- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 5
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Задача 12.1
- •Задача 12.2
- •Задача 13.1
- •Задача 13.2
- •Справочный материал
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум функции двух переменных
- •Решение задачи 12.1
- •Решение задачи 12.2
- •Решение задачи 13.1
- •Решение задачи 13.2
- •Приложение
- •Таблица производных основных элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •Формулы Крамера
- •Нормальное уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по теме 4.1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Санкт-Петербург
2006
Задача 1
Вычислить частные производные |
∂z |
|
|
и |
∂z |
|
для функции |
|
|
||||||||||||
∂x |
∂y |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z = (cos |
xy )tg2 |
y |
|
+3 ln5 (1− x3 y3 ). |
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Справочный материал |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Частные |
производные для |
функции |
двух переменных |
||||||||||||||||||
z = f (x, y) определяются как пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂z |
= lim |
f (x0 + |
x, y0 )− f (x0 , y0 ) |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂z |
= lim |
|
f (x0 , y0 + |
y)− f (x0 , y0 ) |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из определения частных производных следует, что при |
|||||||||||||||||||||
вычислении |
частной |
производной |
|
|
функции |
z = f (x, |
y) |
по |
|||||||||||||
переменной |
x , |
следует |
рассматривать |
ее |
как |
функцию |
одной |
||||||||||||||
переменной |
x , |
а |
переменную |
y |
|
|
считать |
постоянной. |
При |
||||||||||||
вычислении |
частной |
производной |
|
|
функции |
z = f (x, |
y) |
по |
|||||||||||||
переменной |
y , |
следует |
рассматривать |
ее |
как |
функцию |
одной |
переменной y , а переменную x считать постоянной.
При вычислении производных функций нескольких переменных следует пользоваться правилами дифференцирования, сформулированными для функций одной переменной, а также таблицей производных основных элементарных функций (см. приложение).
Решение задачи
Представим заданную функцию в виде
z = f1(x, y)+ f2 (x, y),
( )= ( )tg2 y ( )= 3 5 ( − 3 3 )
где f1 x, y cos xy x и f2 x, y ln 1 x y , а затем вычислим производные каждого слагаемого.
Функцию f1(x, y) по основному логарифмическому тождеству представим в виде экспоненты:
2
|
f1(x, y)= (cos xy )tg2 |
|
y |
|
= eln(cos |
xy )tg |
2 y |
|
|
= etg2 |
|
y |
ln(cos |
xy ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По правилу дифференцирования сложной функции производная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
от функции f1(x, |
|
y) |
|
по |
|
|
переменной |
x |
|
|
равна |
|
производной |
от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
экспоненты по ее аргументу, |
умноженной на производную по x |
от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
показателя, т.е. |
|
|
|
xy ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂f1 |
= e |
tg2 |
|
y |
ln(cos |
|
|
2 |
y |
|
′ |
ln cos |
xy |
+tg |
2 |
y |
|
(ln cos |
xy ) |
′ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
′ |
|
= 2 tg |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поскольку |
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(ln cos |
|
xy ) |
′ |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
(−sin |
xy ) |
y |
1 |
, то |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
cos |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂f |
|
|
|
|
|
2 |
y |
ln(cos |
|
xy ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
= e |
tg |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy + |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln cos |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ tg2 y |
|
|
1 |
|
|
(−sin |
|
xy ) |
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
cos |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
Функцию f2 (x, y) |
|
|
запишем |
|
|
|
в |
|
виде |
|
|
|
степенной |
функции |
с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
дробным показателем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
− x3 y3 ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f2 (x, y)= 3 ln5 (1 − x3 y3 )= ln 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Продифференцируем |
|
|
|
ее |
|
|
по |
|
|
x , |
|
|
|
|
используя |
правило |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирования сложной функции, считая y постоянной. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂f2 = |
5 ln 3 (1 − x3 y3 ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(−3x2 y3 ). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x3 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Складывая |
∂f1 |
|
и |
∂f2 |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
∂f |
|
= e |
tg2 |
y |
ln(cos |
|
xy ) |
|
|
2 tg |
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− y |
ln cos |
xy + |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 y |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+ tg2 y |
|
|
|
1 |
|
|
|
(−sin |
xy ) |
|
y 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
cos |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(1− x3 y3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−3x2 y3 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x3 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Для |
|
частной |
|
производной |
|
|
|
∂f1 |
|
|
|
|
|
используется |
формула, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
аналогичная формуле для производной |
|
∂f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂f |
1 |
|
tg2 |
y |
|
ln(cos |
xy ) |
|
|
|
|
2 |
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
(ln cos xy )y |
′ |
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln cos |
|
|
xy |
+tg |
|
||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в которой следует вычислить производные по переменной y : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
′ |
|
= 2 tg |
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(ln cos |
xy ) |
′ |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(−sin |
xy ) |
|
x |
|
|
1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
cos |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂f |
|
|
|
tg2 |
y |
ln(cos |
|
xy ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
= e |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln cos |
xy + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ tg2 y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(−sin |
xy ) |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
cos |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
4