x=0 справа функция имеет разрыв второго рода,
аслева — непрерывность (рис. 1.10).
34
д) Найдем пределы: |
|
|
Рис. 1.10 |
|
|
|
|||
π |
|
|
|
|
π . |
||||
y(+0)= lim arctg |
1 |
= |
, |
y(-0)= lim arctg |
1 |
= − |
|||
x |
2 |
x |
|||||||
x→+0 |
|
|
x→−0 |
|
2 |
В точке x=0 с обеих сторон скачки (рис. 1.11).
|
Рис. 1.11 |
|
|
|
5.7. Дана функция |
1 |
|
|
|
y = |
|
, |
и три значения |
|
x2 + 4x −5 |
||||
аргумента x1 = -5, x2 = 0, |
x3 = 1. Выяснить, |
является ли данная |
функция непрерывной или разрывной для каждого из данных
значений х? Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|||
Решение. Исследуем |
непрерывность |
функции в точке |
|||||
x = -5: |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
lim |
= ∞, lim |
|
|
= −∞. |
|||
x2 + 4x −5 |
x2 |
+ 4x −5 |
|||||
x→−5−0 |
x→−5+0 |
|
|||||
|
|
35 |
|
|
|
|
Следовательно, при х1 = -5 функция имеет разрыв второго рода (рис. 1.12).
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.12 |
|
|
||||
При x2 = 0 пределы слева и справа равны: |
|
||||||||||||
lim |
|
|
1 |
= −1/ 5, |
lim |
|
|
1 |
|
= −1/ 5, |
y(0) = -1/5, |
||
|
|
+ 4x −5 |
|
|
+4x −5 |
||||||||
x→−0 x2 |
|
|
|
x→+0 x2 |
|
|
|||||||
следовательно, функция в этой точке непрерывна. |
|
||||||||||||
Исследуем непрерывность функции в точке x3=1: |
|||||||||||||
lim |
|
1 |
|
|
= −∞, |
lim |
|
1 |
|
= ∞. |
|
||
|
2 + 4x −5 |
|
+ 4x −5 |
|
|||||||||
x→1−0 x |
|
x→1+0 x2 |
|
|
|||||||||
Следовательно, при х = 1 функция имеет разрыв второго. |
|||||||||||||
Точки х = 1 и х = -5 |
являются вертикальными асимптотами. |
5.8.Найти точки разрыва функции, если они существуют,
исделать чертеж:
|
|
2 |
, x ≤1; |
|
|
x |
, x ≤ −1; |
|||||||||
|
x |
|
|
2 |
|
|||||||||||
а) y= |
1, 1 < x ≤ 3; |
б) y= x +1, −1 < x ≤ 0; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + 5, x > 3; |
|
cos x, x > 0. |
|||||||||||||
|
|
|
x = 0 и x = ±3; |
|
2x −1, x < 0; |
|||||||||||
|
3, |
|
||||||||||||||
в) y= |
9 − x2 , 0 < |
|
x |
|
≤ 3; |
г) y= |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x ≥ 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
9, |
|
x |
> 3. |
|
|
x −1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Решение. a) Функция неэлементарная, так как задана |
|
|||||||||
тремя аналитическими выражениями на различных |
|
|||||||||
промежутках изменения аргумента, определена на всем |
|
|||||||||
множестве действительных чисел. |
функции в точках х = 1 и |
|
||||||||
Исследуем |
|
непрерывность |
34 |
|||||||
х = 3: y(1) = lim x2 =1; |
|
y(3) =1; |
lim (−x + 5) = 2 = k. |
|||||||
|
|
|||||||||
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
x→3+0 |
|
||
Таким образом, в точке х = 1 функция непрерывна, а в |
|
|||||||||
точке х = 3 терпит разрыв первого рода (рис. 1.13) и имеет |
|
|||||||||
скачок, равный |
|
y(3) − k |
|
= |
|
1 − 2 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.13
б) Функция определена на всем множестве чисел и неэлементарная.
Исследуем непрерывность функции в точках х = -1 и х = 0:
y(-1) = |
1 |
, |
lim (x +1) = 0; y(0) =1; |
lim cos x =1. |
|
2 |
|||||
|
|
x→−1+0 |
x→+0 |
Таким образом, функция в точке x = -1 имеет разрыв первого рода, а в точке х = 0 непрерывна (рис. 1.14).
Рис. 1.14
37
в) Функция определена на всей числовой оси, неэлементарная.
Исследуем непрерывность функции в точках х = - 3 , x=0, x= 3:
y(-3)=3, |
lim |
(9 − x2 ) = 0; y(−3 − 0) = 9; |
|
x→−3+0 |
|
y(0)=3, |
lim (9 − x2 ) = 9; lim y(9 − x2 ) = 9; |
|
|
x→−0 |
x→+0 |
y(3)=3, |
lim |
(9 − x2 ) = 0; y(3 + 0) = 9. |
|
x→3−0 |
|
Таким образом, функция в точках х = -3 и х = 3 имеет разрывы первого рода, а в точке x = 0 устранимый разрыв
(рис. 1.15).
Рис.1.15
г) Функция неэлементарная и определена везде кроме точки x = 1. Исследуем непрерывность функции в точках х = 0
и х = 1:
lim (2x −1) = −1, |
y(0) = −1, lim |
1 |
|
= −∞, lim |
1 |
|
= ∞. |
|
x −1 |
x −1 |
|||||||
x→−0 |
x→−0 |
x→+0 |
|
|||||
Таким образом, |
функция в точке х = 0 непрерывна, а в |
точке х = 1 имеет разрыв второго рода (рис. 1.16).
38
Рис. 1.16
5.9. Найти точки разрыва функции и построить график в
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
окрестности точек разрыва: а) f(x)= |
2 |
|
x +1 |
|
; б ) f(x)=3 |
|
. . |
||||||||||||||
|
|
x 2 −1 |
|||||||||||||||||||
x2 − x − 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. а) Приравнивая знаменатель к нулю, находим |
|||||||||||||||||||||
корни и преобразуем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
x +1 |
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
x +1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
f(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
|
− x − |
|
2 |
|
(x + |
|
1)(x − 2) |
|||||||||||||
Функция не определена в |
|
точках |
х = -1 и х = 2 и, |
следовательно, имеет в этих точках разрывы. Находим односторонние пределы для точки х = -1:
1. При x→-1-0, |
х + 1<0 и, следовательно, |х+1| = -(х+1). |
|||||||||||||||||
Отсюда f(-1-0)= |
lim |
− (x +1)2 |
|
= −2 |
|
lim |
|
1 |
= |
2 |
. |
|||||||
(x +1)(x − 2) |
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
x→−1−0 |
|
|
x→−1−0 x − 2 |
|
|
|||||||||||
2. При x→-1+0 |
x+1>0, |
|
|
x +1 |
|
= x +1 |
и |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f(-1+0) = lim |
|
2(x +1) |
= 2 lim |
1 |
|
= − |
2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→−1+0 (x +1)(x −2) |
x→−1+0 x −2 |
|
3 |
|
|
|
Поскольку оба предела конечны и не равны, то точка х = -1
— точка разрыва первого рода. 39
Находим скачок функции (рис. 1.17)
δ= f (−1 + 0) − f (−1 −0) = − 23 − 23 = − 43 .
Вокрестности точки x=2 x+1>0 , следовательно, |х+1| = х+1 и односторонние пределы будут
f(2-0) = |
lim |
2(x +1) |
= 2 |
lim |
1 |
|
= −∞, |
||
(x +1)(x − 2) |
x − 2 |
||||||||
|
x→2−0 |
|
x→2−0 |
|
|
||||
f(2+0)= |
lim |
|
2(x +1) |
= 2 |
lim |
1 |
|
= ∞. |
|
|
(x +1)(x − 2) |
x − 2 |
|
||||||
|
x→2+0 |
|
x→2+0 |
|
|
Таким образом, точка х=2—точка разрыва второго рода.
Рис. 1.17
б) Данная показательная функция не определена в точках x= -1 и x= 1 и, следовательно, имеет в этих точках разрывы.
Найдем односторонние пределы, учитывая, что а > 1, то
есть a' →+∞ при |
t=+∞ и a' →0 при t→-∞. |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1. Для точки |
х = -1 при |
x→-1-0, |
x2 – 1 > 0, |
|
< 0 |
и |
||||||||||||||
|
|
x2 |
−1 |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
→ −∞. Отсюда f(-1-0) = |
lim 3 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 −1 |
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x→−1−0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
При x→-1+0, |
x2-1<0, |
|
|
|
< 0, |
и |
|
|
|
→ ∞. |
|
|
||||||||
|
|
x2 −1 |
|
x |
2 −1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40