книги / Линейная алгебра.-1
.pdf3. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ |
131 |
З а м е ч а н и е 2 . У равнение |
|
det (А - AI) = 0 |
(5.29) |
назы вается характ ерист ическим уравнением оператора А .
§ 3. С обственны е значения и собственны е векторы линейны х операторов
П усть Vi — подпространство n -мерного линейного п ространства V
и А — линейны й оператор из L (V, V ).
О п р едел ен и е 1. П ространство V\ назы вается инвариан т ны м под
прост ранст вом оператора А , если д л я каж дого х, п ринадлеж ащ е
го Vi, элемент А х такж е п ри н адлеж и т V\.
П рим ерам и инвариантны х подпространств оператора А м огут слу
ж и ть ker А и im А . |
|
|
О п р едел ен и е |
2. Ч исло Л назы вается |
собст венны м зн а чен и ем |
оператора А , если сущ ествует ненулевой вектор х такой, что |
||
|
А х = Лх. |
(5.30) |
П ри этом вектор х |
назы вается собст венны м |
вект ором оператора А , |
отвечаю щ им собственному значению Л. |
|
С праведливо следую щ ее ут верж дение.
Т еорем а 5 .8 . Д л я того чтобы число А было собст венны м зн а че
ни ем оператора А , необходимо и дост ат очно, чтобы эт о число было
корнем характ ерист ического уравнения (5.29) оператора А .
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть Л — собственное значение оператора А
и х — собственны й вектор, отвечаю щ ий |
этом у Л (х / 0). П ерепиш ем |
соотнош ение (5.30) в следую щ ей ф орме: |
|
(А — А1)х = |
0. |
Т ак как х — ненулевой вектор, то из последнего равенства следует, что ker (А — AI) ф 0, т. е.
dim (ker (А — AI)) ^ |
1. |
(5.31) |
|
П оскольку, согласно теореме 5.1, |
|
|
|
d i m ( i m ( A — AI)) + |
dim (ker (А |
— AI)) = |
n, |
то из этого равенства и неравенства (5.31) получаем |
|
||
d i m ( i m ( A |
— AI)) ^ п |
— 1. |
(5.32) |
132 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
По |
определению , dim (im (А |
— AI)) равн яется |
рангу оператора |
А — AI. П оэтому из неравенства |
(5.32) следует |
|
|
|
rang (А |
— AI) < п. |
(5.33) |
Таким образом, если А — собственное значение, то ранг м атрицы А — X I |
|||
оператора А — AI меньш е п, т. е. det (А — AI) = 0 |
и, следовательно, |
||
А — корень характеристического уравнения. |
|
П усть теперь А — корень характеристического уравнения (5.29). То
гда справедливо неравенство |
(5.32), а следовательно, |
и неравенство |
(5.31), из которого вы текает |
сущ ествование д л я числа |
А такого нену |
левого вектора х, что (А — А1)х = 0. П оследнее соотнош ение экви ва лентно соотнош ению (5.30). П оэтому А — собственное значение. Теоре
ма доказана.
Сл е д с т в и е . К аж ды й ли н ей н ы й оператор им еет собст венное зн а чение.
Д ействительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень
(в силу основной теорем ы алгебры ).
С праведлива следую щ ая теорем а.
Т е о р е м а 5 .9 . Д л я того чтобы м ат рица А линейного оператора А
в данном базисе {е/Д была диагональной 7) , необходимо и дост ат оч но, чтобы базисные вект оры е* были собст венны м и вект орам и этого оператора.
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть |
базисны е |
векторы е/, |
являю тся соб |
||||
ственны ми векторам и оператора А . Тогда |
|
|
|
|
|||
|
А е/, |
|
А^е^, |
|
|
|
(5.34) |
и поэтому м атри ц а А оператора А |
имеет вид |
(см. соотнош ения |
(5.13) |
||||
и понятие м атрицы линейного оператора) |
|
|
|
|
|||
( |
Ai |
0 . .. |
0 |
\ |
|
|
|
|
0 |
2 |
.. |
0 |
|
|
|
А = |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
0 |
0 . |
Ап |
/ |
|
|
|
т. е. явл яется диагональной . |
|
|
|
|
|
|
|
П усть м атри ц а А линейного |
оператора А |
в данном базисе |
{ е Д |
||||
диагональна, т. е. имеет вид |
(5.35). Тогда соотнош ения |
(5.13) прим ут |
вид (5.34), а это означает, что е/, — собственны е векторы оператора А .
Теорема доказана.
7)Напомним, что матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю.
3. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ |
133 |
Д окаж ем еще одно свойство собственны х векторов.
Т еорем а 5 .10. Пуст ь собственные значения Ai, А2,. . Хр опера
тора А |
различны. Тогда от вечающие им собственные векторы е ь |
в2, . . |
е р линейно независимы. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . П рименим индукцию . Т ак как e i — ненулевой вектор, то д л я одного вектора (р = 1 ) утверж дение справедливо (один ненулевой вектор явл яется линейно н езависим ы м ). П усть утверж дение теорем ы доказано д л я т векторов e i, в2, . . е ш. П рисоединим к этим векторам вектор e m + i и допустим , что имеет место равенство
т + 1
|
|
|
У |
a ke k |
= 0. |
|
|
(5.36) |
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
Тогда, используя свойства линейного оператора, получим |
|
||||||||
|
|
|
т + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
У " |
а кА е к |
= 0. |
|
|
(5.37) |
|
|
|
|
к = |
1 |
|
|
|
|
|
Т ак как |
— собственны е векторы , то Ае& |
= А ^щ , и поэтому р а |
|||||||
венство (5.37) мож но переписать следую щ им образом: |
|
|
|||||||
|
|
|
т + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о^кХк^к |
= |
0. |
|
|
(5.38) |
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(5.36) |
|
Am + |
= |
0 . В ы читая это равенство из |
||||
равенства (5.38), найдем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
^ (Хк |
Хш -\-1)(Хк^к — 0. |
|
(5.39) |
|||
|
|
к = |
1 |
|
|
|
|
|
|
По условию все Ак различны , т. е. Ак — Am + |
1 7 ^ 0. П оэтому из (5.39) |
||||||||
и предполож ения |
о линейной |
независим ости |
векторов |
e i, в 2 |
, ... , е ш |
||||
следует, что |
ад = |
012 — . . . = <тш = |
0. |
О тсю да и из |
(6.36), |
а такж е |
из условия, что em+ i — собственны й вектор (em + i ф 0), вы текает, что
а щ 1 |
= |
0- Таким образом, из равен ства (5.36) мы получаем , что ад = |
= 0 ( 2 |
= |
. .. = a m + i = 0. Это означает, что векторы e i, в 2 , . .. , e m + i |
линейно независимы . И ндукция проведена, и доказательство теорем ы заверш ено.
С ледстви е. Если характ ерист ический многочлен оператора А имеет п различных корней, то в некотором базисе мат рица опера тора А имеет диагональный вид.
134 ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Д ействительно, в рассм атриваем ом случае, согласно только что до казанной теореме, собственны е векторы линейно независим ы и поэто му могут бы ть вы браны в качестве базисны х. Но тогда по теореме 5.9
в этом базисе м атри ц а оператора А будет диагональной .
§ 4. Л инейны е и полуторалинейны е ф ор м ы в евклидовом пространстве
1. |
|
С пециальное п редставление линейной ф ор м ы в евкли |
|||||||||||||||
довом пространстве. П усть У — евклидово пространство, а С — ком |
|||||||||||||||||
плексная плоскость (одномерное комплексное линейное простран ство). |
|||||||||||||||||
В |
п. 1 |
§ 1 |
этой |
главы |
мы |
ввели |
понятие |
|
ли н ей н о й |
формы — |
|||||||
линейного оператора, действую щ его из У в С . В этом пункте мы полу |
|||||||||||||||||
чим |
специальное представление произвольной линейной ф орм ы / из |
||||||||||||||||
н у |
, |
С). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ем м а . П уст ь / |
— ли н ей н а я форма из L (У, |
С ). Тогда сущ ест ву |
|||||||||||||||
ет единст венны й элем ен т h |
из V |
т акой , |
чт о |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( х ) = |
(х, |
h). |
|
|
|
|
(5.40) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я |
доказательства сущ ествования |
элемен |
|||||||||||||||
та h |
выберем в У ортонорм ированны й базис e i, |
в 2 , ... , е п. |
|
||||||||||||||
Рассм отрим |
элемент |
h, |
координаты |
h k |
которого в вы бранном ба |
||||||||||||
зисе определяю тся соотнош ениями 8) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h k |
= f ( e k ). |
|
|
|
|
(5.41) |
|||
Таким образом , h = |
Y lk = i h k e k- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П усть |
х |
= |
Y lk = i %к е к — произвольны й элемент |
п ространства У. |
|||||||||||||
И спользуя |
свойства |
линейной ф орм ы |
/ и |
равенство |
(5.41), получим |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( х ) |
= |
5 |
> * / ( e fe) |
= |
|
|
|
|
(5.42) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
к = 1 |
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
|||
Т ак |
как |
в |
ортонорм ированном |
базисе |
{еп } |
скалярное |
произве |
||||||||||
дение |
(х, h) |
векторов |
х |
= |
Y lk = i x k e k |
и h |
= |
Y lk = i ^ k e k равно |
|||||||||
Y lk = i x k h k 5 |
т0 из (5.42) |
получаем / |
(х, |
h). |
|
|
|
|
|
||||||||
С ущ ествование вектора h доказано. |
|
|
|
|
|
|
8) Черта над / (е*.) означает, что берется комплексно сопряженное значение этого выраж ения.
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ |
135 |
Д окаж ем единственность этого вектора. П усть h i и h 2 — д в а векто р а таких, что с помощ ью этих векторов ф о р м а / (х) м ож ет бы ть пред
ставлена в виде (5.40). О чевидно, д л я лю бого х справедливо соотнош е
ние (х, h i) = (х, h 2), из которого следует равенство (х, h 2 — h i) = 0 . П олагая в этом равенстве х = h 2 — h i и используя определение нор мы элемента в евклидовом пространстве, найдем ||h 2 — h i 11 = 0. И так,
h 2 = h i . Л ем м а доказана.
З а м е ч а н и е . О чевидно, лем м а справедлива и в случае, если V —
вещ ественное евклидово пространство, а / Е L (V, Д ), где R — вещ ест
венная прям ая.
2. П олуторалинейны е ф ор м ы в евклидовом пространстве. С пециальное п редставление таких ф о р м . Введем понятие полу торалинейной формы в линейном пространстве.
О п р едел ен и е. Ч и словая ф ун кц и я В (х, у), аргум ентам и которой
являю тся всевозм ож ны е векторы х н у линейного п ространства L, назы вается полуторалинейной формой, если д л я лю бы х векторов х, у
и z из L и |
лю бого комплексного числа Л вы полняю тся соотнош ения |
||||||||
|
в (х |
+ |
у, |
z) |
= |
В (х, z ) + |
В (у, |
z), |
|
|
В (х, |
у |
+ |
z) |
= |
В (х, у ) + |
В (х, |
z), |
(5.43) |
|
|
В ( Х х , |
у) |
= АВ ( х , |
у), |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
В ( х , Ay) |
= Х В (х, |
у). |
|
|
|||
И ны ми |
словами, полуторалинейная ф о р м а В (х, у) |
представляет |
|||||||
собой числовую ф ункцию двух |
векторны х аргум ентов |
х, у, опреде |
|||||||
ленную на всевозм ож ны х векторах х н у |
линейного п ространства L, |
линейную по первому аргум енту х и антилинейную по второму аргу менту у.
З а м е ч а н и е 1. Если линейное пространство L явл яется вещ е ственны м, то полуторалинейны е ф орм ы переходят в так назы ваем ы е билинейные формы, т. е. ф орм ы , линейны е по каж дом у из аргум ентов (четвертое из соотнош ений (5.43) в силу вещ ественности Л будет хар ак теризовать линейность и по второму аргум енту). Б илинейны е ф орм ы
изучаю тся в гл. 7.
О братим ся к полуторалинейной ф орм е, заданной в евклидовом
пространстве V . С праведлива следую щ ая теорем а о специальном пред ставлении такой ф орм ы .
Т еорем а 5 .11. Пуст ь В (х, у) — полуторалинейная форма в ев клидовом пространстве V . Тогда сущест вует единственный линей
ный оператор А из L (V, |
V ) такой, что |
|
|
|
В { х , у) |
= (х, А у). |
(5.44) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
П усть |
у — лю бой ф иксированны й |
элемент |
136 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
п ространства V . Тогда В (х, у) представляет собой линейную ф орм у аргум ента х. П оэтом у по лем ме преды дущ его пункта м ож но указать такой однозначно определенны й элем ент h п ространства V , что
Б(х, у) = (х, h)- |
(5-45) |
И так, каж дом у у из У по правилу (5.45) |
ставится в соответствие |
единственны й элемент h из V . Таким образом, определен оператор А
такой, что h = A y . Л инейность этого оператора элем ентарно следует из свойств (5.43) полуторалинейной ф орм ы и из свойств скалярного произведения.
Д окаж ем единственность оператора А .
П усть A i и А 2 — д в а оператора таких, что с помощ ью этих операто
ров ф о р м а В (х, у) |
м ож ет бы ть представлена в виде (5.44). О чевидно, |
||||||||||||||
д л я лю бы х |
х н у справедливо соотнош ение |
(х, A iy ) = |
(х, А 2 У), |
из |
|||||||||||
которого следует равенство (х, А 2у |
— A iy ) |
= 0 . П олагая в этом |
р а |
||||||||||||
венстве |
х |
= |
А 2 У — A iy и используя определение норм ы элемента, |
||||||||||||
найдем |
||А 2у |
- |
A iy || |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, д л я лю бого у из У имеет место равенство А 2 У = |
|||||||||||||||
= A iy , |
т. е. А 2 |
= |
A i. Т еорема доказана. |
|
|
|
|
||||||||
С л е д с т в и е . |
П уст ь |
В (х, у) — полут оралинейная форма в е вк ли |
|||||||||||||
довом прост ранст ве |
У. |
Тогда |
сущ ест вует |
единст венны й ли н ей н ы й |
|||||||||||
оператор А |
из L (У, |
У) |
т акой , чт о |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В {х ., |
у) = |
(А х , у ). |
|
(5.46) |
|||
С праведливость |
следствия |
вы текает |
из следую щ их |
рассуж дений . |
|||||||||||
В о-первы х, |
ф о р м а |
В \ |
(х, у) = |
В (х, у) |
явл яется полуторалинейной |
||||||||||
(это следует |
из |
того, |
что В (х, у) — полуторалинейная |
ф орм а, |
и |
из |
|||||||||
определения |
такой |
ф орм ы ). Д алее, |
по теореме 5.11 |
получаем |
дл я |
||||||||||
В i(x, у) |
представление в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B i (у, |
х) = |
(у, |
А х ). |
|
(5.47) |
||
Т ак как сопряж енное значение от В \ |
(х, у) равно В \ (х, у ), то, беря |
сопряж енное значение левой и правой частей (5.47) и учи ты вая равен
ство В \ (х, у) = |
В (х, у ), получим |
|
|
|
|
|
£ ( х , у) = |
(у, А х). |
(5.48) |
Но (у, |
А х ) = |
(А х , у) (см. гл. 4, § 3, п. 1 ). П оэтом у из (5.48) получаем |
||
равенство |
(5.46). |
С ледствие доказано. |
|
|
З а м е ч а н и е |
2 . Т еорема 5.11 и |
следствие из этой |
теорем ы спра |
ведливы и д л я случая вещ ественного евклидова пространства. В этом
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
137 |
случае в ф орм улировке теорем ы и следствия терм ин «полуторалиней
н ая ф орм а» надо зам енить термином |
«билинейная ф орм а». См. такж е |
|||||||
зам ечание |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Введем |
понятие м атрицы |
полуторалинейной ф орм ы |
в данном ба |
|||||
зисе {е/Д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
П усть X, у |
п ри н адлеж ат |
V и х |
= |
Y!k = i x J e B У = |
E * = i2/fee* ~ |
|||
разлож ение х |
и у по базису |
{е/Д. И з определения полуторалинейной |
||||||
ф орм ы следую т соотнош ения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(п |
п |
|
\ |
п |
п |
|
|
|
Х л М ’ Х |
у*е* |
= X |
X x3ykBieh еД (5-49) |
|||
|
|
3 = 1 |
к = 1 |
/ |
j = 1 к = 1 |
|
||
П олагая |
|
|
bjk |
= В |
(e j, е к), |
|
(5.50) |
|
|
|
|
|
запиш ем вы раж ение (5.49) д л я В (х, у) в следую щ ей ф орме:
П
|
|
|
|
В(х, у) = |
X |
bikx3yk- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
j,k = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ат рица |
В |
= |
(bjk) назы вает ся |
м а т рицей |
полут оралинейной |
|||||||||||
формы В (х, у) в базисе {е/Д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С праведливо следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
П уст ь |
полут оралинейная |
форма |
В (х, |
у) |
предст авлена |
в |
в и |
|||||||||
де (5.46) |
|
|
|
Б ( х , у) = |
(А х , у ). |
|
|
|
|
|
|
|
(5.46) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П уст ь далее элем ент ы м ат рицы А оператора А |
в данном ортонор- |
|||||||||||||||
м ированном |
базисе равны а к-. Тогда в эт ом |
базисе |
bjk |
= |
ак . Д л я |
до |
||||||||||
к азательства обратим ся к вы раж ению |
(5.50) |
д л я |
коэф ф ициентов |
bjk |
||||||||||||
полуторалинейной |
ф орм ы . П реобразуем правую |
часть |
(5.50) |
с помо |
||||||||||||
щ ью (5.46). П олучим, согласно |
(5.13), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(п |
^ |
\ |
= |
п |
Oj(Gq, еД . |
|||||
|
|
|
|
|
|
^ |
е/, |
j |
^ |
^ |
||||||
|
|
|
|
|
|
q = |
1 |
/ |
|
|
q = |
1 |
|
|
|
|
Т ак как базис {е/Д ортонорм ированны й, то (ед, е Д |
= |
0 , если q ф к |
||||||||||||||
и (щ , ek) |
= 1. П оэтому из всех слагаем ы х последней суммы отличны м |
|||||||||||||||
от нуля будет лиш ь то, которое получается при q |
= |
|
к. Таким образом, |
|||||||||||||
bjk = akj . |
У тверж дение доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З а м е ч а н и е |
3. Если полуторалинейная ф о р м а представлена в ви |
|||||||||||||||
де В (х, у) = |
(х, А у ) и элем енты |
м атрицы |
А оператора А |
в данном |
||||||||||||
ортонорм ированном базисе равны ак , то в этом базисе bjk = |
ак . |
|
138 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
§ 5. Л и н е й н ы е с а м о с о п р я ж е н н ы е о п е р а т о р ы в е в к л и д о в о м |
|
|
п р о с т р а н с т в е |
1. П о н я т и е |
с о п р я ж е н н о г о о п е р а т о р а . М ы будем рассм атри |
вать линейны е операторы в конечном ерном евклидовом простран
стве V . |
|
|
О п р е д е л е н и е 1 . О ператор А* |
из L (V, V ) назы вается со п р яж ен |
|
ны м к линейному оператору А , если д л я лю бы х х и у из V |
вы полня |
|
ется соотнош ение |
|
|
(А х , у) = |
(х, А *у) |
(5.51) |
Л егко убедиться в том, что оператор А *, сопряж енны й к линейному оператору А , сам явл яется линейны м оператором . Это вы текает из очевидного соотнош ения
(А х , а у ! + /Зу2) = |
й (А х , у г) + |
/?(А х , |
у 2) = |
|
||
|
= |
й (х , |
А * у х) |
+ /?(х, |
А * у 2) |
= (х, A * (a y i + /?у2)), |
справедливого д л я лю бы х элементов х, y i, У2 |
и лю бы х комплексны х |
|||||
чисел а и /3. |
|
|
|
|
|
|
Д окаж ем следую щ ую теорему. |
|
|
||||
Т е о р е м а |
5 .1 2 . К аж ды й ли н ей н ы й оператор А им еет единст вен |
|||||
ны й сопряж енны й. |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
О чевидно, скалярное |
произведение (А х , у) |
||||
представляет |
собой |
полуторалинейную |
ф орм у |
(см. гл. 4, § 3, п. 1 и |
||
определение |
полуторалинейной |
ф орм ы ). По теорем е 5.11 сущ еству |
ет единственны й линейны й оператор А* такой, что эта ф о р м а м ож ет бы ть представлена в виде (х, А *у). Таким образом , (А х , у) = х , А *у .
С ледовательно, оператор А* — сопряж енны й к оператору А . Е дин ственность оператора А* следует из единственности представления по
луторалинейного оператора в виде (5.44). Т еорема доказана.
В дальнейш ем символ А* будет обозначать оператор, сопряж енны й
к оператору А .
О тм етим следую щ ие свойства сопряж енны х операторов:
1 |
°) |
I* |
= |
I. |
|
|
|
4°) (А*)* = А . |
|
2 |
°) |
(А |
+ |
В )* _ = А* |
+ |
В*. |
5°) (А В )* = В *А *. |
||
3°) (АА*) = АА*. |
|
|
|
|
|||||
Д о казател ьств а |
свойств |
1°)-4°) |
элем ентарны , и мы предостав |
||||||
ляем их читателю . |
П риведем |
доказательство свойства |
5°). С оглас |
||||||
но определению произведения |
операторов справедливо |
соотнош ение |
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
139 |
(А В )х = А (В х). С помощ ью этого равен ства и определения |
сопря |
ж енного оператора получаем следую щ ую цепочку соотнош ений:
((А В )х, у) = (А (В х), у) |
= |
(В х, А*) |
= |
|
|
|
|
= |
(х, В*(А *у)) = (х, (В*А *)у). |
Таким образом, ((А В )х, |
у) |
= (х, |
(В*А *)у). И ны ми словами, опера |
|
тор В* А* явл яется сопряж енны м |
к оператору А В . С праведливость |
|||
свойства 5°) установлена. |
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . П онятие сопряж енного оператора д л я вещ ественно го п ространства вводится соверш енно аналогично. В ы воды этого пунк та и свойства сопряж енны х операторов справедливы и д л я этого слу
ч а я (при этом свойство 3°) ф орм улируется так: (АА)* = АА*).
2. С ам осоп ряж ен н ы е операторы . О сновны е свойства.
О п р едел ен и е 2. Л инейны й оператор А |
из |
L (У, V ) н азы вается |
|
сам осопряж енны м , если справедливо равенство |
|
||
|
А* = А. |
|
|
С ам осопряж енны й оператор |
в вещ ественном |
пространстве определя |
|
ется аналогично. |
|
|
|
П ростейш им примером |
самосопряж енного |
оператора является |
тож дественны й оператор I (см. свойство 1 °) сопряж енны х операторов
впреды дущ ем пункте).
Спомощ ью сам осопряж енны х операторов м ож но получить специ альное представление произвольны х линейны х операторов. И менно, справедливо следую щ ее утверж дение.
Т еорем а |
5.13. П уст ь А |
— ли н ей н ы й |
операт ор, дейст вую щ ий в |
||
ком плексном |
евклидовом |
прост ранст ве |
V . Тогда справедливо |
пред |
|
ст авление A R = A R + |
гА /, |
где A R и А / — сам осопряж енны е |
опе- |
рат оры , назы ваем ы е соот вет ст венно дейст вит ельной и м н и м о й ча
ст ью оператора А.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно свойствам 2 °), 3°) и 4°) сопряж ен
ны х операторов (см. преды дущ ий пункт этого п ар агр аф а) операторы
A R = |
(А + А *)/ 2 |
и А/ |
= |
(А — А *)/2г — самосопряж енны е. |
О чевидно, А = |
A R |
+ |
гА /. Т еорема доказана. |
|
В |
следую щ ей |
теореме |
вы ясняю тся условия сам осопряж енности |
произведения сам осопряж енны х операторов. М ы будем говорить, что операторы А и В к о м м ут и р ую т , если А В = В А.
Т еорем а 5 .14. Д л я |
того чтобы произведение А В сам осопряж ен |
ны х операторов А и В |
было сам осопряж енны м операт ором , необхо |
димо и дост ат очно, чтобы они ком м ут ировали .
140 |
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак |
как |
А и В — сам осопряж енны е операто |
|||||||||
ры , то, согласно свойству 5°) |
сопряж енны х операторов |
(см. п. |
1 этого |
||||||||
п ар агр аф а), справедливы соотнош ения |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(АВ)* |
= |
В*А* |
= |
В А . |
|
|
|
|
(5.52) |
|
С ледовательно, |
если А В |
= |
В А , |
то |
(А В )* = А В , |
т. е. |
опера |
||||
тор А В — самосопряж енны й . |
Если |
ж е |
А В — сам осопряж енны й |
опе |
|||||||
ратор, то А В = |
(А В)*, и |
тогда, |
на |
основании |
(5.52), |
А В |
= |
В А. |
|||
Т еорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейш их теорем ах устанавливается р яд |
важ н ы х |
свойств са |
|||||||||
м осопряж енны х операторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т еорем а 5 .15. Е сли оператор А сам осопряж енны й, |
то для любого |
||||||||||
х G V скалярное произведение (А х, х) — вещ ест венное число. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . С праведливость утверж ден и я теорем ы вы те
кает из следую щ его свойства скалярного произведения в комплексном
евклидовом пространстве (А х, х) = (х, А х) |
и определения сам осопря |
||||
ж енного оператора (А х, |
х) = (х, |
А х) 9) . |
|
||
Т еорем а 5.16. С обст венные зн а чен и я |
сам осопряж енного опера |
||||
тора вещ ест венны . |
|
|
Л — собственное значение сам осопря |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
П усть |
||||
ж енного |
оператора А . По |
определению собственного значения опе |
|||
р ато р а А |
(см. определение |
2 § |
3 этой главы ) сущ ествует ненулевой |
вектор х такой, что А х = Лх. И з этого соотнош ения следует, что вещ е ственное (в силу теорем ы 5.15) скалярное произведение (А х, х) м ож ет бы ть представлено в виде
|
|
(А х, х) |
= |
А(х, х) = А||х|| |
10) . |
|
|
|
Т ак как |
||х|| |
и (А х, |
х) |
вещ ественны , |
то, |
очевидно, |
и |
А — |
вещ ественное число. Т еорема доказана. |
|
|
|
|
||||
В следую щ ей теореме вы ясняется свойство ортогональности |
соб |
|||||||
ственны х векторов самосопряж енного оператора. |
|
|
|
|||||
Т еорем а |
5.17. |
Е сли А |
— сам осопряж енны й |
операт ор, |
то |
соб |
ст венны е вект оры , от вечаю щ ие р а зли чн ы м собст венны м зн а чен и ям эт ого оператора, орт огональны .
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть Ai и А2 — различны е собственны е зн а чения (Ai ф А2) самосопряж енного оператора A, a x i и Х2 — соответст
9)Напомним, что если комплексное число равно своему сопряженному, то это число —вещественное.
10)Напомним, что символ ||х|| обозначает норму элемента х.