книги / Линейная алгебра.-1
.pdf1. УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
71 |
определению (число их п не предполагается обязательно равны м числу
уравнений ш ); величины а ц , |
a i 2 , ... , a m n, назы ваем ы е коэф ф ициент а |
м и сист ем ы , и величины |
6 2 , . . Ьш , назы ваем ы е свободными ч л е |
н а м и , предполагаю тся известны ми. К аж д ы й коэф ф и ц и ен т системы
имеет д в а индекса, первы й из которы х г указы вает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного, при котором стоит этот коэф ф ициент.
С истема (3.1) назы вается однородной, если все ее свободные члены
b i, &2 , • • Ьт равны нулю .
Если хотя бы один из свободных членов Ь]_, 6 2 , ... , Ьт отличен от нуля, то система (3.1) назы вается неоднородной.
С истема (3.1) назы вается квадрат ной, если число т составляю щ их ее уравнений равно числу неизвестны х п.
Р еш ением системы (3.1) назы вается такая совокупность п чисел
ci, С2 , ... , сп , которая при подстановке в систему (3.1) на место неиз
вестны х x i, Х2 , . .. , х п обращ ает все уравнения этой системы в тож де
ства.
Не всякая система вида (3.1) имеет реш ения. Т ак, систем а линей
ны х уравнений
Х\ Т Х2 — 1, x i + х 2 = 2
заведом о не имеет ни одного реш ения (ибо если бы сущ ествовало ре
ш ение этой системы, то при подстановке этого реш ения в левы х ч а
стях обоих уравнений стояли бы одинаковы е числа и мы получили бы, что 1 = 2 ).
С истема уравнений вида (3.1) назы вается совм ест ной , если она
имеет хотя бы одно реш ение, и несовм ест ной , если у нее не сущ ествует ни одного реш ения.
|
С овм естная система вида (3.1) м ож ет им еть или одно реш ение, или |
||||||||||
несколько реш ений. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Д в а |
реш ения |
совместной |
системы |
вида (3.1) с ^ \ с ^ \ ... , |
и |
|||||
(2) |
(2) |
(2) |
|
|
р а зли ч н ы м и , если наруш ается хотя |
бы |
|||||
с\ |
, с\ |
, ... , сп |
н азы ваю тся |
||||||||
одно из равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
J1) _ Д2) |
(1) _ |
_(2) |
Д1) |
( |
) |
|
||
|
|
|
С1 |
— С1 |
5 с2 |
— с2 ’ |
сп2 |
‘ |
|
||
|
С овм естная система вида |
(3.1) |
назы вается |
определенной, если она |
|||||||
имеет единственное реш ение. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
С овм естная система вида |
(3.1) |
назы вается |
неопределенной, если у |
|||||||
нее сущ ествую т по крайней мере д в а разли ч н ы х реш ения. |
|
||||||||||
|
В есьм а удобно |
записы вать линейную систему (3.1) в м атричной |
ф орм е. Д л я этого используем введенное в и. 2 § 1 гл. 1 понятие произ
72 ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ведения двух м атриц (таких, что число столбцов первой из этих м ат риц равно числу строк второй из м атр и ц ). В качестве перемнож аемы х м атриц возьм ем две матрицы : м атрицу
|
а ц |
а\2 |
. .. |
|
a in |
А _ |
а 21 |
0*22 |
• • |
• |
& 2 п |
|
|
|
|
|
3.2 |
|
&т1 |
&т2 |
• • |
• |
&тп |
содерж ащ ую т строк и п столбцов и составленную из коэф ф ициентов при неизвестны х (такую м атрицу мы в дальнейш ем будем н азы вать
основной м а т рицей системы (3.1)) и м атрицу X , содерж ащ ую п строк и 1 столбец, т. е. один столбец вида
Xi
Х 2
(3 .3 )
Хп
Согласно правилу перемнож ения двух м атриц 2) произведение А Х м атрицы (3.2) на м атрицу (3.3) представляет собой матрицу, содерж а щ ую т строк и 1 столбец, т. е. один столбец следую щ его вида:
а п х ! + а\2Х2
0>2lXl + CL22X 2
+ |
• • . |
CL\nX n |
+ |
• • . |
Cl2nXn |
UmlXl + CLm2X2 + • . . + CLmnXn
С истема равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом
|
bi |
|
В = |
ь |
(3.5) |
|
Ът |
|
Таким образом, в м атричной записи систему (3.1) |
м ож но зам енить |
|
одним эквивалентны м ей м атричны м уравнением |
|
|
А Х |
= В , |
(3.6) |
в котором м атрицы А , X и В определяю тся соотнош ениями (3,2), (3.3) и (3.5). Реш ение м атричного уравнения (3.6) заклю ч ается в оты скании
2) См. п. 2 §1 гл. 1, формулу (1.4).
1. УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
73 |
такого столбца (3.3), которы й при заданной м атрице (3.2) и заданном
столбце п равы х частей (3.5) обращ ает уравнение (3.6) в тож дество. В этом и в следую щ ем п ар агр аф а х мы вы ясним в отнош ении ли
нейной системы (3.1) следую щ ие три вопроса:
1)способ установления того, явл яется систем а (3.1) совместной или
нет,
2)способ установления того, явл яется систем а (3.1) (в случае ее совместности) определенной или нет,
3)способ оты скания единственного реш ения совместной системы
(3.1) (в случае ее определенности) и оты скания всех ее |
реш ений (в |
случае ее неопределенности). |
|
2. Н е т р и в и а л ь н а я с о в м е с т н о с т ь о д н о р о д н о й |
с и с т е м ы . |
Н ачнем с рассм отрения однородной линейной системы вида (3.1), т. е. системы
|
C L ll X i |
+ |
CI1 2 X 2 |
+ |
. . . + |
С Ц п х п = |
О , |
|
|||
|
Cl2 l X l |
+ |
CL22X2 |
+ |
. . . |
+ |
CL2п х п |
= |
О , |
3.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q"mlXl + |
|
СЬт2Х2 Н- |
• • • |
Н" |
&тпХп |
— |
О* |
|
||
С разу ж е отметим, что |
эта систем а всегда |
совм ест на , ибо |
она все |
||||||||
гда обладает так назы ваем ы м т р и ви а льн ы м |
(или н у ле вы м ) реш ением |
||||||||||
Х \ — х 2 = . .. = Х п = 0 3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В озникает вопрос о том, при |
каких |
усло ви я х |
однородная |
сист ем а |
|||||||
(3.7) и м еет , кроме указанного т ривиального р еш ен и я , еще |
и другие |
||||||||||
р еш ения |
(т. е. я в ля е т с я |
«нет ривиально совм ест ной»). |
|
||||||||
Э тот |
вопрос реш ается |
довольно просто. Зам етим , что сущ ество |
|||||||||
вание нетривиального реш ения системы |
(3.7) эквивалентно линейной |
зависим ости столбцов м атрицы (3.2) (ибо линейная зависим ость столб
цов |
м атрицы (3.2) |
означает, что сущ ествую т числа ад, Ж2 , . .. , х п , |
не |
все равны е нулю и такие, что справедливы равенства (3.7)). |
|
||
|
Но в силу теорем ы 1.6 о базисном миноре линейная зависим ость |
||
столбцов м атрицы |
(3.2) будет им еть место тогда и только тогда, когда |
||
н е |
в с е столбцы |
этой м атрицы являю тся базисны ми, т. е. тогда |
и |
только тогда, когда порядок г базисного м инора м атрицы (3.2) меньш е
числа п ее столбцов. |
|
|
М ы приходим к следую щ ей теореме. |
|
|
Т е о р е м а 3 .1 . Однородная сист ем а (3.7) |
им еет нет ривиальны е |
|
р еш ения |
тогда и т олько т огда, когда ранг г |
м ат рицы (3.2) м еньш е |
числа п |
ее ст олбцов. |
|
3) Действительно, подставив в систему (3.7) нули на место всех неизвестных xi, Х2, . . х п , мы обратим в тож дества все уравнения этой системы.
74 |
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
С л е д с т в и е . К вадрат ная однородная сист ем а 4) им еет |
н ет р и ви |
|
альны е р еш ения тогда и т олько т огда, когда определит ель, сост ав |
||
лен ны й из коэф ф ициент ов при неи звест н ы х , равен нулю . |
|
|
В самом деле, в случае квадратн ой однородной системы |
(3.7), т. е. |
|
при т |
= п ранг г м атрицы (3.2) будет меньш е числа т = |
п тогда и |
только тогда, когда определитель этой м атрицы равен нулю . |
||
3. |
У с л о в и е с о в м е с т н о с т и о б щ е й л и н е й н о й с и с т е м ы . Устано |
вим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.1). С этой системой
связаны две матрицы : м атри ц а А , определяем ая |
соотнош ением |
(3.2), |
|||||||||||
которую принято н азы вать |
|
основной м а т рицей |
сист ем ы |
(3.1) |
(она |
||||||||
составлена из коэф ф ициентов при неизвестны х), и м атрица |
|
|
|
||||||||||
|
|
ап |
«1 2 |
|
|
« 1 п |
bi |
|
|
|
|
||
А ! |
= |
«21 |
«2 2 |
|
|
« 2 п |
ь2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
« m l |
« m 2 |
• • • |
|
« т п |
Ьщ |
|
|
|
|||
которую принято |
н азы вать |
расш иренной м а т рицей сист ем ы |
(3.1) |
||||||||||
(она получается из основной м атрицы |
путем добавления к |
этой |
м ат |
||||||||||
рице столбца (3.5) свободных членов). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С праведлива следую щ ая основная теорем а. |
|
|
|
|
|
||||||||
Т е о р е м а 3 .2 (теорема |
К р о н екер а-К ап ел л и 5) . Д л я того |
чтобы |
|||||||||||
ли н ей н а я сист ем а |
(3.1) |
я вля ла с ь |
совм ест ной, необходимо |
и |
доста |
||||||||
т очно , чтобы ранг расш иренной м ат рицы эт ой |
сист ем ы |
был равен |
|||||||||||
рангу ее основной м ат рицы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Н е о б х о д и м о с т ь . |
П усть система |
(3.1) |
||||||||||
совместна, т. е. сущ ествую т такие числа щ , С2 , ... , |
сп , что справедливы |
||||||||||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C L llC i |
+ |
Щ2С2 |
+ |
. . . |
+ |
C i l n c n |
= |
&Ъ |
|
|
|
|
|
«21<А |
+ |
&22С2 |
+ |
• • • |
+ |
«2n^n |
= |
&2, |
|
|
/о гО |
|
« m l ^ l + |
« т 2 « 2 ~\~ . . . ~\~ A m n ^ n |
— |
Ьш. |
|
|
|
|||||||
О бозначим через г |
ранг |
основной |
м атрицы системы (3.1) и рассм от |
||||||||||
рим линейную оболочку L г |
базисны х столбцов этой м атрицы . В си |
||||||||||||
лу теорем ы 1.6 о базисном |
миноре лю бой столбец основной м атрицы |
||||||||||||
4) То есть система (3.7), у которой число уравнений т равно числу неизвест |
|||||||||||||
ных п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Леопольд Кронекер |
(1823-1891) — немецкий математик, А льф ред |
Капел- |
ли (1855-1910)—итальянский математик.
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
75 |
|||
п ри н адлеж и т указанной линейной |
оболочке L . |
И ны ми |
словами, |
лю |
бой столбец расш иренной м атрицы |
(3.8), кром е последнего ее столбца, |
|||
п ри н адлеж и т указанной линейной оболочке L . |
|
|
|
|
И з равенств (3.9) следует, что |
и последний |
столбец |
расш иренной |
м атрицы (3.8) п ри н адлеж и т линейной оболочке L (ибо этот последний
столбец в силу равенств (3.9) линейно вы раж ается через все столбцы
основной м атрицы и поэтому линейно вы раж ается через ее базисны е столбцы ).
Таким образом, все ст олбцы расш иренной м ат рицы (3.8) принад
леж а т указанной ли н ей н о й оболочке L . В п. 2 § 3 гл. 2 мы уж е устано вили, что разм ерность указанной линейной оболочки L р авн а L . Это
означает, что лю бы е г + 1 столбцов расш иренной м атрицы |
(3.8) линей |
но зависим ы , т. е. ранг расш иренной м атрицы (равны й м |
аксим ально |
му числу линейно независим ы х столбцов этой м атрицы ) такж е равен
числу г. Н еобходимость доказана.
2) Д о с т а т о ч н о с т ь . |
П усть ранги основной и расш иренной м ат |
|||
риц совпадаю т. Тогда г |
базисны х столбцов основной |
м атрицы |
бу |
|
дут явл яться базисны ми столбцами и расш иренной м атрицы (3.8) |
6) . |
|||
По теореме 1.6 о базисном |
миноре, последний столбец |
расш иренной |
||
м атрицы (3.8) представляет |
собой некоторую линейную |
комбинацию |
||
указанны х г базисны х столбцов. С тало бы ть, последний |
столбец рас |
ш иренной м атрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную ком бинацию и всех столбцов основной м атрицы (3.2) 7) , т. е. сущ ествую т числа с1 , С2 , ... , сп такие, что справедливы равенства (3.9). П оследние
равенства означаю т, |
что числа щ , С2 , ... , сп представляю т собой ре |
ш ение системы (3.1), |
т. е. эта система явл яется совместной. Теорема |
полностью доказана. |
|
§ 2. О ты скание реш ений линейной систем ы
Т еорема К р о н екер а-К ап ел л и устанавливает необходимое и доста точное условие совместности линейной системы, но не дает способа
нахож дения реш ений этой системы . |
|
|
В этом п ар агр аф е мы |
займ ем ся оты сканием реш ений |
линейной |
системы (3.1). С н ачала мы |
рассм отрим простейш ий случай |
к в ад р ат |
6) Ибо указанные г базисных столбцов линейно независимы, а большего чем г числа линейно независимых столбцов расш иренная матрица не имеет.
7)Не изменяя линейной комбинации г базисных столбцов, мы можем добавить
кней все небазисные столбцы с множителями, равными нулю.
76 ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ной системы линейны х уравнений с отличны м от нуля определителем основной м атрицы , а затем перейдем к оты сканию совокупности всех реш ений общей линейной системы вида (3.1).
1. |
К в а д р а т н а я с и с т е м а л и н е й н ы х у р а в н е н и й с о п р е д е л и т е |
||||||
л е м |
о с н о в н о й м а т р и ц ы , о т л и ч н ы м |
|
о т |
н у л я . П усть д ан а к в ад р ат |
|||
н ая система линейны х уравнений |
|
|
|
|
|||
|
CLllXi |
+ CL1 2 X2 |
+ . .. |
+ |
СЦпХп — bi, |
|
|
|
&2lX\ |
+ CL22X2 |
+ . . . + |
CL2nXn — Ь2 , |
(3.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C L n l X i T & n 2X 2 H- • • • T & п п Х п — b n |
|
|||||
с отличны м от нуля определителем Д |
основной м атрицы |
|
|||||
|
|
а ц |
а\2 |
• |
• • |
CLin |
|
|
А _ |
а 21 |
&22 |
• |
• • |
& 2 п |
(3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0"п1 |
0"п2 |
• |
• • |
^пп |
|
Д окаж ем , что такая |
система имеет, и притом единственное, реш е |
ние, и найдем это реш ение. С н ачала докаж ем , что систем а (3.10) м ож ет иметь только одно реш ение (т. е. докаж ем единственность реш ения си стемы (3.10) в предполож ении его сущ ествования).
П редполож им , что сущ ествую т какие-либо п чисел ал, ал, . .. , х п
такие, что при подстановке этих чисел в систему (3.10) все уравне
ния этой системы обращ аю тся в тож дества (т. е. сущ ествует |
некото |
||||
рое реш ение системы |
(3.10) ал, ал, ... , х п ). Тогда, ум нож ая тож дества |
||||
(3.10) соответственно на алгебраические дополнения |
А 2j, ... , A nj |
||||
элементов j -го столбца определителя Д м атрицы (3.11) |
и ск лад ы вая |
||||
затем получаю щ иеся |
при |
этом тож дества, мы |
получим |
(для |
лю бого |
ном ера j , равного 1, |
2, ... , |
п) |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
X i ( a n A i j + c t 2 i A 2 j + . . . + a n i A n j ) = |
|
|
|
||
2=1 |
|
|
|
|
|
|
|
— b \A \j + |
&2^.2j + |
. .. + |
bnA nj. |
У чи ты вая, что сум м а произведений элементов г-го столбца на соответ
ствую щ ие алгебраические дополнения |
элементов |
j- r o столбца |
равн а |
|
нулю при i Ф j и равн а определителю |
Д |
м атрицы |
(3.11) при г |
— j 8) , |
мы получим из последнего равенства |
|
|
|
|
X j Д = b \ A \ j + &2^_2j |
+ |
. . . + b n A n j . |
(3.12) |
8) См. свойство 4°) из п. 4 § 2 гл. 1.
|
|
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
77 |
||||||||||
|
О бозначим |
сим волом A j (pi) |
(или, более |
крат ко, сим волом A j) |
|||||||||
определит ель, |
получаю щ ийся |
из |
определит еля |
А |
основной |
м а т р и |
|||||||
цы |
(3.11) |
зам еной его j -го ст олбца ст олбцом |
из |
свободных |
членов |
||||||||
Ъ\, |
&2 5 • • - 5 |
Ьп |
(с |
сохранением |
без |
изм енения |
всех |
остальны х |
столб |
||||
цов |
Д ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зам етим , |
что |
в |
правой части |
(3.12) стоит |
именно определитель |
|||||||
A j |
(bi) 9) , и это равенство приним ает вид |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
X jA = A j |
(j |
= 1, 2, |
... , |
n). |
|
(3.13) |
|
|
П оскольку определитель Д |
м атрицы (3.11) отличен от нуля, равен |
|||||||||||
ства (3.13) эквивалентны соотнош ениям |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
х з = -& |
O' |
= 1, 2, |
|
тг). |
|
(3.14) |
|
|
И так, мы доказали, что если реш ение х \ , Ж2 |
, ... , |
х п сист ем ы (3.10) |
||||||||||
с определит елем |
А |
основной м ат рицы |
(3.11), от ли чн ы м |
от н у |
|||||||||
л я , |
сущ ест вует , |
то эт о реш ение однозначно |
определяет ся |
ф орм у |
|||||||||
ла м и (3.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ф орм улы |
(3.14) назы ваю тся ф орм улам и К рамера 10)1 . |
|
||||||||||
|
Ещ е раз подчеркнем , что ф орм улы К р ам ер а пока получены нами в |
предполож ении сущ ествования реш ения и доказы ваю т его единствен ность.
О стается доказать сущ ествование реш ения системы (3.10). Д л я это го в силу теорем ы К р о н екер а-К ап ел л и достаточно доказать, что ранг
основной м атрицы |
(3.11) равен рангу расш иренной м атрицы |
п ) |
||||||
|
|
а ц |
ai2 |
|
|
а 1п |
bi |
|
A i = |
а 21 |
<^22 |
• |
• |
CL2n |
ь2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0"п1 |
&п2 |
• |
• |
®>пп |
Ъп |
|
но это очевидно, ибо в силу |
соотнош ения Д / |
0, ранг основной м ат |
||||||
рицы равен п, а |
ранг содерж ащ ей |
п |
|
строк |
расш иренной |
м атрицы |
(3.15) больш е числа п бы ть не м ож ет и потому равен рангу основной
матрицы .
9)Чтобы убедиться в этом, достаточно записать разложение определителя
Дj (Ь{) по элементам г-го столбца.
10)Габриель К рамер (1704-1752) —швейцарский математик.
11)Существует и другой способ доказательства существования решения систе
мы (3.10), заклю чаю щ ийся в проверке того, что числа х\, Х2, • • х п , определяемые формулами К рам ера (3.14), обращают в тож дества все уравнения системы (3.10).
78 |
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
Тем самы м |
полностью доказано, что квадрат ная сист ем а л и н е й |
ны х уравнений (3.10) с определит елем основной м ат рицы , от личн ы м от н у л я , и м еет , и прит ом единст венное, реш ение, определяем ое фор м у ла м и К рамера (3.14).
Д оказанное нами утверж дение еще прощ е устанавливается м атри ч ным способом. Д л я того чтобы сделать это, заменим (как и в п. 1 § 1)
систему (3.10) эквивалентны м ей м атричны м уравнением
|
А Х |
= |
В , |
(3.16) |
где А — основная м атри ц а системы |
(3.11), а X |
и В — столбцы, |
||
|
XI |
|
bi |
|
X = |
Х2 |
в |
ь2 |
|
, |
= |
|
||
|
Хп |
|
Ъп |
|
первы й из которы х п одлеж ит определению , а второй задан .
Т ак как определитель Д м атрицы А отличен от нуля, то сущ ествует
обратн ая м атри ц а |
А ~ 1 |
(см. и. 7 § 2 гл. 1). |
|
|
|
|
|
|||
П редполож им , |
что |
сущ ествует |
реш ение системы |
(3.10), |
т. е. су |
|||||
щ ествует столбец |
X , обращ аю щ ий |
в тож дество |
м атричное |
уравне |
||||||
ние (3.16). П ом нож ая |
указанное тож дество слева |
на |
обратную м ат |
|||||||
рицу А ~ 1, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
А - 1 ( А Х ) |
= А - 1 В . |
|
|
|
(3.17) |
||
У чтем |
теперь, что в силу сочетательного свойства произведения трех |
|||||||||
м атриц |
(см. и. 2 § 1 гл. 1) и в силу соотнош ения А ~ гА |
= |
Е, |
где Е — |
||||||
единичная м атри ц а (см. и. 7 § 2 гл. 1), А ~ 1 ( А Х ) = |
( А ~ гА ) Х |
= Е Х |
= |
|||||||
= X , так что мы получим из (3.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X = А |
- 1 В . |
|
|
|
(3.18) |
||
Р азвер ты в ая равенство |
(3.18) и учи ты вая вид обратной м атрицы |
12) , |
||||||||
мы и получим д л я элементов столбца X |
ф орм улы К рам ера. |
|
|
|||||||
И так, мы доказали, что если реш ение м атричного уравнения (3.16) |
||||||||||
сущ ествует, то оно однозначно определяется соотнош ением |
(3.18), эк |
|||||||||
вивалентны м ф орм улам К рам ера. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л егко проверить, что столбец |
X , |
определяем ы й |
соотнош ением |
|||||||
(3.18), в самом деле явл яется реш ением |
м атричного уравнения (3.16), |
12) См. формулу (1.41) из п. 7 § 2 гл. 1.
|
2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ |
79 |
||
т. е. при |
подстановке в это |
уравнение обращ ает его |
в тож дество. |
В |
самом деле, если столбец X |
определяется равенством |
(3.18), то А Х |
= |
|
= А ( А ~ 1В ) = ( А А ~ 1) В = Е В = В . |
|
|
||
И так, |
если определит ель Д м ат рицы А от ли чен |
от н у л я (ш. е. |
если эт а м ат рица я в ля е т с я невы рож денной), то сущ ест вует , и пр и
т ом единст венное, реш ение м ат ричного уравнения (3.16), определяе
мое соот нош ением (3.18), эк ви ва лен т н ы м ф орм улам Крамера.
П ри м ер . Н айдем реш ение квадратн ой системы линейны х уравне
ний |
2 х 2 И- Зжз |
4тд = |
30, |
Х\ |
|||
—х \ |
+ 2x2 — Зж3 + |
4ж4 = |
10, |
|
х 2 ~ Хз |
+ Ха = |
з, |
|
Х \ + Х2 + Х з |
+ ж4 = |
10 |
с отличны м от нуля определителем основной м атрицы
1
1 т—1 0
1
2 |
3 |
4 |
2 |
- 3 |
4 |
1 |
1 I—1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
П оскольку |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
2 |
3 |
4 |
1 |
30 |
3 |
4 |
- 1 |
2 |
3 |
4 |
- 1 |
10 |
- 3 |
4 |
3 |
1 |
- 1 |
— —4, |
Д 2 — |
3 |
- 1 |
1 |
1 |
0 |
||||||
10 |
1 |
1 |
1 |
1 |
10 |
1 |
1 |
1 |
2 |
30 |
4 |
- 1 |
2 |
10 |
4 |
0 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
10 |
1 |
II |
1 I—1 to |
> |
II |
1 |
2 |
3 |
30 |
- 1 |
2 |
- 3 |
10 |
0 |
1 |
- 1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
10 |
то, в силу ф орм ул К рам ера, единственное реш ение рассм атриваем ой
системы имеет вид х \ — 1, Х2 |
— 2, хз = 3, жц = 4. |
О сновное значение ф орм ул |
К р ам ер а состоит в том, что они даю т |
явное вы раж ение д л я реш ения квадратн ой системы линейны х уравне ний (с определителем , отличны м от нуля) через коэф ф и ц и ен ты у р ав нений и свободные члены . П рактическое использование ф орм ул К р а
м ера связано с довольно гром оздким и вы числениям и (для реш ения системы п уравнений с п неизвестны м и приходится вы числять (п + 1) определитель n - го порядка). К этому следует добавить, что если ко эф ф и ц и ен ты уравнений и свободные члены представляю т собой лиш ь
80 |
ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
приближ енны е |
значения к ак и х -л и б о изм еряем ы х ф изических вели |
чин или округляю тся в процессе вы числений, то использование ф о р
мул |
К р ам ер а |
м ож ет привести |
к больш им ош ибкам |
и в ряде случаев |
явл яется нецелесообразны м . |
|
|
||
В |
§ 4 гл. 4 |
будет излож ен |
метод регуляризации, |
принадлеж ащ ий |
А .Н . Т ихонову и позволяю щ ий находить реш ение линейной системы с точностью , соответствую щ ей точности зад ан и я м атрицы к оэф ф и ц и ентов уравнений и столбца свободных членов, а в главе б дается пред ставление о так назы ваем ы х итерационны х м етодах реш ения линейны х систем, позволяю щ их реш ать эти системы при помощ и последователь ны х приближ ений неизвестны х.
В заклю чении отметим, что в этом пункте мы исклю чили из рас см отрения случай обращ ения в нуль определителя Д основной м ат рицы системы (3.10). Э тот случай будет содерж аться в общей теории систем т линейны х уравнений с п неизвестны ми, излагаем ой в следу ющем пункте.
2.О ты скание всех реш ений общ ей линейной систем ы . Р ас
смотрим теперь общ ую систему т |
линейны х уравнений с п неизвест |
ными (3.1). П редполож им , что эта |
систем а совместна и что ранг ее |
основной и расш иренной м атриц равен числу г. Не огран и чи вая общ ности, мы можем предполож ить, что базисны й минор основной м атри цы (3.2) находится в левом верхнем углу этой м атрицы (общий случай сводится к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1)
уравнений и неизвестны х). |
|
|
|
|
Тогда первы е |
г строк как |
основной м атрицы (3.2), |
так и расш и |
|
ренной м атрицы |
(3.8) являю тся базисны ми строками этих м атриц 13) , |
|||
и, по теореме 1.6 о базисном |
миноре, к аж д ая из строк |
расш иренной |
||
м атрицы (3.8), н ачиная с (г |
+ |
1)-й строки, явл яется линейной комби |
||
нацией первы х г строк этой м атрицы . |
|
|||
В терм инах системы (3.1) |
это означает, что каж дое |
из уравнений |
||
этой системы, н ачиная с (г + |
1)-го уравнения, явл яется линейной ком |
|||
бинацией (т. е. следствием) |
первы х г уравнений этой |
системы (т. е. |
всякое реш ение первы х г уравнений сист ем ы (3.1) обращает в т ож дест ва и все последую щ ие уравнения эт ой сист ем ы ).
Таким образом, достаточно найти все реш ения лиш ь первы х г ур ав нений системы (3.1). Рассм отрим первы е г уравнений системы (3.1),
13) Так как ранги основной и расширенной матриц оба равны г, то базисный минор основной матрицы будет одновременно являться базисным минором и рас ширенной матрицы.