Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од
..pdfРис. 4.38
Знаки y′′ показаны на схеме (рис. 4.38).
Поэтому в интервале (−∞ −; 2) кривая выпукла, а в интервале (−2; +∞ ) она вогнута.
Не имея точек перегиба, эта кривая меняет направление выпуклости при переходе x через точку разрыва x = −2 .
Задача 2. Выполнить эскиз графика функции y = f ( x) на интервале (a;b) , если y > 0 , y′ < 0 , y′′ > 0 .
Решение
Так как y′ < 0 , то функция убывает на интервале (a;b). Поскольку y′′ > 0 , то кривая вогнута на интервале (a;b). Эскиз графика представлен на рис. 4.39.
Рис. 4.39
Задача 3. По эскизу графика функции y = f ( x) на интервале (a;b) сделать вывод о знаках y , y′ и y′′ .
221
Рис. 4.40
Так как функция возрастает на интервале (a;b) , то y′ > 0 . Поскольку кривая выпукла на интервале (a;b) , то y′′ < 0 . Кроме этого y < 0 для любого x (a;b) , так как график функции y = f ( x) расположен нижеоси OX наинтервале (a;b) (рис. 4.40).
§ 6. Асимптоты
Основные формулы |
Определения |
и рисунки |
и замечания |
1. |
Прямая называется асимп- |
|
тотой кривой, если расстояние d |
|
от переменной точки M кривой |
|
до этой прямой при удалении |
|
точки M в бесконечность стре- |
|
мится кнулю(рис. 4.41 и4.42). |
Рис. 4.41
222
Рис. 4.42
Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные
2. |
x = x0 |
(4.21) |
|
Следует запомнить: |
x = x0 |
|||
– |
уравнение |
вертикальной |
вертикальная асимптота |
|||||
асимптоты кривой y = f ( x) . |
существует только тогда, когда |
|||||||
|
|
|
x = x0 |
– точка разрыва второго |
||||
|
|
|
рода функции |
y = f ( x) , |
т.е. ес- |
|||
|
|
|
ли хотя бы один из односторон- |
|||||
|
|
|
них |
|
пределов |
lim |
f ( x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
lim |
f ( x) равенбесконечности. |
||||
|
|
|
x→ x+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Замечание 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Взаимное |
расположение |
|||
|
|
|
бесконечной |
ветви |
кривой и |
|||
|
|
|
её |
вертикальной |
асимптоты |
|||
|
Рис. 4.43 |
x = x0 |
обнаруживается |
иссле- |
||||
|
дованием знака бесконечности |
|||||||
|
|
|
(±∞ |
) , |
к которой |
стремится |
||
|
|
|
f ( x) , когда |
x стремится к x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
слева или справа. Это ясно из |
|||||
|
|
|
рис. 4.43–4.46, где показаны |
|||||
|
|
|
возможные случаи. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
223
Рис. 4.44
Рис. 4.45
Рис. 4.46
224