- •Контрольная работа 5 Интегральное исчисление
- •Основные теоретические сведения
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •Указания
- •Самое главное при замене переменной
- •7. Вычисление длины дуги
- •Контрольная работа 6 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Основные теоретические сведения
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •Геометрический смысл основных понятий
- •Что есть что?
- •Чтобы решить однородное уравнение, нужно
- •Что необходимо для решения линейных уравнений
- •Что необходимо для решения уравнений 2-го порядка допускающих понижение порядка
- •Что нужно знать для составления общих решений уравнения
- •Контрольная работа 7 Теория рядов
- •Основные теоретические сведения
- •Для определения области сходимости степенного ряда
- •Контрольная работа 8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Основные теоретические сведения
- •Чтобы изменить порядок интегрирования
Что необходимо для решения уравнений 2-го порядка допускающих понижение порядка
1. Определить тип уравнения.
2. По типу подобрать нужную подстановку.
3. Получить и решить уравнение 1-го порядка.
4. Вернуться к исходной функции. Решить полученное уравнение 1-го порядка.
4. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p, q, r числа, причем . Если , то уравнение называется однородным, а если неоднородным.
Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения .
Пусть дискриминант характеристического квадратного уравнения. Возможны следующие случаи зависимости общего решения от корней характеристического уравнения :
1. (корни действительные разные ) общим решением служит функция ;
2. (корни действительные равные ) общим решением служит функция ;
3. (корни комплексные ) общим решением является функция .
Что нужно знать для составления общих решений уравнения
1) Уметь составить характеристическое уравнение по виду дифференциального уравнения. Для этого нужно формально заменить любой буквой в степени n: заменить , заменить , заменить .
2) Уметь решать квадратное уравнение по формуле
или по теореме Виета .
3) Знать на память вид общего решения в зависимости .
5. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.
Теорема. Если некоторое частное решение неоднородного уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид .
Правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.
1. Пусть , где многочлен степени n, тогда:
а) , где многочлен той же степени n с неопределенными коэффициентами, если и ;
б) , если (или );
в) , если .
2. Пусть , тогда:
а) , если ;
б) , если (или );
в) , если .
3. Пусть , где и многочлены, наибольшая степень которых n, тогда:
а) , если ;
б) , если , где и многочлены с неопределенными коэффициентами.
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды уравнения 2-го порядка допускают понижение порядка?
2. Как понизить порядок уравнения ?
3. Как понизить порядок уравнения ?
4. Как понизить порядок уравнения ?
5. Как решить задачу Коши для уравнений 2-го порядка?
6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного). Докажите основные свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.
7. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю.
8. Сформулируйте теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.
9. Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, если известно одно его частное решение.
10. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае вещественных различных корней характеристического уравнения.
11. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае равных вещественных корней характеристического уравнения.
12. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.
13. Сформулируйте теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.
14. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где − многочлен степени .
15. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида .
16. В чем состоит краевая задача для дифференциального уравнения?
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
▲ Так как функции и однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное (см. п. 2). Сделаем замену . Тогда
.
Предполагая, что , сокращаем обе части уравнения . Далее имеем:
.
Разделяя переменные (для разделения переменных необходимо перенести все, что содержит t в одну сторону, а все, что содержит x в другую, при этом и должны быть только в числителях), последовательно находим:
.
В последнее выражение вместо переменной t подставим значение . Получим общий интеграл . Разрешив его относительно y, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения: . ▼
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
▲ 1. Убедившись, что данное уравнение линейное (см. п. 2), полагаем
, тогда
и данное уравнение преобразуется к виду
.
Составим систему для определения u и v:
Решаем первое уравнение системы (при определении v не нужно писать произвольную постоянную величину, ибо достаточно знать с точностью до постоянной величины). Подставляем во второе уравнение системы и решаем полученное уравнение:
.
Зная u и v, находим искомую функцию y: .
2. Перепишем данное уравнение так: . Рассмотрим однородное уравнение . Так как (значение не является решением неоднородного уравнения), то
общее решение однородного уравнения.
Применяем далее метод вариации произвольной постоянной C. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Подставив значения y и в неоднородное уравнение, получим
.
Т.к. , то .
Подставив это значение в общее решение неоднородного уравнения, получим общее решение неоднородного уравнения. ▼
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
▲ В уравнении нет в явном виде искомой функции y. Понизим порядок этого уравнения, положив . Тогда и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
.
Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
.
Получили общее решение исходного уравнения . ▼
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
▲ В уравнении нет в явном виде аргумента x. Понизим порядок уравнения
подстановкой , тогда и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
.
Т.к. , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными
. ▼
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .
▲ Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда , . Следовательно, общее решение однородного уравнения.
Подберем вид частного решения для данного уравнения.
Подставляя и в неоднородное исходное уравнение, получим тождество ( решение данного уравнения). Для удобства вычислений будем выписывать выражения , , в отдельные строки и слева за вертикальной чертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэффициенты, складывая и приводя подобные члены, имеем:
.
Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой части последнего тождества, находим и :
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
,
а общее решение неоднородного уравнения
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
Искомое частное решение таково:
. ▼
После изучения темы ”Дифференциальные уравнения“ выполните контрольную работу 6.