книги / Линейная алгебра.-1
.pdf§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП |
311 |
£ (3) (I) = А (3), £ (3) (Р) = А (3).
4)Ч ет ы рехмерное предст авление группы G.
Рассм отрим в Е 4 линейны е преобразования м атрицам и
( г |
0 |
0 |
0 |
\ |
|
( 0 |
1 |
|
Т 4> = |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
, в (4) = |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
: |
|
||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
° |
0 |
V |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
° |
|
|
|
: |
0 |
1 |
1 |
0 |
П реобразования А (4) и В*4-1 образую т подгруппу |
в группе G L (4) |
|||||||||||||||
с законом |
ум нож ения, |
задаваем ы м |
таблицей, аналогичной |
табли |
||||||||||||
це (9.35) (с заменой индекса 2 на |
индекс |
4). О чевидно, |
что |
мы по |
||||||||||||
лучаем |
четы рехмерное представление D |
(G ) группы G |
с помощ ью |
|||||||||||||
соотнош ений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
П (4) (I) = |
А (4\ |
Л (4) (Р) |
= в (4). |
|
|
|
||||||
З а м е ч а н и е . |
Н етрудно |
видеть, |
что м атрицы |
Т |
4) и |
£ ( 4) |
МОЖНО |
|||||||||
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
л (4) |
_ |
( |
^4(2) |
О |
А |
„(4) |
_ |
( |
В(2) |
о |
А |
|
|
|
|
А |
- |
V |
О |
А (2) ) ’ |
в |
|
~ |
{ |
О |
В (2) ) |
' |
|
|||
П оэтому |
представление |
D (О (G ) |
мож но |
|
условно записать в ви |
|||||||||||
де D |
(G ) = |
D ( G ) |
+ D |
(О) |
|
= |
2 D |
|
(О). С оверш енно |
анало |
||||||
гично мож но |
условно записать D ^ |
|
(О) в |
виде D ^ |
(О) |
= 3 D ^ (G ). |
И спользуя это зам ечание, читатель без труд а построит представле
ние группы G лю бой конечной разм ерности . |
|
|
|
||||
П р и м е р |
2. В п . 5 §2 этой главы |
мы доказали, |
что только что |
||||
рассм отренная группа симметрии G = |
{I, Р } трехмерного простран |
||||||
ства представляет собой норм альны й делитель группы О (3) |
(группа |
||||||
ортогональны х преобразований п ространства Е 3). |
В |
том ж е |
пункте |
||||
мы доказали, что подгруппа S O (3) |
собственны х ортогональны х пре |
||||||
образований группы |
О (3) и зом орф н а ф актор -груп п е группы |
О (3) по |
|||||
норм альном у делителю {I, Р}. |
|
|
|
|
|
||
Т ак как |
группа |
гом ом орф но |
отображ ается |
на |
каж дую свою |
||
ф актор -группу, то 0 ( 3 ) гом ом орф ноотображ ается |
на |
группу |
5 0 ( 3 ) . |
312 ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
К а к мы видели в и. 5 § 3 этой главы , указанны й гом ом орф изм осущ е ствляется следую щ им образом .
Если а — собственное преобразование из О (3), то ему из S O (3) ста вится в соответствие это ж е самое преобразование.
Если а' — несобственное преобразование, то ему ставится в соответ ствие собственное преобразование Р а ' .
Таким образом, мы получаем трехм ерное представление D O (3) группы ортогональны х преобразований посредством группы S O (3) собственны х ортогональны х преобразований.
п р е д м е т н ы й у к а з а т е л ь
Автоморфизм групп 285 Алгебраическое дополнение 32 Альтернирование тензора 261 Ассоциативный закон композиции 280 Аффинная система координат 269 Аффинное пространство 46
Базис 53
—взаимный 248
—представления 304 Базисные столбцы 43
—строки 43 Базисный минор 43
Бесконечномерное линейное пространство 55
Беспорядок 26 Билинейная форма 167, 201
----- вырожденная 206
----- кососимметричная 167, 203
----- невырожденная 206
----- симметричная 167, 203 Блок матрицы 17 Блочная матрица 17
Буняковского-Коши неравенство 93, 107
Вандермонда определитель 36 Вектор 49 Верхней релаксации метод 189
Вещественное евклидово пространство 90
Времениподобный вектор 273
Галилеевы системы 274 Гамильтона-Кэли теорема 150 Гиббса формулы 250 Гиперболоид 241
Гиперповерхность второго порядка 227
-------- центральная 238 Главная диагональ 13 Гомоморфизм групп 288 Грама определитель 246 Группа 281
Группа абелева 281
—коммутативная 281
—линейных преобразований 293
—Лоренца 299, 300
—ортогональных преобразований 295
—перестановок 282
—симметрическая 283
—собственных ортогональных преобразований 297
Группы унитарные 303
— циклические 298
Диагональ матрицы главная 13
----- побочная 13 Диагональная матрица 16 Дополнительный минор 27
Евклидово пространство вещественное 90
----- комплексное 105 Единица группы 281 Единичная матрица 16 Единичный оператор 118
Жорданова клетка 161
— форма матрицы 161
Закон инерции квадратичной формы 215
—композиции 280 Зейделя метод 188 Изоморфизм групп 285
—евклидовых пространств 103
—линейных пространств 57 Инвариант 253
—уравнения гиперповерхности 235 Инвариантное подпространство
оператора 131 Индекс инерции 216
----- отрицательный 216
----- положительный 216 Инерции закон 215
Канонические коэффициенты 208 Канонический базис 210
314 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
|
— вид квадратичной формы 207, 208 |
пространства 51 |
|
Каноническое уравнение |
|
— комбинация строк 31 |
нецентральной гиперповерхности |
элементов линейного |
|
второго порядка 244 |
|
пространства 51 |
-----центральной гиперповерхности |
— независимость строк 41 |
|
второго порядка 241 |
|
элементов линейного |
Капелли-Кронекера теорема 74 |
пространства 51 |
|
Квадратичная форма 153, 205 |
— оболочка 60 |
|
----- вырожденная 206 |
|
— система 71 |
----- знакоопределенная 206 |
— форма 117 |
|
----- знакопеременная 206 |
|
Линейное представление группы 304 |
----- квазизнакоопределенная 206 |
— преобразование 117 |
|
----- невырожденная 206 |
|
— пространство бесконечномерное 55 |
-----отрицательно определенная 206 |
Линейное пространство |
|
-----положительно определенная 206 |
вещественное 46, 50 |
|
Квадратная матрица 12 |
|
----- комплексное 50 |
— система 71, 76 |
|
Линейные пространства изоморфные 57 |
Коммутативный закон композиции 280 |
Линейный оператор 117, 165 |
|
Коммутирующие матрицы 16 |
— функционал 117 |
|
— операторы 139 |
|
Лоренца группа 299, 300 |
Комплексное евклидово |
|
— преобразования 276, 300 |
пространство 105 |
|
— формулы 278 |
Композиция 280 |
|
Матрица 12 |
Координаты ковариантные 249 |
— билинейной формы 203 |
|
— контравариантные 249 |
|
— блочная 17 |
Корень из оператора 151 |
|
— диагональная 16 |
Кососимметричная билинейная |
— единичная 16 |
|
форма 167, 203 |
|
— квадратичной формы 206 |
Коши-Буняковского неравенство 93, |
— квадратная 12 |
|
107 |
|
— линейного оператора 125 |
Коэффициенты линейной системы 71 |
— невырожденная 41 |
|
Крамера формулы 77 |
|
— нулевая 17 |
Критерий Сильвестра 218 |
— обратная 40, 41 |
|
Критическая точка 224 |
|
— ортогональная 172 |
Критическое значение 224 |
----- несобственная 173 |
|
Кронекер 248 |
|
----- собственная 173 |
Кронекера символ 248 |
|
— полуторалинейной формы 137 |
Кронекера-Капелли теорема 74 |
— транспонированная 30 |
|
Кубическая норма 187 |
|
— унитарная 172 |
Кэли-Еамильтона теорема 150 |
Матрицы коммутирующие 16 |
|
Лагранжа метод 208 |
|
— порядок 12 |
Лаплас 27 |
|
Метод верхней релаксации 189 |
Лапласа теорема 27 |
|
— Зейделя 188 |
Линейная зависимость строк 41 |
— Лагранжа 208 |
|
----- элементов линейного |
|
— регуляризации Тихонова 110 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
315 |
— Якоби 175, 210 Метрический тензор евклидова про странства 262
-----псевдоевклидова пространства 272 Минимаксное свойство собственных
значений 147 Минковского неравенство 94
—пространство 274 Минор 20, 27
—базисный 43
—второго типа 27
—дополнительный 27 —первого типа 27
Многочлен характеристический 130,
168
Невырожденная матрица 41 Нейтральный элемент композиции 280 Неоднородная система 71 Неопределенная система 72 Неравенство Коши-Буняковского 93
—Минковского 94 Неравенство треугольника 94
Несобственное подпространство 59 Несовместная система 71 Нетривиально совместная система 73 Норма 94
—кубическая 187
—линейного оператора 141
—матрицы операторная 176, 187
—октаэдрическая 187
—сферическая 110, 187
—энергетическая 183
Нормальная фундаментальная совокупность решений 84
Нормальное решение 111 Нормальный делитель группы 287
— оператор Нормированное пространство 108 Нормы эквивалентные 183 Нулевая матрица 16 Нулевой оператор 118
Образ оператора 121 Обратная матрица 39, 41 Обратный оператор 119 Однородная система 82
Октаэдрическая норма 187 Оператор линейный 117,165
—нормальный 157
—нулевой 118
—обратный 119
—ортогональный 171
—положительно определенный 151
—положительный 151
—противоположный 118
—самосопряженный 139
—сопряженный 138
—тождественный 118
—унитарный 155
Операторная норма матрицы 176, 187 Операторы коммутирующие 139 Определенная система 71 Определитель 19
—Вандермонда 36
—Ерама 246
—линейного оператора 129
—произведения матриц 38
—треугольная 35 Определителя свойство
антисимметрии 30
----- линейное 31
----- равноправности строк
истолбцов 30 Ориентированный объем 270 Ортогонализации процесс 100 Ортогональная матрица 172
----- несобственная 173
----- собственная 173 Ортогональное дополнение 103 Ортогональные элементы 108 Ортогональный оператор 171 Ортонормированный базис 98, 108 Основная матрица линейной
системы 72
Параболоид 244 Параболоидальный цилиндр 245 Параллельный перенос 229 Перемножение матриц 14 Пересечение подпространств 62 Перестановка 26, 283 Пифагора теорема 96
316 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
Побочная диагональ 13 Погрешность метода итераций 176,
180 Подгруппа 286
—дискретная 295
—компактная 294
—конечная 294
—непрерывная 295 Подпространство 59 Полилинейная форма 219 Положительно определенный
оператор 151 Положительный оператор 151
Полуоси центральной гиперповерх ности второго порядка 241 Полуторалинейная форма 135 Порядок матрицы 12 Представление группы 303
----- вполне приводимое 307
----- линейное 304
----- неприводимое 307
----- приводимое 306, 307
----- точное 304
----- тривиальное 304 Представления групп эквивалентные 305
Преобразования Лоренца 276, 300 Присоединенный элемент 160 Проектор 149 Произведение матриц 14
—матрицы на число 13, 14
—оператора на число 118
—тензора на число 258
—тензоров 258
Простой итерации метод 175
-------- модифицированный 186
-------- общий неявный 178 Пространственноподобный вектор 273 Пространсво аффинное 46
—евклидово вещественное 90 комплексное 105
—линейное 46, 49
—нормированное 94, 108
—представления 304 Противоположный элемент 46, 50
Процесс ортогонализации 100 Прямая сумма квадратных матриц 18
----- подпространств 65 Псевдоевклидово пространство 272
Разложение определителя по столбцу 24
-------- строкам 28
-------- строке 21 Размерность представления 304
—пространства линейного 55
----- псевдоевклидова 272 Ранг матрицы 43, 62
—оператора 123
—формы билинейной 205
----- квадратичной 206 Расширенная матрица линейной
системы 74 Регуляризации метод Тихонова 110 Решение системы 71
----- нетривиальное 74
----- тривиальное 73 Ричардсона метод 194
Самарского теорема 179, 184 Самосопряженный оператор 139 Свертывание тензора 259 Свободные члены линейной
системы 71 Сильвестра критерий 218
Симметрирование тензора 261 Симметричная билинейная форма 167,
203 Система координат аффинная 269
— уравнений квадратная 71 линейная 71
-----неоднородная 71
-----неопределенная 72
-----несовместная 71
-----нетривиально совместная 73
-----однородная 71, 73, 82
-----определенная 71
-----совместная 71
Скалярное произведение 90, 105 След оператора 130 Сложение матриц 13
Смежный класс подгруппы 286
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
317 |
Собственное значение 131 Собственный вектор 131 Совместная система 71 Сопряженный оператор 138
—элемент группы 308 Спектральное разложение
оператора 150 Стационарная точка 224 Стационарное значение 224 Столбцы базисные 43 Строки базисные 43 Сумма матриц 13
—операторов 118
—прямая квадратных матриц 18
—подпространств 62, 63
—тензоров 257
Сферическая норма 110, 187
Тензор 253
—вполне кососимметричный 267
—кососимметричный 261
—метрический 262, 272
—момента инерции 278
—симметричный 260
Теорема Еамильтона-Кэли 150
—Кронекера-Капелли 74
—Лапласа 27
—о базисном миноре 43
—Пифагора 96
—Самарского 179, 184
—Тихонова 113 Тождественный оператор 118 Транспонированная матрица 30 Треугольное преобразование 210 Треугольный определитель 35 Тривиальное решение 73
Унитарная матрица 172 Унитарные группы 303 Унитарный оператор 155 Уравнение гиперповерхности
второго порядка 227
—характеристическое 131, 168
—центра гиперповерхности второго порядка 237
Фактор-группа 289
Форма билинейная 166, 201
-----вырожденная 206
-----кососимметричная 167, 203
-----невырожденная 206
-----симметричная 167, 203
—квадратичная 153, 205
—линейная 117
—полилинейная 219
—полуторалинейная 135
—эрмитова 153 Формулы Крамера 77
—Лоренца 278 Фундаментальная совокупность
решений 84
Характер 307 Характеристический многочлен 130,
168 Характеристическое уравнение 131,
168
Цднтр гиперповерхности второго порядка 237
Центральная гиперповерхность 238
----- вырожденная 241 Циклическая группа 298 Ц^илиндр параболоидальный 245
— центральный 244
Чебышева метод 190
Эквивалентные нормы 183 Элементы матрицы 12 Эллипсоид 241
—вырожденный 241
—мнимый 241 Эндоморфизм 288 Энергетическая норма 183 Энергетическое скалярное
произведение 183 Эрмитова форма 153
Ядро оператора 120 Якоби метод 175, 210
Учебное издание
И Л Ь И Н Владимир |
Александрович |
П О ЗН Я К Эдуард |
Генрихович |
Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
Серия «Курс высшей математики и математической физики»
Редакторы : М. М. Горячая, Н. Б. Барт ош евич-Ж агель
О ригинал-макет: А. Л. Ж игарев
Л Р № 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 09.04.01. Ф ормат 60x90 1/ IQ - Бум ага офсетная. П ечать офсетная.
Уел. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 19,46. Т и раж 5000 экз. Заказ №
И здательская ф ирм а «Ф изико-математическая литература»
М АПК «Наука/Интерпериодика» 117864 М осква, Проф сою зная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типограф ская, 6
ISBN 5- 9221- 0129-3
9 7 8 5 9 2 2 |
101295 |