![](/user_photo/_userpic.png)
- •Контрольная работа 5 Интегральное исчисление
- •Основные теоретические сведения
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •Указания
- •Самое главное при замене переменной
- •7. Вычисление длины дуги
- •Контрольная работа 6 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Основные теоретические сведения
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •Геометрический смысл основных понятий
- •Что есть что?
- •Чтобы решить однородное уравнение, нужно
- •Что необходимо для решения линейных уравнений
- •Что необходимо для решения уравнений 2-го порядка допускающих понижение порядка
- •Что нужно знать для составления общих решений уравнения
- •Контрольная работа 7 Теория рядов
- •Основные теоретические сведения
- •Для определения области сходимости степенного ряда
- •Контрольная работа 8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Основные теоретические сведения
- •Чтобы изменить порядок интегрирования
7. Вычисление длины дуги
1. Пусть дуга AB кривой задана уравнением , где непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги AB
. (5.14)
2.
В случае, когда кривая задана
параметрическими уравнениями
,
,
где
непрерывно
дифференцируемые функции, длина дуги
вычисляется по формуле
.
(5.15)
Здесь α, β значения параметра t, соответствующие концам дуги AB.
3. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина l дуги AB вычисляется по формуле
, (5.16)
где
и
соответствуют концам дуги AB.
8.
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная
прямыми линиями
,
и частью графика кривой
,
вращается вокруг оси
.
Тогда объем полученного при этом тела
вращения вычисляется по формуле
.
(5.17)
Пример
1. Найти
.
▲ Используя формулы (5.1), имеем
.
Проверка.
.▼
Пример
2. Найти
.
▲ Применяя (5.2), получим
.▼
Пример
3. Найти
.
▲ Применяя формулу (5.3), имеем
.
▼
Пример
4. Найти
.
▲
.
Перенося последний интеграл в левую часть равенства, получим
.
Следовательно,
.
▼
Пример
5. Найти
.
▲ Рациональная подынтегральная дробь является правильной (см. методы интегрирования 4) и разлагается на простейшие дроби вида (5.4):
.
Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной подынтегральной функции. Числители в левой и правой частях последнего равенства будут тождественно равными, т.е.
.
Для
нахождения неизвестного коэффициента
A используем метод
частных значений, т. е. подставим
вместо переменной x
ее частное значение,
совпадающее с вещественным корнем
знаменателя,
.
Получим равенство
,
откуда следует, что
.
Для вычисления значений M, N используем метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного тождества, получаем систему уравнений
Решение
этой системы:
.
Таким образом,
.
▼
Пример
6. Найти
.
.
▲
Пример
7. Вычислить несобственные интегралы
или установить их расходимость:
.
▲ 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (5.9), имеем
.
2)
Второй интеграл является несобственным
интегралом от неограниченной функции;
функция
терпит бесконечный разрыв в нижнем
пределе
.
Согласно определению (5.10) получаем
.
Оба несобственных интеграла сходятся. ▼
Пример
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
.
▲ Находим точки пересечения данных кривых:
у
2
х
−2 −1 O 1 2 3 4
−2
−4
Рис.8
Следовательно,
по формуле (5.11) имеем (см. рис. 8)
.
▼
Пример 9. Вычислить длину одной арки циклоиды
,
.
▲
Поскольку все
арки циклоиды одинаковы, рассмотрим ее
первую арку, вдоль которой параметр t
изменяется от 0 до 2
(см. рис. 9). Тогда, согласно формуле
(5.15), имеем
,
у
2
О 2 4 6 х
Рис. 9
.
▼
Пример
10. Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси
кривой
.
▲ Объем полученного тела вращения найдем по формуле (5.17):
.
▼
После изучения темы ”Неопределенный и определенный интеграл“ выполните контрольную работу 5.