2536
.pdfНаходим предел lim |
x2 |
= ∞, т. е. прямая х = 1 есть |
|||||
(x −1)2 |
|||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
||
вертикальная асимптота. При x → ±∞ |
предел lim |
x2 |
|
=1 , |
|||
|
2 |
||||||
|
|
|
x→±∞ (x −1) |
|
т. е. прямая у = 1 есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 2.62.
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.62 |
||
14.2. Исследовать функции и построить их графики: |
||||||||
а) |
x = a cos3 t, |
y = a sin 3 t, t [0,2π[; ; |
||||||
б) |
x = a(t −sin t), |
y = a(1 − cos t), t [0,2π] ; |
||||||
в) |
x = |
3at |
|
, |
y = |
3at 2 |
. |
|
1 +t |
3 |
1 +t 3 |
||||||
|
|
|
|
|
Решение. a) Функции определены для любого значения t. Поскольку функция x четная, а у нечетная, то график функции симметричен относительно оси ординат и начала координат, т.е. относительно координатных осей.
Полагая x = 0, находим, что cos t = 0 и t = |
π |
, |
3π |
. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
При этих значениях t из выражения y = a sin 3 t находим, что y = ±a .
Полагая у = 0, находим, что sin t = 0 и t = 0,π . При этих значениях t из выражения y = a cos3 t находим, что х = ±а. Та-
151
ким образом, график функции пересекает координатные оси в
точках (a,0); (0,а); (-а,0); (0, -a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Найдем |
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y′y |
xt′ = −3a cos2 t sin t, |
|
yt′ = 3a sin 2 t cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
yt′ = |
|
= −tgt, |
y′′xx = |
( y′ |
)′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
t |
= |
|
|
|
|
. |
Из выражения для |
|||||||||||||||
|
xt′ |
|
|
|
|
3a cos4 |
t sin t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
y′ |
|
x′t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
производной |
определяем |
критические |
|
|
точки. |
|
|
При |
||||||||||||||||||
t = 0, |
|
t = π производная равна нулю, а при t = |
π |
, |
t = |
3π |
- не |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Таким образом, область изменения параметра t разбива- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
3π |
и |
3π |
|
|
|
||||||
ется на четыре интервала 0, |
|
; |
|
,π ; |
|
π, |
|
|
|
|
|
|
,2π . |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0, |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 , т. е. функ- |
||||||||
|
|
При t |
2 |
, производная y′x < 0 , а y′x′ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция убывает и график функции направлен выпуклостью вниз.
При |
π |
,π |
|
|
′ |
|
и |
′′ |
|
t |
|
yx > 0 |
yxx > 0 , т. е. функция возрастает и |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
график направлен выпуклостью вниз. |
|||||||||
|
|
3π |
|
′ |
|
|
′′ |
||
При |
t π, |
|
|
|
y |
< 0 |
и |
||
2 |
|
|
yxx < 0 , т. е. функция убывает и гра- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
||
фик направлен выпуклостью вверх. При |
t |
|
,2π y′x > 0 , а |
|
2 |
||||
|
|
|
y′xx′ < 0 , т. е. функция возрастает и график направлен выпукло-
стью вверх. Кстати, пользуясь симметрией графика функции, этот анализ можно было ограничить изменением параметра
|
π |
|
только одним интервалом, например, t 0, |
2 |
. |
|
|
При t ={0,π} производная y′x = 0, y = 0 и касательные совпадают с осью x, т. е. точки (a,0) и (-a,0) будут точками
152
возврата. При t = π2 ; 32π производная y′x не существует, а при
x = 0, касательные совпадают с осью у и точки(0,a), (0,-a) будут также точками возврата. Учитывая все это, представим график функции (рис. 2.63). Полученная кривая представляет траекторию движения точки подвижного круга, катящегося изнутри по неподвижному кругу радиуса а, и называется астроидой.
Рис. 7.63
б) Функция определена при любом значении параметра t из интервала t [0,2π]. Найдем точки пересечения графика с
осями координат. При x = 0, sin t = t, t = 0 . При y = 0, cost =1, t = 0, t = 2π . Отсюда следует, что кривая при t=0 проходит через начало координат, а при t = 2π пересекает
ось Ох в точке x = 2πa . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем производные |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|||
xt′ = a(1 − cos t), |
yt′ = a sin t, y′x |
= |
|
|
, |
|
||||
1 |
−cos t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′′xx = |
cos t(1 − cos t) −sin 2 t |
= − |
|
|
|
1 |
|
. |
||
a(1 − cos t)3 |
a(1 − cos t)2 |
|||||||||
|
|
|
||||||||
Приравнивая y′x |
к нулю, из уравнения sint = 0 находим |
значения параметра в критических точках t ={0;π;2π} . Первая производная не существует при 1 − cos t = 0 , т. е. при значени-
153
ях параметра t ={0;2π} . При переходе параметра через крити-
ческие |
значения |
t ={0;2π} , |
|
|
|
т.е. |
в |
окрестности |
(0 −ε, |
0 +ε), (2π −ε, |
2π +ε) , где |
|
ε |
|
> 0 , производная y′x ме- |
||
|
|
няет знак с минуса на плюс. Отсюда следует, что касательная к графику функции в точках x ={0;2πa} параллельна оси Оу,
При t = π вторая производная y′xx′ < 0 , т.e. точка x = π a точка максимума функции у = 2а. Более того, поскольку y′xx′ < 0 нa всем интервале t [0,2π], то кривая на этом интервале выпукла вверх.
При изменении t от 0 до π производная y′x > 0 , следовательно, кривая возрастает. При изменении t от π до2π производная y′x < 0 , следовательно, кривая убывает. Все сказанное
позволяет представить график в виде (рис. 2.64). Полученная кривая представляет траекторию точки круга радиуса а катящегося без скольжения по прямой Ох за время одного оборота круга и называется циклоидой.
Рис. 2.64
в) Функция определена при всех значениях t, кроме t = -1. При t = 0 координаты х = 0, y = 0 и при t → ±∞ координаты x, y → 0 , т. е. начало координат служит особой точкой и
в нем кривая сама себя пересекает.
154
Найдем наклонную асимптоту. Угловой коэффициент ра-
|
y(t) |
|
3at |
2 |
1 + t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вен k = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x(t) |
1 +t |
3 |
|
3at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→−1 |
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Параметр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3at |
2 |
|
|
3at |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b = lim ( y(t) − kx(t)) = lim |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
1 + t |
3 |
1 + t |
3 |
|||||||||||||||
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
3at |
= −a |
|
1 |
−t + t 2 |
|||
x→−1 |
|
Отсюда уравнение асимптоты x + y + a = 0.
При изменении t от − ∞до -1 , точка (х,у) из начала координат удаляется в бесконечность, причем значения х - положительны, а у - отрицательны, т. е. ограничены асимптотой, расположенной в четвертом квадранте.
При изменении t от -1 до 0 точка (х,у) из бесконечности возвращается к началу координат, причем значения x - отрицательны, а у - положительны, т. е. ограничены асимптотой, расположенной во втором квадранте. При изменении t от 0 до− ∞ точка описывает против часовой стрелки петлю, расположенную, судя по значениям х,у, в первом квадранте.
Обозначая t = xy , нетрудно перейти к уравнению функ-
ции в неявном видe F(x, y) = x3 + y3 −3axy = 0 . Находим производные
f x′ = 3(x2 − ay), Fy′ = 3( y 2 − ax), y′x = − |
Fx′ |
= − |
x2 − ay |
. |
Fy′ |
|
|||
|
|
y 2 − ax |
Приравнивая y′x = 0 и решая это уравнение совместно с уравнением F(x,y) = 0, находим критические точки х = 0, у = 0 и x = a3 2, y = a3 4 . Вычислим y′xx′ при x = a3 2 по формуле
155
y′′xx = − |
Fxx′′ |
= − |
6x |
. |
Так |
как |
в |
|
исследуемой точке |
|||
|
3( y 2 − ax) |
|
||||||||||
|
Fy′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′′ |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|||
yxx < 0 , то это точка максимума ymax = a |
4, x = a |
2 . |
||||||||||
|
|
|||||||||||
В точке (0,0) Fx′ = 0 |
и |
Fy′ = 0 , |
поэтому можно утвер- |
ждать, что касательными в этой точке служат оси координат. Учитывая все это, представим график функции (рис. 2.65). Полученная кривая называется декартовым листом.
Рис. 7.65.
2.15. Формула Тейлора и Маклорена
10. Если функция f (x) определена и дифференцируема n +1 раз в некоторой окрестности точки x0 = a , то она может
быть представлена в виде суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена Rn (формула Тейлора)
f (x) = f (a) + |
|
f ′(a) |
(x −a) + |
|
|
||
|
1! |
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
f ′′(a) |
|
|
f (n) (a) |
|||
+ |
(x −a)2 +... + |
(x −a)n + R |
|||||
|
|
||||||
2! |
|
|
|
n! |
n |
||
|
|
|
|
156
где |
R = |
f (n+1) |
(c)(x −a)n+1 |
; c = a +θ(x −a) ; 0 <θ <1 – |
|
|
|||
|
n |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
остаточный член в форме Лагранжа.
Формула Тейлора (n-го порядка) позволяет представить функ-
цию |
f (x) в виде многочлена n-ой степени и оценить с помо- |
||||||||||
щью остаточного члена Rn |
возникающую при этом погреш- |
||||||||||
ность, которая может быть сделана сколь угодно малой. |
|
||||||||||
|
20. При а = 0 формула (1) принимает вид: |
|
|
||||||||
|
f (x) = f (0) + |
f ′(0) |
x + |
|
f ′′(0) |
x2 +... + |
f (n) (0) |
xn + R , |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1! |
|
|
2! |
|
n! |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
R = |
f (n+1) (θ x) |
xn+1 ; 0 <θ <1, и называется формулой Мак- |
||||||||
|
|||||||||||
|
n |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
лорена. К этому частному случаю формулу Тейлора можно
свести с помощью перехода к новой независимой переменной
ξ = x −a .
Остаточный член в формуле Тейлора иногда записывают в форме Пеано Rn = O((x −a)n ) , которая в ряде случаев бывает более удобна (вычисление пределов). Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид Rn = O(x)n .
|
15.1. Для функций а) ex ; |
б) sin x; |
в) cos x; г) (1 + х)n; |
||||||||||||
д) 1n(1 + х), написать формулу Маклорена n-го порядка и |
|||||||||||||||
оценить погрешность. |
|
f (x) = ex , то f (n) (x) = ex при любом |
|||||||||||||
|
Решение. а) Если |
|
|||||||||||||
n=1,2,3, ... |
|
|
|
f (n) (0) =1, то по формуле (2) |
|||||||||||
|
Так как f (0) =1 и |
||||||||||||||
|
|
|
e |
x |
=1+ |
|
x |
+ |
|
x2 |
+…+ |
|
xn |
+ Rn . |
|
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
n! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Точность разложения определяется остаточным членом |
||||||||||||||
R = |
eθx |
|
xn+1 . Оценим погрешность. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
n |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157
|
Так как |
|
R |
|
< |
ex |
|
|
|
x |
n+1 |
, |
|
|
то, например, при х = 1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 2n+1 |
|
||||
R (1) |
|
< |
|
; при x = 2, |
|
R (2) |
|
< |
и т. д. При любом |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значении х при n → ∞ остаточный член стремится к нулю и чем больше n, тем точнее разложение. При x = 1 можно получить формулу для приближенного вычисления числа е
e =1+11! + 21! + 31! +... + n1! . б) Пусть f (x) = sin x , тогда f (0) = 0 ;
|
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(x) = cos x = sin |
x + |
|
2 |
|
, |
|
(0) =1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
, |
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x) = −sin x = sin |
x + |
|
2 |
|
|
(0) = 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
π |
, |
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
−1 ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x) = cos x = sin x |
2 |
|
(0) = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…………………….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
(n) |
|
|
|
|
π |
|
f |
(n) |
(0) = sin n |
π |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= sin x + n |
|
2 |
, |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Разложение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
sin x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
−... + (−1)m−1 |
|
|
|
x2m−1 |
|
|
|
|
+ R . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2m −1)! |
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Остаточный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
R |
= |
|
|
x2m−1 |
|
|
sin(θ x +(2m +1) π ) ≤ |
|
|
x |
|
2m+1 |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
(2m +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(2m +1)! |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
т. к. |
|
sin α |
|
≤1 и при |
n → ∞ стремится к нулю независимо от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения х. |
|
f (x) = cos x , то |
|
f (0) =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
в) Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
, |
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x) = −sin x = cos x + |
|
|
|
(0) = 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
f |
′′ |
= −1; |
|||
f |
(x) |
= −cos x = cos x +2 |
2 |
, |
(0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
′′′ |
|
|
|
|
3 |
π |
|
f |
′′′ |
= 0 ; |
||||
|
(x) = sin x = cos |
x + |
|
2 |
, |
(0) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
…………………….. |
|
|
|
|||||||||
|
f |
(n) |
|
π |
|
f |
(n) |
(0) = cos n |
π |
. |
|||||
|
|
= cos x + n |
2 |
, |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение примет вид
|
|
|
|
|
cos x =1 − |
x2 |
+ |
x4 |
−... + (−1) |
m x2m |
+ R . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
(2m)! |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Остаточный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R |
= |
x2m+2 |
|
|
cos(θ x +(2m + 2) π ) ≤ |
|
|
x |
|
2m+2 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
(2m + 2)! |
|
|
|
|
2 |
(2m +2)! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
т. к. |
|
cosα |
|
≤1 и при n → ∞ |
стремится к нулю независимо от |
||||||||||||||||
|
|
значения х.
г) Рассмотрим степенную функцию (1 + x)m , где m – любое вещественное число.
Разложим (1 + x)m по степеням х, т. е. в окрестности точки x0 = 0 .
f (x) = (1 + x)m , |
f (1) =1; |
|
|||||
′ |
|
m−1 |
, |
′ |
|
||
f (x) = m(1+ x) |
|
|
f |
(1) = m ; |
|
||
′′ |
m−2 |
, |
f |
′′ |
; |
||
f (x) = m(m −1)(1+ x) |
|
|
(1) = m(m −1) |
||||
…………………….. |
|
||||||
f (k ) (x) = m(m −1)...(m −k +1)(1+ x)m−k , |
|
||||||
f (k ) (1) = m(m −1)...(m −k +1) . |
|
||||||
Разложение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x)m =1+ |
m |
x + |
m(m −1) |
x2 +... + |
m(m −1)...(m −n +1) |
xn + R , |
|
|
|
||||
1! |
2! |
|
n! |
n |
||
|
|
где Rn = m(m −1)+...(m −n) xn+1 (1+θ x)m−n−1 , 0 <θ <1. (n 1)!
Здесь Rn → 0 с возрастанием n только при x ] −1,1[
т. е. погрешность может быть сколь угодно малой величиной только для значений из указанного интервала.
д) Находим производные и их значения в точке х = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
, |
|
f |
′ |
|
=1; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= − (1+ x)2 , f |
|
= |
−1 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
(0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
f |
′′′ |
|
|
=1 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= (1+ x)3 |
, |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
(x) |
|
|
(0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
( 4) (x) = − |
|
|
1 2 3 |
, |
|
f ( 4) (0) = −1 2 3 ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(1+ x)4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
…………………….. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Подставляя в формулу Маклорена, получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(1+1) = x − |
|
x2 |
|
|
+ |
|
x3 |
|
− |
x4 |
+... +(−1) |
n−1 |
|
xn |
+ R , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Rn |
= |
(−1)n |
|
|
n |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1+θx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Погрешность вычисления логарифма Rn |
→ 0 с возраста- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
нием n только при x ] −1,1[ , т. е. |
в полуоткрытом интервале. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
15.2. Разложить многочлен x4 −2x3 + x2 +3x −5 по сте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
пеням двучлена x + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
Введем |
|
|
обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f (x) = x4 −2x3 + x2 +3x −5 |
и найдем производные: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
= |
4x |
3 |
−6x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
−12x +2 , |
||||||||
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
+ 2x +3 , f (x) =12x |
|
||||||||||||||||||||||||||
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
(x) = 24 , |
|
f |
(n) |
(x) |
= 0 для n ≥ 5 . |
||||||||||||||
(x) = 24x −12 , f |
|
|
|
|
|
При x = −2 имеем:
160