- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 2а
- •Решение задачи 2б
- •Задача 3
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •Задача 5
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 6
- •Справочный материал
- •Тригонометрические функции определяются равенствами
- •Гиперболические функции задаются как
- •Логарифмическая функция
- •Общая степенная функция
- •Общая показательная функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Решение задачи
- •Задача 7
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 8
- •Справочный материал
- •Решение задачи
- •Задача 9
- •Решение задачи
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Ряды Тейлора и Лорана
- •Классификация особых точек
- •Правила нахождения вычетов
- •Решение задачи
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Теорема Коши
- •Основная теорема о вычетах
- •Решение задачи
- •Задача 12
- •Справочный материал
- •Несобственный интеграл I рода
- •Решение задачи
- •Основная
- •Дополнительная
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7. 1.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Санкт-Петербург
2006
Высшая математика. Тема 7.1. Теория функций комплексной переменной. Рабочая тетрадь. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 2006.
с. 64.
Издание адресовано студентам инженерных специальностей и предназначено для организации их самостоятельной работы по теме «Теория функций комплексной переменной». Рабочая тетрадь является дополнением к теме 11 компендиума по дисциплине «Математика». Она содержит краткие сведения из теории и подробные решения типовых примеров, а также варианты типовых расчетов.
Работа выполнена по заказу и при поддержке факультета целевой контрактной подготовки специалистов.
Составитель И. Н. Фишкина
Ответственный редактор Я. Ю. Ионченкова
2
Задача 1
Изобразить число 5 −5 3 i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент и записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.
Справочный материал
Комплексным |
числом z называется выражение |
вида |
|
z = x +i y , где x |
и |
y — любые действительные числа, |
i — |
мнимая единица, удовлетворяющая условию i2 = −1. |
|
||
Запись z = x +i y |
называется алгебраической формой |
комплексного числа.
Действительные числа x и y называются соответственно действительной (или вещественной) и мнимой частью комплексного числа z = x +i y и обозначаются
x = Re z , y = Im z .
Комплексное |
число |
z = x −i y |
называется сопряженным |
числу z = x +i y . |
|
|
|
Комплексное |
число |
z = x +i y |
можно изображать на |
плоскости OXY вектором r с началом в точке (0, 0) и концом в точке (x, y). Плоскость, на которой изображаются комплексные
числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной (или вещественной) осью, а ось ординат — мнимой (рис. 1).
Im z |
z = x +iy |
|
y |
|
|
|
||
0 |
x Re z |
|
|
|
Рис. 1. |
3
Длина вектора r = {x, y} называется модулем комплексного числа z и обозначается r = z . Величина угла между
положительным направлением действительной оси и вектором r называется аргументом числа z : ϕ = arg z . Положительным
направлением изменения угла ϕ считается направление против
часовой стрелки. Модуль и аргумент комплексного числа z определяются из формул :
r = z = x2 + y2 , tgϕ = xy .
При нахождении аргумента следует учитывать, что для каждого числа z ≠ 0 его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π
(аргумент числа z = 0 не определён, а его модуль равен нулю). В качестве главного значения аргумента обычно выбирают значение ϕ = arg z из промежутка (−π,π]. Всё множество значений аргумента обозначают Arg z . Таким образом,
Arg z = arg z + 2πk ( k = 0,±1,±2,K).
Если −π < arg z ≤π ,то из формулы tgϕ = |
y |
получаем |
||||
|
||||||
|
|
|
|
x |
||
|
y |
|
для внутренних точек I и IV четвертей, |
|||
arctg |
|
|
то есть при x > 0 , |
|||
x |
|
|||||
|
|
для внутренних точек II четверти, то |
||||
y |
|
|||||
|
|
|||||
arg z = arctg |
|
+π |
есть при x < 0 , y > 0 , |
|||
x |
||||||
|
|
для внутренних точек III четверти, |
||||
|
y |
−π |
||||
arctg |
|
то есть x < 0 , y < 0 . |
||||
x |
||||||
|
|
|
|
|
Выделим четыре частных случая. Если z:
a) действительное положительное число, то arg z = 0 ; б) действительное отрицательное число, то arg z =π ; в) чисто мнимое с положительной мнимой частью, то
arg z = π2 ;
4
г) чисто мнимое с отрицательной мнимой частью, то
arg z = −π2 .
Любое комплексное число z ≠ 0 можно представить в
тригонометрической форме
z = r(cosϕ + i sinϕ),
С помощью формулы Эйлера
eiϕ = cosϕ +isinϕ
можно перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к экспоненциальной (показательной).
z = reiϕ .
Решение задачи
Число 5 −5 3 i изобразим на комплексной плоскости точкой
с координатами (5, −5 3)(рис. 2). Найдем модуль заданного числа:
z = 52 + (−5 3)2 =10 .
Так как точка (5, −5 3)лежит во второй четверти, то
|
−5 |
3 |
|
= − |
π . |
arg z = arctg |
|
||||
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 |
x |
|
|
|
− |
π |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
−5 |
3 |
|
|
5 −5 3i |
Рис. 2.
5
Тригонометрическая форма имеет вид
|
|
− |
π |
|
− |
π |
||
z =10 cos |
3 |
|
+i sin |
3 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
а экспоненциальная
|
|
|
|
|
|
− |
π i |
|
|
|
z =10 e |
3 . |
|||
|
|
Задача 2 |
|||||
|
5 + 7i |
− |
7π |
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|||
Найти а) |
|
, б) Re 2e |
|
. |
|
||
2 −3i |
|
|
|
|
Справочный материал
Для того чтобы разделить одно комплексное число на другое, удобно домножить числитель и знаменатель дроби, полученной при записи действия, на комплексное число, сопряженное
знаменателю: |
z1 = |
|
x1 +i y1 = |
(x1 +i y1 )(x2 −i y2 ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
x2 +i y2 |
|
|
(x2 +i y2 )(x2 −i y2 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
= |
x1x2 + y1 y2 |
|
+i |
x2 y1 − x1 y2 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x22 + y22 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x22 + y22 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2а |
|
||||||||||||
5 + 7i |
|
|
(5 + 7i)(2 + 3i) |
10 +15i +14i + 21i2 |
||||||||||||||||
2 − 3i |
= |
|
|
|
|
= |
|
22 − 9i2 |
= |
|||||||||||
(2 − 3i) |
(2 + 3i) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= −11 + 29i |
= − |
11 + |
29 i . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
13 |
13 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2б |
|
||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
7π |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Представим 2e |
|
|
в тригонометрической форме и найдем |
действительную часть:
6