chap_0
.pdfЗмiст
Вступ |
7 |
1 Елементи комбiнаторики |
9 |
1.1 Короткi теоретичнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . |
9 |
1.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
2 Стохастичний експеримент |
19 |
2.1Стохастичний експеримент . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Дiї над подiями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 |
Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
3 Поняття ймовiрностi |
27 |
|
3.1 |
Класичне означення ймовiрностi . . . . . . . . . . . |
30 |
3.2Статистичне означення ймовiрностi . . . . . . . . . . 32
3.3Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Геометричнi ймовiрностi . . . . . . . . . . . . . . . . |
36 |
4 Умовнi ймовiрностi |
42 |
4.1Незалежнiсть подiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Умовнi ймовiрностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
4 |
ЗМIСТ |
5 Ймовiрнiсть суми та добутку подiй |
49 |
5.1 Основнi формули . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 49 |
5.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 |
Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
6 Формулa повної ймовiрностi |
59 |
|
6.1 |
Короткi теоретичнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . |
59 |
6.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3 |
Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
7 Схема Бернуллi |
69 |
|
7.1 |
Короткi теоретичнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . |
69 |
7.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
8 Випадковi величини |
76 |
8.1Дискретна випадкова величина . . . . . . . . . . . . 76
8.2Неперервна випадкова величина . . . . . . . . . . . . 79
8.3Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 |
Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
81 |
9 Функцiя випадкової величини |
90 |
|
9.1 |
Короткi теоретичнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . |
90 |
9.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.3Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 Сумiсний розподiл |
98 |
10.1 Короткi теоретичнi вiдомостi . . . . . . . . . . . . . |
98 |
10.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.3Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11 Основнi закони розподiлу |
111 |
11.1Нормальний закон розподiлу . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2Рiвномiрний закон розподiлу . . . . . . . . . . . . . . 116
11.3Показниковий закон розподiлу . . . . . . . . . . . . . 117
11.4Бiномний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.5Розподiл Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
ЗМIСТ |
5 |
11.6 Розподiл Пiрсона |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 |
11.7Розподiл Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.8Розподiл Фiшера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.9Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.10Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12 Граничнi теореми |
134 |
12.1Нерiвнiсть Чебишова . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.2Теорема Чебишова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.3Теорема Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.4Центральна гранична теорема . . . . . . . . . . . . . 138
12.5Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.6Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13 Основнi поняття статистики |
145 |
|
13.1 |
Основнi теоретичнi положення . . . . . . . . . . . . . |
145 |
13.2 |
Оцiнки параметрiв розподiлу . . . . . . . . . . . . . |
147 |
13.3Довiрчi iнтервали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.4Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
13.5Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14 Гiпотези |
156 |
14.1Поняття статистичних гiпотез . . . . . . . . . . . . . 156
14.2Гiпотези про рiвнiсть середнiх значень . . . . . . . . 161
14.3Гiпотези про середнє значення . . . . . . . . . . . . . 167
14.4Гiпотези про дисперсiю . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.5Гiпотеза про рiвнiсть дисперсiй . . . . . . . . . . . . 172
14.6Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
14.7Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
А Розрахункова робота 1 |
190 |
|
А.1 |
Задачi теорiї ймовiрностей . . . . . . . . . . . . . . . |
190 |
А.2 |
Iндивiдуальнi завдання . . . . . . . . . . . . . . . . . |
194 |
Б Розрахункова робота 2 |
198 |
|
Б.1 |
Знаходження нормального розподiлу . . . . . . . . . |
198 |
Б.2 |
Iндивiдуальнi завдання . . . . . . . . . . . . . . . . . |
203 |
6 |
|
|
ЗМIСТ |
|
В |
Розрахункова робота 3 |
|
216 |
|
|
В.1 |
Розподiл Пуассона . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
216 |
|
В.2 |
Iндивiдуальнi завдання . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
218 |
Г |
Розрахункова робота 4 |
|
220 |
|
|
Г.1 |
Застосування критерiю 2 |
. . . . . . . . . . . . . . . |
220 |
Д Розрахункова робота 5 |
|
236 |
||
|
Д.1 |
Кореляцiя . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
236 |
|
Д.2 |
Iндивiдуальнi завдання . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
237 |
Е |
Основнi таблицi |
|
242 |
|
|
Е.1 |
Нормальний розподiл . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
242 |
|
Е.2 |
Розподiл Стьюдента . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
246 |
|
Е.3 |
Розподiл Пiрсона . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
248 |
|
Е.4 |
Розподiл Фiшера . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
250 |
Є |
Система LTEX |
|
253 |
|
|
|
A |
|
|
|
Бiблiоґрафiя |
|
267 |
Вступ
Посiбник "Теорiя ймовiрностей та математична статистика" призначений для студентiв денної, вечiрньої та заочної форм навчання видавничо-полiграфiчного iнституту, якi вивчають курс теорiї ймовiрностей з елементами математичної статистики.
В посiбник включенi основнi базовi поняття, приклади та задачi, пов’язанi з рiзними формами означення ймовiрностi випадкової подiї, з умовними ймовiрностями, додаванням та множенням ймовiрностей. Задачi вимагають знання формул повної ймовiрностi, Байєса, Бернуллi, Пуассона, а також локальної та iнтегральної формул Муавра-Лапласа. Окремими параграфами видiленi задачi на закони розподiлу, числовi характеристики дискретних та неперервних випадкових величин. Розглядаються основнi задачi математичної статистики, а також математичнi поняття, моделi та методи, сукупнiсть яких являє собою ймовiрнiсний iнструментарiй для збору та обробки результатiв експериментальних дослiджень.
Типовi задачi на початку кожного параграфа є розв’язаними. Для бiльшостi задач наведенi вiдповiдi. Приводяться необхiднi для розв’язання задач таблицi. Контрольнi запитання дозволяють, у певнiй мiрi, перевiрити готовнiсть студента до практичного розв’язання задач. В посiбник включенi розрахунковi завдання, якi можуть бути використанi як iндивiдуальнi домашнi чи контрольнi завдання для студентiв заочної форми навчання.
Зауважимо, що розв’язання задач теорiї ймовiрностей є винятково важливим тому, що при цьому виробляються теоретикоймовiрнiсна iнтуїцiя спецiалiста, умiння будувати математичнi моделi реальних виробничих процесiв та технологiй.
7
8 |
ВСТУП |
Останнє зауваження стосується безпосередньо полiграфiї. Зрозумiло, що посiбник складне видання з великою кiлькiстю формул, графiкiв, таблиць, перехресних посилань, рiзноманiтних спискiв i iнших об’єктiв. Тому студентам видавничо-полiграфiчного iнституту буде корисно познайомитися з технологiєю пiдготовки цього друкованого видання. Посiбник вiд першої до останньої сторiнки зформатований системою автоматичного верстання складних видань LATEX 2". Використовуючи посiбник, читач зможе оцiнити можливостi цього програмного продукту. В одному з додаткiв помiщена стаття В.О. Кохановського "Система технiчного редагування LATEX знайомство з якою буде корисним для укладачiв i авторiв технiчно складних фiзико-математичних та iнженерних науково-педагогiчних видань.
Автори висловлюють подяку доктору фiз.-мат. наук професору Братiйчуку М. С. за консультацiї та обговорення рукопису посiбника.
Роздiл 1
Елементи комбiнаторики
1.1Короткi теоретичнi вiдомостi
Комбiнаторикою називається роздiл математики, що вивчає правила групування елементiв множини.
Якщо ми маємо m рiзних елементiв a1; a2; : : : ; am в однiй множинi i n рiзних елементiв b1; b2; : : : ; bn в другiй, то, очевидно, можемо утворити mn рiзних пар вигляду (ai; bj); 1 i m; 1 j n. Цей факт є наслiдком загального правила, яке називається
головним принципом комбiнаторики.
Головний принцип комбiнаторики. Припустимо, що потрiбно по черзi виконати k операцiй. Якщо першу операцiю можна виконати n1 способами, другу n2 способами, i т.д., i, нарештi, k-ту операцiю nk способами, то всi k операцiй можна виконати
n1 n2 nk |
(1.1) |
рiзними способами.
Розглянемо конкретнi способи пiдрахунку числа пiдмножин, якi можна утворити з даної множини елементiв.
Означення 1.1. Нехай дано множину n рiзних елементiв. Кожний упорядкований запис цих елементiв будемо називати перестановкою. Число рiзних перестановок iз n елементiв будемо позначати символом Pn.
9
10 |
РОЗДIЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ КОМБIНАТОРИКИ |
Приклад 1.1. З елементiв a; b; c можна утворити такi перестановки:
(a; b; c); (a; c; b); (c; a; b); (c; b; a); (b; c; a); (b; a; c):
Теорема 1.1. Число всiх перестановок iз n елементiв визначається формулою
Pn = n!: |
(1.2) |
Д о в е д е н н я. Уявiмо собi, що маємо n мiсць i будемо розмiщати n елементiв на цих мiсцях.
a1 a2 a3 : : : an 1 an
: : :
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} | |
|
{z |
|
} |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коли будемо помiщати елемент на k-те мiсце, то будемо говорити, що виконуємо операцiю k-того типу.
Очевидно, що кожне розмiщення вiдповiдає певнiй перестановцi. Розмiщення будемо розпочинати вiд першого мiсця (тобто вiд лiвої до правої сторони). На перше мiсце можемо поставити кожний з n елементiв i, отже, маємо n операцiй першого типу. На друге мiсце можемо поставити кожний з решти n 1 елементiв, оскiльки один елемент уже зайнятий (вiн стоїть на першому мiсцi), i, тому, маємо n 1 операцiй другого типу. На третьому мiсцi можемо поставити кожний з решти n 2 елементiв, оскiльки два вже зайнятi. Аналогiчно, на четвертому мiсцi можемо поставити кожний з n 3 елементiв i т.д. На останнє n-те мiсце залишиться лише один елемент. Отже, наше розмiщення складається з n операцiй першого типу, n 1 операцiй другого типу i т.д., однiєї операцiї n-того типу. Тому, згiдно з головним принципом комбiнаторики число всiх розмiщень дорiвнюватиме n(n 1)(n 2) 2 1 = n!.
З а у в а ж е н н я. Оскiльки перестановки то просто упорядкування елементiв даної множини, то теорема 1.1 може бути такою:
Теорема 1.2. Множину з n рiзних елеметiв можна упорядкувати n! рiзними способами.
1.1. КОРОТКI ТЕОРЕТИЧНI ВIДОМОСТI |
11 |
Приклад 1.2. Знайти скiльки п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 3; 5; 7; 2; 6.
Ро з в’ я з о к. Оскiльки серед даних чисел немає однакових i нуля, то переставляючи цифри в числi 35726, ми щоразу будемо отримувати нове п’ятизначне число. Отже, нам потрiбно знайти число перестановок iз 5 елементiв, тобто
P5 = 1 2 3 4 5 = 120:
Приклад 1.3. Знайти скiльки п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 3; 5; 7; 0; 6:
Р о з в’ я з о к. Оскiльки серед даних чисел є нуль, то на вiдмiну вiд попереднього прикладу не всi перестановки нас улаштовують. Так, число 03576 не є п’ятизначним. Отже, вiд числа всiх можливих рiзних перестановок з 5 елементiв нам потрiбно вiдняти число тих у яких нуль стоїть на першому мiсцi, а таких перестановок буде рiвно P4 = 24. Вiдповiдь буде така:
P5 P4 = 5! 4! = 120 24 = 96.
Згiдно означення 1.1 перестановки мiстять стiльки ж елементiв, що й сама множина. Однак, в комбiнаторицi часто виникає потреба розглядати впорядкованi записи з меншою кiлькiстю елементiв. Так, наприклад, якщо множина складається з п’яти елементiв, то можна поставити питання, скiльки iснує впорядкованих записiв, що складаються iз трьох елементiв цiєї множини?
Означення 1.2. Нехай дано множину n рiзних елементiв. Упорядкований запис iз k (1 k n) елементiв даної множини називається варiацiєю k-елементовою з множини n-елементової. Число всiх таких варiацiй позначають Akn.
Якщо число k дорiвнюватиме n, то така варiацiя спiвпаде з перестановкою. Для варiацiй, так само як i для перестановок, порядок запису елементiв є iстотний. Так, наприклад, упорядкованi пiдмножини (1; 2; 3), (3; 2; 1) iз множини f1; 2; 3; 4; 5g є рiзними варiацями. Нагадаємо, що варiацiї ще часто називають розмiщеннями.
Приклад 1.4. З множини H = fa; b; cg можемо утворити наступнi 2-елементовi варiацiї:
(a; b); (b; a); (a; c); (c; a); (b; c); (c; b):
12 |
РОЗДIЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ КОМБIНАТОРИКИ |
|||||
Kористуючись формулою 1.1, легко пiдрахувати число всiх мо- |
||||||
жливих варiацiй |
|
|
|
|
||
Ank |
= n(n 1)(n 2) (n k + 1) = |
|
n! |
|
: |
(1.3) |
|
|
|
||||
(n |
|
k)! |
||||
|
|
|
|
|
|
Приклад 1.5. Скiльки натуральних чисел можна утворити з цифр 3; 5; 7; 2?
Р о з в’ я з о к. Iз даних цифр можна утворювати чотирицифровi, трицифровi, двоцифровi та одноцифровi числа. Тому потрiбно пiдрахувати сумарне число можливих варiацiй
N = A44 + A34 + A24 + A14:
Оскiльки
A44 = 24; A34 = 24; A24 = 12; A14 = 4;
то вiдповiдь буде така
N = 24 + 24 + 12 + 4 = 64:
Нехай маємо множину з n рiзних елементiв i довiльне натуральне число k. Розглянемо впорядкований запис, що складається з k елементiв даної множини, причому можливе повторення цих елементiв. Такi записи називаються варiацiями з повтореннями. Якщо, наприклад, множина складається з двох елементiв a та b, то наступнi записи
(a; a; a); (b; b; b); (a; a; b); (a; b; a); (b; a; a); (a; b; b); (b; a; b); (b; b; a)
будуть 3-елементовi варiацiї з повтореннями. Число таких варiа-
цiй позначатимемо k . Неважко переконатися в справедливостi
An
наступної формули
k k |
: |
(1.4) |
An = n |
Нехай ми маємо деяку множину елементiв, в якiй елемент a1 повторюється n1 разiв, елемент a2 повторюється n2 разiв i т.д., елемент ak повторюється nk разiв. Виникає питання, скiльки рiзних перестановок можна утворити, переставляючи данi елементи?