Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од
..pdfНапример, при ε= 0,01 следует взять N = |
4 |
= 400 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 01 |
||
тогда при x = 401 получим |
|
f (x) − 3 |
|
= |
|
4 |
|
|
= |
|
4 |
|
|
< 0,01 ; |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
401 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при ε= 0,0001надо будет взять |
|
N = |
|
|
|
4 |
|
= 40 000 и тогда при |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0, 0001 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x = 40 001 будем иметь |
|
f (x) − 3 |
|
= |
|
4 |
|
|
= |
4 |
|
< 0, 0001. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
40 001 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 3. Найти односторонние пределы функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2x −1, |
|
x < 2 |
|
|
в точке x0 = 2. |
||||||||||||||||||||||||
|
f (x) = |
|
|
|
|
x ≥ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3x + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
x < 2 , |
то |
|
f (x) = −2x −1 ; |
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
lim (−2x −1) = −5 – предел слева (рис. 2.10). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→ −2 0 |
x ≥ 2 . |
|
|
|
|
|
|
f (x) = 3x + 2 ; |
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть |
Тогда |
|
следовательно, |
lim (3x + 2) = 8 – предел справа (см. рис. 2.10).
x→ +2 0
Рис. 2.10
61
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
|
|
Основные формулы |
|
|
Определения |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
и рисунки |
|
|
|
|
и замечания |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1. Символическая записьбес- |
Функция α( x) называется |
||||||||||||||||||||||
конечномалойфункции α( x) : |
бесконечно малой при x → |
x , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
lim α( x) = 0 |
|
(2.38) |
если |
lim α( x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малые функции |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б.м.ф.) часто называют беско- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нечно |
малыми |
величинами |
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначают греческими буква- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми α( x) , β( x) , γ( x ) и т.д. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2. Символическая |
запись |
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
определения бесконечно малой |
Функция α(x) называется |
||||||||||||||||||||||||
функции при x → |
x0 : |
|
|
бесконечно малой функцией при |
|||||||||||||||||||||
lim α( x) = 0 |
|
|
|
|
|
x → |
x0 , если для любого сколь |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
угодно малого числа ε > 0 , най- |
||||||||||||||||||||
x→ |
|
x0 |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
дется такое положительное чис- |
||||||||||||||
|
|
( >ε |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
δ>ε |
|
|
0 |
x , |
ло δ , зависящее от ε, что для |
||||||||||||||||
0 < |
|
x − x0 |
|
< δ |
|
α( x) |
|
< ε) (2.39) |
всех |
|
x ≠ x0 |
|
удовлетворяющих |
||||||||||||
|
|
|
|
неравенству |
|
x − x |
|
|
< δ |
|
|
выпол- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
няетсянеравенство |
|
|
α( x ) |
|
< ε . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
определяются |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м.ф. |
при |
x → |
∞ |
, |
x → + |
∞ , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → − ∞ , x → x+ 0 |
, x → x− 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малая функция |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть функция ограниченная. |
|
62
Свойства бесконечно малых функций
3. Если |
lim α( x) = 0 , |
|
|
Если две функции |
α( x) и |
||||||||
|
|
|
|
x→ x0 |
|
β( x) – бесконечно малые в точ- |
|||||||
lim β( x) = 0 , то |
|
||||||||||||
|
ке x0, то и сумма их бесконечно |
||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|||||||||
lim [α( x ) + β(x)] = 0 |
(2.40) |
малая в точке x0. |
|
|
|
||||||||
|
Замечание |
|
|
|
|||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
остается |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
свойство |
||||
|
|
|
|
|
|
|
справедливым для любого ко- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
нечного числа n слагаемых. |
||||||
4. Если |
lim α( x) = 0 , |
|
|
Если |
в |
точке x0 |
функция |
||||||
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
α( x) бесконечно малая, а функ- |
||||||
|
f ( x) |
|
≤ M , то |
|
|||||||||
|
|
|
ция f (x) |
ограничена в окрест- |
|||||||||
lim α( x) f (x) = 0 |
|
||||||||||||
(2.41) |
ности точки x0, то произведение |
||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
их |
f ( x) α( x) |
есть |
функция |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малая вточкеx0. |
||||||
5. Если C = const , |
|
|
Произведение числа |
C на |
|||||||||
|
lim α( x) = 0 , то |
|
бесконечно |
малую функцию |
|||||||||
|
x→ x0 |
|
|
|
|
в точке x0 есть функция беско- |
|||||||
|
lim C α( x) = 0 |
(2.42) |
нечно малая в точке x0. |
|
|
||||||||
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Если |
lim α( x) = 0 , |
|
|
Частное от деления функ- |
|||||||||
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
ции α( x) , |
бесконечно |
малой |
||||
|
lim |
f ( x) = A ≠ 0 , то |
|||||||||||
|
в |
точке x0, |
на функцию |
f (x) , |
|||||||||
|
x→ x0 |
α( x) |
|
|
имеющую предел в точке x0, от- |
||||||||
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||
|
lim |
f (x) |
(2.43) |
личный от нуля, |
есть |
функция |
|||||||
|
x→ x0 |
|
|
бесконечно малая вточкеx0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Если |
lim α( x) = 0 , |
|
|
Произведение двух |
беско- |
||||||||
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
нечно малых функций в точке x0 |
||||||
|
lim β( x) = 0 , то |
|
|||||||||||
|
|
есть функция бесконечно малая |
|||||||||||
|
x→ x0 |
|
|
|
|
в точке x0. |
|
|
|
|
|
||
|
lim α( x) β(x) = 0 |
(2.44) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Замечание 1 |
|
|
|
||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
Это справедливо для любо- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
го конечного числа множителей. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
|
|
|
Замечание 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Формулы (2.40)–(2.44) спра- |
|||||||||
|
|
ведливы |
для |
случаев: |
x → |
∞ , |
||||||
|
|
x → + ∞ , |
x → − |
∞ . |
|
|
|
|
||||
Связь между функцией, её пределом и бесконечно |
|
|||||||||||
|
малой функцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Если lim f ( x) = A , то |
|
Если |
функция |
|
f (x) |
при |
||||||
x→ x0 |
|
x → |
x0 имеет предел, |
равный A, |
||||||||
f ( x) = A + α( x ) |
(2.45) |
|||||||||||
то её можно представить как |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
сумму числа A и бесконечно ма- |
||||||||||
|
|
лойфункции α( x) при x → |
x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
9. Если f ( x) = A + α( x) , то |
|
Обратное утверждение: ес- |
||||||||||
lim f ( x) = A |
|
ли функцию f (x) |
можно пред- |
|||||||||
(2.46) |
ставить в виде суммы числа A |
|||||||||||
x→ x0 |
|
и |
бесконечно |
малой |
функции |
|||||||
|
|
α( x) при |
x → |
x |
, |
то число A |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
является |
|
пределом |
функции |
|||||||
|
|
f (x) при x → |
x0 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Утверждения (2.45) и (2.46) |
|||||||||
|
|
справедливы |
для |
случаев: |
||||||||
|
|
x → ∞ , x → − ∞ , x → + |
∞ . |
|
||||||||
10. Символическая |
запись |
|
Замечание |
|
|
|
|
|
||||
бесконечно большой функции |
|
Функция |
y = f ( x) , |
являю- |
||||||||
f (x) : |
|
щаяся при |
x |
→ |
x0 |
бесконечно |
||||||
lim f ( x) = ∞ |
(2.47) |
|||||||||||
большой |
величиной, |
не имеет |
||||||||||
x→ x0 |
|
|||||||||||
|
пределав обычном смысле. |
|
||||||||||
|
|
f (x) |
||||||||||
|
|
|
Говорят, что функция |
|||||||||
|
|
при x → |
x0 |
стремится к беско- |
||||||||
|
|
нечности или имеет своим пре- |
||||||||||
|
|
деломбесконечность. |
|
|
|
64
11. Символическая |
запись |
Определение (на «языке |
||||||||||||||||
определения |
|
бесконечно |
боль- |
M – δ ») |
|
|
|
|
|
|||||||||
шой функции при x → x0 : |
Функция y = f (x) называет- |
|||||||||||||||||
lim f ( x) = ∞ |
|
|
ся бесконечно большой (б.б.ф.) |
|||||||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
в точке x0, если для любого |
||||||||||
|
( |
>M |
|
0 |
δ(M> ) |
0, |
сколь |
угодно |
|
большого числа |
||||||||
x, 0< |
|
x− x0< |
δ |
|
M > 0 |
существует такое число |
||||||||||||
|
(2.48) |
δ , зависящее от M, что для |
||||||||||||||||
|
|
f ( x) |
|
> M ) |
|
всех x, удовлетворяющих усло- |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вию 0 < |
|
x − x0 |
|
< δ, выполняет- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся неравенство |
|
|
f ( x) |
|
> M . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подразумевается, что функ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция определена в некоторой ок- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рестности точки x0, за возмож- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным исключением самой этой |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На языке геометрии опреде- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ление бесконечно большой функ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции выглядит следующим обра- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зом: функция |
|
f (x) называется |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно большой в точке x0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если для любой горизонтальной |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полосы (−M ; M ) , сколь бы ши- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рокой она ни была, можно по- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
добрать такие две вертикальные |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямые x = x0 − δ и x = x0 + δ , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что между этими прямыми гра- |
||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 2.11 |
|
фик функции |
|
расположен вне |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
указаннойполосы(рис. 2.11). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иногда применяют обозна- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
65
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f ( x) = +∞ |
и |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f ( x) = −∞ . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти записи означают, что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
f (x) бесконечно боль- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шая в точке x0, причем в неко- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торой окрестности точки x0 либо |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
она положительна, либо соот- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветственно отрицательна. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всякая бесконечно большая |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция в окрестности точки x0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являетсянеограниченной. |
|
||||||||||
13. Символическая |
запись |
Определение (на «языке |
||||||||||||||||||
определения |
|
бесконечно |
боль- |
M − N ») |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
шой функции при x → ∞ |
: |
Функция y = f ( x) |
назы- |
|||||||||||||||||
|
|
lim f ( x) |
= ∞ |
|
вается |
бесконечно |
большой |
|||||||||||||
|
|
|
при x → |
|
∞ , если для любого |
|||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
0 N (M> ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
( |
>M |
|
0, |
сколь угодно большого числа |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
|
|
M > 0 найдется |
|
такое |
число |
||||||||
x, |
|
x> |
N |
|
|
> M ) |
(2.49) |
N > 0 , зависящее от M, что для |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всех x, удовлетворяющих ус- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ловию |
|
x |
|
> N , |
|
выполняется |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенство |
|
|
f (x) |
|
> M . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическая |
иллюстра- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция бесконечно большой функ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции, когда |
x → + |
|
∞ |
, показана |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на рис. 2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.12
66
Свойства бесконечно больших функций
|
|
|
14. Если |
lim |
f ( x) = ∞ |
, |
Сумма |
двух |
бесконечно |
||||||||
|
lim g ( x) = ∞ |
x→ x0 |
|
|
больших функций одинакового |
||||||||||||
|
, то |
|
|
знака в точке x0 есть бесконеч- |
|||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
но большая функция того же |
||||||
|
lim [ f ( x) + g ( x)] = ∞ |
(2.50) |
знака в точке x0. |
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Если lim |
f ( x) = ∞ |
, |
Сумма бесконечно большой |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
функции в точке x0 и функции |
||||||
|
g( x) |
|
≤ M , то |
|
|
ограниченной |
в |
окрестности |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
lim [ |
|
f ( x) + g ( x)] = ∞ |
(2.51) |
точки x0 есть бесконечно боль- |
||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
шая функция |
того же |
знака |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке x0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Если lim |
f ( x) = ∞ |
, |
Произведение |
двух |
беско- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
нечно больших функций в точ- |
|||||||
|
lim g ( x) = ∞ |
, |
|
|
ке x0 есть функция бесконечно |
||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
большая в точке x0. |
|
|
||||
то lim f ( x) g(x) = ∞ |
(2.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→ |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
17. Если |
lim |
f ( x) = +∞ , |
Произведение |
числа |
k на |
|||||||||
k > 0 , то |
|
x→ x0 |
|
|
бесконечно большую функцию |
||||||||||||
|
|
|
|
в точке x0 есть функция беско- |
|||||||||||||
|
lim k f ( x) = +∞ |
|
(2.53) |
нечно большая в точке x0. |
|
||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (2.50)–(2.53) спра- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ведливыидля случая x → ∞ . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь между бесконечно малой |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и бесконечно большой функциями |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
18. Если |
lim |
f ( x) = ∞ |
, то |
Если функция |
f (x) |
беско- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
нечно большая |
в |
точке |
x0, то |
|||
|
|
|
1 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
(2.54) |
функция |
|
1 |
|
бесконечно ма- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
f ( x) |
|
|
|||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
f |
( x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лая в точке x0. |
|
|
|
|||
|
|
|
19. Если |
lim α( x) = 0 , то |
Если функция α(x) |
беско- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
нечно малая в точке x0, не рав- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
lim |
1 |
= ∞ |
(2.55) |
ная нулю при |
x ≠ x0 , |
то функ- |
|||||
|
α( x) |
|
|
||||||||
x→ x0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ция |
|
|
бесконечно большая |
|||
|
|
|
|
α( x) |
|||||||
|
|
|
|
|
в точке x0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Формулы (2.54) и (2.55) спра- |
||||||
|
|
|
|
|
ведливы |
и |
для |
случаев: |
|||
|
|
|
|
|
x → x+ 0 , x → x− 0 , |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ , x → + ∞ , x → − ∞ . |
|
|||||
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|||
|
Задача 1. Доказать, что функция f (x) = 5x −15 при x → |
3 |
|||||||||
является бесконечно малой. |
|
|
|
|
|||||||
|
Решение |
f ( x) бесконечно малая, если |
lim f ( x) = 0 , |
|
|||||||
|
Функция |
т.е. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
lim (5x −15) = 0 . Согласно определению (формула 2.39) нам на-
x→ 3
до доказать, что для любого числа ε > 0 существует число δ(ε) ,
зависящее |
|
от |
|
ε , что из неравенства |
0 < |
|
x − 3 |
|
|
< δ |
следует |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f ( x) |
|
< ε. |
Другими словами, |
|
необходимо решить неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x −15 |
|
= 5 |
|
x − 3 |
|
< ε |
или |
|
x − 3 |
|
< ε . Если в качестве δ взять лю- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
бое число ≤ |
ε |
|
(т.е. |
δ≤ ε ), то из неравенства |
|
x − 3 |
|
< δ |
следует |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
справедливость неравенства |
|
f ( x) |
|
< ε. |
lim (5x −15) = 0 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Значит δ |
существует, следовательно, |
т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функция f (x) = 5x −15 при x → |
|
|
|
|
x→ 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 бесконечно малая. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задача 2. |
Доказать, что функция f (x) = |
sin x |
при |
x → |
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
является бесконечно малой.
68
Решение
Запишем функцию в виде
f ( x) = φ( x ) g ( x ) , где φ(x) = 1 , g(x) = sin x . x
Так как x → ∞ , то функция |
φ(x) = |
1 |
|
бесконечно малая |
|||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функция (формула 2.54); действительно, lim |
1 |
= 0 . |
|||||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||
Функция g(x) = sin x ограничена: |
|
|
|
||||||
|
sin x |
|
≤ 1, |
x . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Следовательно, заданная функция f (x) представляет собой произведение ограниченной функции g(x) на бесконечно малую φ(x) (формула 2.41)
|
Значит, f (x) бесконечно малая при x → ∞ , т.е. |
lim sin x = 0 . |
|
x→∞ |
x |
Задача 3. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, вычислить:
а) |
lim 3x cos 2x ; |
|||
|
x→−∞ |
|
|
|
б) |
lim x log4 x ; |
|||
|
x→+∞ |
|
|
|
в) |
lim (2x |
+ 5x ) ; |
||
|
x→−∞ |
(−8x + log 1 x) ; |
||
г) |
lim |
|||
|
x→+∞ |
|
2 |
|
д) |
lim ( x2 |
+ arctg x) ; |
||
|
x→+∞ |
|
|
|
е) |
lim |
log1 |
x |
|
3 |
|
. |
||
x |
|
|||
|
x→+ 0 |
|
|
69
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Из школьного курса известно, |
что 3x > 0 возрастающая. |
|||||||||
И при x → |
–∞ |
3x → |
0 , значит, |
lim 3x = 0 |
, следовательно, 3x – |
|||||
бесконечно малая функция. |
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция |
cos 2x |
ограничена, так как |
|
|
cos 2x |
|
≤ 1 . Тогда по |
|||
|
|
|||||||||
формуле (2.41). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim 3x cos 2x = 0 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
б) При |
x → +∞ |
функция |
log4 x |
бесконечно большая (см. |
графики элементарных функций – глава 1, §3, рис. 1.26), т.е.
lim log4 x = +∞ . |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле (2.52) |
|
|
|
|
||
|
|
lim x log4 x = +∞ . |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
в) Функция 2x |
> 0 возрастающая. И при x → |
–∞ |
2x → |
0 , |
||
значит, |
lim 2x = 0 |
, следовательно, |
2x – бесконечно малая |
|||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
функция, |
|
|
|
|
|
|
5x |
– бесконечно малая функция (доказывается аналогично). |
|||||
Тогда по формуле (2.40) функция (2x + 5x ) |
при |
x → |
–∞ |
|||
бесконечно малая, т.е. lim (2x + 5x ) = 0 . |
|
|
|
|||
|
|
x→−∞ |
lim (−8x) = −∞ . |
|
|
|
г) |
Согласно формуле (2.53) |
Функция |
||||
log 1 x при x → +∞ |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
– бесконечно большая (см. графики элемен- |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
тарных функций – глава 1, §3, рис. 1.26), т.е. lim log 1 x = −∞ . |
||||||
|
|
|
x→+∞ |
2 |
|
|
Тогда по формуле (2.50) получаем, что сумма двух беско- |
нечно больших функций одинакового знака есть функция бес- |
|||||
конечно большая того же знака, т.е. |
lim (−8x + log1 x) = −∞ . |
||||
|
|
|
|
x→+∞ |
2 |
д) |
При |
x → +∞ |
функция x2 |
бесконечно большая, т.е. |
|
lim x2 |
= +∞ |
(формула 2.52, так как |
x2 = x x ). |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
70