- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
Таким образом, распределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы /, с которым была определена выборочная дисперсия. На рис. 5.7 приведены графики плотности /-распределения для числа сте пеней свободы:/ = 1, / = 5 и / = 50.
•f= 1 ------ |
f= 5 ------ |
f = 50 |
Рис. 5.7. Плотность распределения Стьюдента
Из рисунка видно, что при / = 50 распределение Стьюдента практи чески совпадает с нормальным распределением (рис. 5.6, а) и так же, как и нормальное, распределение Стьюдента является симметричным.
Доверительный интервал для математического ожидания /-распре деления равен
х - |
< mv |
(5.43) |
где р - квантиль распределения Стьюдента. Значения квантилей рас
пределения Стьюдента приведены в приложении 4.
5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
Математическое ожидание и генеральная дисперсия оцениваются выборочным средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше ее
объем. При этом среднее характеризует результат измерений, а дисперсия - точность этого результата.
Предположим, анализируются п различных проб. Если производить определение выборочной дисперсии для каждой пробы отдельно, то по требуется очень много времени. Чтобы сократить количество анализов и время на их выполнение, расчет дисперсии производят сразу по всем про бам. Пусть при анализе каждой пробы выполнено параллельное число
опытов: т\у mi, тп. Число степеней свободы частных дисперсий соот
ветственно определяется как: f\ = т\ - 1, /2 = m2 - 1, ... , f n - m n - 1. Об
щая дисперсия воспроизводимости всех опытов будет равна средневзве шенному значению частных дисперсий, где в качестве весов берутся сте пени свободы:
2 |
_ f l sl + f l s2 + —+ fnsn |
(5.44) |
||
sвое |
/1 |
+ / 2 + - |
+ /n |
|
|
|
|||
Учитывая, что число степеней общей дисперсии |
|
|||
Л о с= |
/ . + / 2 |
+ •■■+ /„ |
= 2 > / - И> |
(5.45) |
|
|
|
1=1 |
|
ачастные дисперсии определяются по формуле
т,
I b>iu - уi f
2 _ и - 1__________ |
(5.46) |
|
/И - 1 |
из уравнения (5.45) имеем
I I (Уш-У'Т
(5.47)
2 > / - и
/=1
Число степеней свободы общей дисперсии воспроизводимости, оп ределяемой по формуле (5.47), гораздо больше, чем у каждой дисперсии в отдельности. Поэтому общая дисперсия воспроизводимости намного точ нее оценивает дисперсию генеральной совокупности а 2
При вычислении дисперсии воспроизводимости по серии опытов объединяют только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.
5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины
Дисперсию генеральной совокупности су* нормально распределен
ной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее
2 оценки - выборочной дисперсии sx .
При числе степеней свободы / < 30 распределение выборочной дис
персии можно получить с помощью распределения Пирсона или у2- рас пределения. В этом случае доверительные двусторонние границы для ге неральной дисперсии определяются выражением
f ix |
< а 2 < f i x |
(5.48) |
|
|
|
Х\-р/2 |
Хр/2 |
|
Для односторонней доверительной оценки используются соответст венно квантили % 1-р и Х2р •Значения квантилей распределения Пирсона
приведены в приложении 2.
При числе степеней свободы / > 30 доверительные границы для ге
нерального стандарта определяются неравенством |
|
|
и 1-р12 < а . < sr + |
и р / 2 * |
(5.49) |
л/27 |
V 27 |
|
5.7. Проверка однородности результатов измерений
При выполнении измерений могут встретиться результаты, значи тельно отличающиеся от других аналогичных. Причиной отличий могут быть неаккуратность выполнения замеров, поломка приборов, действи тельное отклонение параметра от среднестатистического (например, при язвенной коррозии материала стенки аппарата) и т.п. Наличие грубой ошибки (или отклонения) в выборке значений случайной величины нару шает характер распределения и изменяет его параметры, т.е. нарушает од нородность наблюдений. Поэтому выявление грубых ошибок можно трак товать как проверку однородности наблюдений, т.е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки получены из одной и той же генеральной совокупности.
Имеется выборка JCI, JC2, , хп значений случайной величины X.
Пусть хтгх и хт\п соответственно максимально и минимально допустимые значения измерений выборки. Если какой-либо результат измерения х,- ле-
жит за пределами интервала ( x m jn ч- :стах), то он будет считаться не принадлежащим к данной выборке и должен быть исключен из последующих расчетов. Значения хтах и хтт определяются по формулам
(5.50)
Значения и для различных уровней значимости и степеней свободы приведены в приложении 3.
6.ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМ ЕНТА
6.1.Основные понятия и определения
Ранее уже приводились некоторые основные понятия и определения из теории планирования эксперимента, рассмотрим их более подробно.
Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и усло вий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения постав ленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее: минимизация общего числа опытов; одновременное варьирование всеми факторами, определяющими процесс, по специальным правилам - алго ритмам; использование математического аппарата, формализующего мно гие действия экспериментатора; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Целью планирования эксперимента является получение математиче ской модели объекта при минимальном количестве поставленных опытов. Под математической моделью в данном случае понимается уравнение свя зи между входными параметрами - факторами (*ь *2> —>*п) и выходными параметрами - параметрами оптимизации (уь у2, ...» ут\ В общем виде уравнение связи можно записать следующим образом: у = f{x\, х2,..., хп).
Задачи, для решения которых может быть использовано планирова ние эксперимента:
-поиск оптимальных условий ведения процесса;
-определение факторов, оказывающих наибольшее влияние на про
цесс;
-определение параметров теоретических моделей;
-исследование диаграмм состав-свойство и т.д.
Параметр оптимизации - это отклик (реакция) объекта на воздейст вие факторов. В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть: экономические; технико-экономические; техни ко-технологические и прочие. Множество значений, которые может при нимать параметр оптимизации, называется областью его определения.
Возможны два пути оптимизации исследуемого процесса.
Первый - из всех параметров оптимизации выбирается только один, самый важный (критерий), а остальные служат ограничениями.
Второй - построение обобщенного параметра оптимизации как не которой функции от множества исходных параметров.
Требования, предъявляемые к параметру оптимизации
Параметр оптимизации должен быть:
-количественным и выражаться одним числом;
-измеряемым, т.е. мы должны иметь возможность его измерять;
-однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному значению факторов должно соответствовать только одно, с точностью до ошибки измерения, значение параметра оптимизации;
-универсальным, т.е. способным всесторонне характеризовать объ ект. В частности, технологические параметры недостаточно универсальны, т.к. они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров;
-иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым. Фактором называется какой-либо исходный параметр процесса, вы
бранный исследователем для воздействия на объект и принимающий в хо де проведения эксперимента различные значения. Так же, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Фактор счита ется заданным, если вместе с его названием указана область его определе ния. Под областью определения фактора понимается совокупность всех его значений, которые он в принципе может принимать.
Факторы бывают качественные и количественные. Качественные факторы - это разные вещества, разные технологические способы, аппара ты, исполнители и т.п. Так как им не соответствует числовая шкала, для них строят условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда. Например, если в качестве уровней варьирования фактора выбрано месторождение сырья, то каждому месторождению присваивается порядковый номер и закрепля ется за ним. Номера месторождений и будут представлять условную по рядковую шкалу. Количественный фактор представляет собой переменную величину, которую можно оценивать количественно: измерять, взвеши
вать, титровать и т.п. Например, к количественным факторам можно отне сти температуру, расход потока, концентрацию вещества в потоке и т.п.
Требования, предъявляемые к факторам:
-управляемость. Это значит, что выбранное значение фактора мож но поддерживать постоянным в течение всего опыта, т.е. управлять им. Планировать эксперимент можно только в том случае, если все факторы управляемы. В противном случае эксперимент называется пассивным;
-операциональное^. Фактор является операциональным, если мож но указать последовательность действий (операций) с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Например, если фак тором является давление, то необходимо указать, в какой точке аппарата и
спомощью какого прибора оно должно измеряться и как оно должно ре гулироваться;
-точность. Точность фиксации факторов должна быть высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения фактора;
-однозначность. Фактор должен непосредственно воздействовать на объект, а не через другие факторы.
Требования к совокупности факторов:
-независимость. Ни один из факторов, задействованных в экспери менте, не должен зависеть от других факторов, т.е. должна быть возмож ность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Например, исследуя некоторую термодинамическую систему, нельзя одновременно изменять три таких фактора, как давление, объем и температура, т.к. в этом случае любой третий фактор будет всегда зависеть от двух других;
-совместимость. Это значит, что все комбинации задействованных факторов должны быть осуществимы и безопасны.
6.2. Выбор области проведения эксперимента
Выбор области проведения эксперимента можно условно разбить на два этапа (рис. 6.1): выбор общей области и выбор локальной подобласти.
Рис. 6.1. Выбор области проведения эксперимента
Задача первого этапа - установление возможных или целесообраз ных границ области проведения эксперимента. Задача второго этапа - ус тановление наиболее оптимальных границ области проведения экспери мента.
Выбор общей области
Выбрать общую область - это, значит, выбрать области определения факторов, т.е. установить их максимально и минимально возможные зна чения. Выбор области определения факторов производится на основе тща тельного анализа априорной информации (априорной называется инфор мация, полученная в предыдущих исследованиях, т.е. до начала экспери мента). При этом должны учитываться ограничения нескольких типов.
Первый тип - принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Напри мер, если фактор - температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.
Второй тип - ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдель ных компонентов, временем ведения процесса.
Третий тип - ограничения, накладываемые конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологи ей, организацией. Так, температура протекания процесса не должна быть выше температуры плавления металла, из которогоизготовлен аппарат, или выше рабочей температуры используемого катализатора.
Процедура выбора локальной подобласти включает выбор основного (нулевого) уровня и выбор интервалов варьирования факторов.
Выбор основного уровня
Основным уровнем называется точка, расположенная в центре ло кальной подобласти фактора, т.е. точка, расположенная в центре иссле дуемого диапазона изменения фактора. Выбор этой точки осуществляется на основании анализа априорной информации. Как правило, основной уровень располагают в области наилучших условий протекания экспери мента, если таковые известны. Последовательность определения основно го уровня можно представить в виде блок-схемы, приведенной на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Блок-схема принятия решения при выборе основного уровня
Выбор интервалов варьирования
После выбора основного уровня необходимо выбрать интервалы варьирования факторов (рис. 6.3). Интервалом варьирования факторов на зывается некоторое число, прибавление которого к основному уровню да ет верхний, а вычитание - нижний уровни фактора. Другими словами, ин тервал варьирования - это расстояние на координатной оси между основ ным и верхним или нижним уровнем.
( Основной уровень^ (Ошибка фиксации фактора^)
( Область определения фактора^)
Рис. 6.3. Выбор интервалов варьирования факторов
Верхний и нижний уровни варьирования представляют собой соот ветственно верхнюю и нижнюю границы локальной подобласти планиро вания эксперимента.
На выбор интервалов накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошиб ки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верх ний и нижний уровни окажутся неразличимы. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы граничные уровни оказались за пределами области определения. При выборе интервалов варьирования полезна следующая априорная информация: экспериментальная точность фиксации факторов; кривизна поверхности отклика и диапазон изменения параметра оптимизации. Часто эта информация бывает ориентировочной или даже ошибочной, но это единственная основа, на которой можно на чинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходит ся корректировать.
6.3. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)
При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбран ных для исследования уровнях. Если эксперимент проведен на 2 уровнях и при этом осуществлялись все возможные комбинации, то постановка опы тов по такому плану называется ПФЭ типа 2к Уровни факторов в этом случае представляют собой границы исследуемой области по соответст вующему технологическому параметру.
Например, изучается влияние на выход продукта 3 факторов: z\ -
температуры, в |
диапазоне |
100-200 |
°С; z*i - давления, в |
диапазоне |
|
2 -6 кгс/см2 и 2 з - |
среднего времени пребывания, в диапазоне |
10-20 мин |
|||
(табл. 6.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
Факторы их уровни и интервалы варьирования |
|
||||
Нижний |
Верхний |
Основной |
Интервал |
||
Факторы |
|
уровень |
уровень, ZQ |
варьирования, Az |
|
уровень |
|||||
z\ |
100 |
200 |
150 |
|
50 |
z2 |
2 |
6 |
4 |
|
2 |
z3 |
10 |
20 |
15 |
|
5 |
max , min |
„max |
„min |
(6.1) |
|
ZJ |
~~ZJ |
|
|
Azj = |
|
|
Для математической обработки результатов удобнее перейти к без размерной системе координат х \, х2, , хп путем следующего преобразо вания:
XJ = |
(6.2) |
|
|
В рассматриваемом примере к = 3. Число возможных комбинаций N |
из трех факторов на двух уровнях определяется как N = 2к = 23 = 8 . План ПФЭ в безразмерном виде с результатами эксперимента приведен в табл. 6.2, геометрическая интерпретация плана представлена на рис. 6.4.
|
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
|
|
|
Матрица планирования ПФЭ типа 23 |
|
|
||
№ |
|
Факторы |
|
|
Параметр |
|
|
|
|
оптимизации, % |
|||
опыта |
|
|
|
|||
|
х 2 |
*3 |
э |
|
||
|
* 0 |
*1 |
У |
|
||
1 |
+ 1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
|
2 |
+ 1 |
+1 |
-1 |
-1 |
6 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+ 1 |
-1 |
4 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+ 1 |
-1 |
8 |
|
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+ 1 |
1 0 |
|
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+ 1 |
18 |
|
7 |
+ 1 |
-1 |
+ 1 |
+ 1 |
8 |
|
8 |
+ 1 |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
12 |
|
|
В результате обработки данных эксперимента по такому плану по |
|||||
лучают уравнение регрессии вида |
|
|
|
|
||
|
|
у = Ь0 +Ь1хх+ Ь2х2 + Ъ3х3 . |
|
(6.3) |
||
|
Так как в уравнении регрессии присутствует коэффициент |
то в |
||||
матрицу планирования введен столбец JCQ, |
все значения которого равны + 1 . |
Рис. 6.4. План полного трехфакторного эксперимента
Свойства матрицы планирования:
|
|
N |
|
|
|
1) |
Z xuixji = ° |
UJ = o,i,...Д, |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
2) |
5 > у/= 0 , |
(6.4) |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
N |
, |
|
|
3) |
z |
4 = ;v ’ |
|
|
|
i=i |
|
|
где к - число независимых факторов, N - |
число опытов в матрице плани |
|||
рования, и и j |
- номер фактора. |
|
||
Первое |
свойство |
- равенство нулю |
скалярных произведений всех |
векторов-столбцов называется свойством ортогональности матрицы пла нирования. Это свойство существенно упрощает расчет коэффициентов регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений {ХТХ)
становится диагональной и ее диагональные элементы равны числу опы тов в матрице планирования N.
Коэффициенты уравнения регрессии можно определить по методу наименьших квадратов.
|
bo |
|
B = |
b\ |
|
= (XrX f l tfY . |
(6.5) |
bi h
Матрица моментов (ХГХ), соответствующая табл. 6.2, имеет вид
N 0 |
N |
|
N |
N |
2>о< |
/=1 |
|
H x 0ix 2i |
i=1 |
/=1 |
|
/=1 |
||
N |
N |
9 |
// |
N |
|
|
|
2>1,-x 0i /=1
N
T .x 2ix 0i
1=1
Н |
О |
1 4 |
2 > и * и |
I * i , % |
||
/=1 |
/ = |
1 |
/=] |
( 6.6) |
N |
|
О |
N |
|
|
|
|||
5>2/*1, |
1 |
4 |
H x 2ix 3i |
|
/=1 |
/=1 |
i= 1 |
||
N |
N |
|
* |
9 |
2 > з ;* п |
X x3ix2i |
1 |
4 |
|
1=1 |
1=1 |
/=1 |
|
С учетом свойств матрицы, приведенных ранее, получим
|
0 |
0 |
0 |
0 |
N |
0 |
0 |
£ х = |
|
N |
(6.7) |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
N |
Матрица, обратная матрице моментов, получается равной |
|||
1/W |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/7/ |
0 |
0 |
{)? Х )х= |
|
l/JV |
( 6 .8) |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1IN |
N |
1 |
* |
||
2>о/Л- |
||||
W .-=I |
||||
/=1 |
||||
N |
i |
* |
||
|
|
|||
Т |
. х и У 1 |
7 7 ,? ,* '^ ' |
||
/=1 |
||||
N |
—» В = (Лг7Л0_1Л’7У = |
1 |
(6.9) |
|
|
N |
|||
1 . Х 2 ,У 1 |
т т ! ^ / |
|||
/=1 |
^/=i |
|||
N |
|
l |
^ |
|
Т |
х а У , |
— 2 > з/ Л |
||
/=1 |
w»=i |
Следовательно, коэффициент уравнения регрессии bj определяется скалярным произведением столбца Y на соответствующий столбец X, де
ленным на число опытов в матрице планирования N. |
|
Ь ;= -^ Т .хл у( . |
(6.10) |
N i=| |
|
Пользуясь планом, представленным в табл. 6.2, определим коэффи циенты линейного уравнения регрессии (6.3).
Например, для определения коэффициента Ь\ при х\ необходимо получить сумму произведений:
* 1/ |
Ух |
|
*1 № |
-1 |
2 |
|
- 2 |
1 |
6 |
|
6 |
-1 |
4 |
|
- 4 |
1 |
8 |
|
8 |
-1 |
X |
|
- 1 0 |
10 |
|
||
1 |
18 |
|
18 |
-1 |
8 |
|
- 8 |
1 |
12 |
|
12 |
|
|
|
N |
|
|
|
2 > „ .у ,= 2 0 |
|
|
|
/=11 |
|
1 N |
20 |
= 2,5. |
|
А ,= ^ 2 > ИЛ = Х |
||
|
TV /= 1 |
б |
|
Аналогично получим |
Ь$ = 8,5; |
= -0 ,5 |
и bj = 3,5. |
Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с ко эффициентами взаимодействия
(6.11)
+ 623*2*3 + 6123*1*2*3,
то для определения недостающих коэффициентов парного и тройного взаимодействий необходимо расширить матрицу табл. 6 .2 до матрицы табл. 6.3.
Таблица 6.3
Матрица планирования ПФЭ типа 23 с учетом коэффициентов взаимодействия
№ |
|
|
|
Ф А К Т О Р Ы |
|
|
|
Параметр |
||
|
|
|
|
|
|
оптимизации, % |
||||
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
*3 |
|
*13 |
*23 |
*123 |
э |
У |
|
|
* 0 |
* 1 |
* 2 |
* 1 2 |
У |
|||||
1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
2 |
1 |
2 |
+1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
+ 1 |
6 |
6 |
3 |
+1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
+ 1 |
4 |
4 |
4 |
+ 1 |
+1 |
+ 1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
8 |
9 |
5 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
10 |
11 |
6 |
+1 |
+1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
18 |
16 |
7 |
+1 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
8 |
8 |
8 |
+ i |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
12 |
13 |
Столбцы с х\2 по JC123 получены путем перемножения соответствую
щих индексам столбцов. Например, столбец х\2 получен путем перемно жения столбца х 1 на столбец х2.
Определяются коэффициенты взаимодействия аналогично простым
коэффициентам по уравнению (6.10): Ь\2 = -0 ,5 ; Ь\3 = 0,25; Ь23 = 1,5;
6123 = 0 ,2 5 .
Если поставить параллельные опыты, можно определить дисперсию воспроизводимости 5в0С, проверить значимость коэффициентов и при на
личии степеней свободы - |
адекватность уравнения. |
Так как матрица |
спланированного эксперимента является |
диагональной, коэффициенты уравнения регрессии не коррелированы ме жду собой. Поэтому значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента, и исключение из уравнения регрессии незначимого коэффици ента не скажется на остальных коэффициентах. Диагональные элементы
матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнения рег рессии определяются с одинаковой точностью:
% = 7 Г <*•»>
Например, в центре плана поставлено дополнительно три парал лельных опыта т = 3 и получены следующие значения параметра оптими
зации у„: у]= 8 ; |
у\ = 9 ; у° = 8 ,8 . Тогда |
|
b S |
x ( y ° u - y ° f |
, |
y> = - l _ = 8i60, |
= — ------- -------= 0,28, |
SB0C= 0,53, sbj = -!=■ = 0,31. |
m |
m-\ |
J *JN |
Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента:
|
/о = 1 ^ |
о |
= |8,5|/0,31 |
= |
27;8. |
|
|
Аналогично для остальных: |
|
|
|
|
|
||
/1 = 8,2; |
/2 = U64; |
/3 |
= 13,46; |
/1 2 = 1,64; |
|
||
/13 = |
0,82; |
/2з |
= 4 ,9 ; /123 |
= |
0,82. |
|
|
Табличное значение критерия |
Стьюдента |
для уровня |
значимости |
||||
р = 0,05 и числа степеней свободы / = 2 (приложение 4) равно |
tp{f) = 4,3. |
||||||
Таким образом, коэффициенты |
/>2, ^12) |
|
и 6123 незначимы и их |
следует исключить из уравнения. После их исключения уравнение регрес сии примет вид
|
у = 8,5 |
+ 2,5xi + 3,5*з |
“ 1,5*2*3- |
Проверим адекватность полученного уравнения по критерию Фише- |
|||
ра: |
|
|
|
с 2 _ jM_________ _ _ _ 9 . |
17 _ с*2 / о2 |
||
°ост “ |
д г _ ^ |
_ 4 “ ’ |
°ост/ °вос » |
где Z, - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии, равное че тырем. Тогда F = 2/0,28 = 7,1. Критическое значение критерия Фишера для
р = 0,05; / i= 4 и / 2 = 2 равно F Kp = 19,3 (приложение 5). F < F Kp - урав нение адекватно.