m33255_1
.doc1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Двойным интегралом от непрерывной функции f(x,y), распространенным на ограниченную область D плоскости x0y, называется предел двумерной интегральной суммы
при max и max , где точки ( , ) принадлежат области D.
Пусть область D определяется неравенствами
,
причем каждая из непрерывных кривых пересекается с прямой, параллельной оси y, только в одной точке.
y
y=y2(x)
D
y=y1(x)
о x=a x=b x
Рис. 1
В этом случае справедлива формула для вычисления двойного интеграла
, (1)
где при вычислении внутреннего интеграла величину x полагают постоянной.
Если же область D определяется неравенствами
,
причем каждая из непрерывных кривых пересекается с прямой, параллельной оси x, только в одной точке, то двойной интеграл можно вычислить по другой формуле.
В этом случае область D имеет другой стандартный вид
y y=l
D
y=h
x=x1(y) x=x2(y)
о x
Рис. 2
Справедлива другая формула для вычисления двойного интеграла
, (2)
где при вычислении внутреннего интеграла величину y полагают постоянной.
Типовые примеры.
1. Вычислить двойной интеграл
.
Решение. Сначала вычисляем внутренний интеграл, где y является переменной величиной, а x постоянной
= - + = =
= .
Далее вычисляем внешний интеграл, т. е. интегрируем полученный результат по переменной x
= = .
Ответ: .
2. Вычислить двойной интеграл
,
если область D ограничена осями координат и прямой y=1-x.
Решение. Строим область интегрирования D.
y
A(0,1)
x
O B(1,0)
Рис. 3
По формуле (1) имеем
Пределы внешнего интеграла, как правило, всегда постоянны. Это значения абсциссы x крайней левой и крайней правой точек области D
0 ≤ x ≤ 1.
Пределы внутреннего интеграла по y найдем из уравнений линий, ограничивающих область D снизу и сверху
OB: y=0; AB: y=1-x.
Сначала вычислим внутренний интеграл по переменной y , считая x постоянной.
=
= =
= .
Теперь вычислим внешний интеграл по переменной x
= =
= .
Задание 1. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена линиями, указанными в таблице.
№ |
Интеграл
|
Область D |
Ответы |
1 |
|
x=0, y=0, x+y=3 |
9 |
2 |
|
x=1, x=2, y=x, y=2x |
9,3 |
3 |
|
y= , y= . |
|
4 |
|
x=0, y=0, x+y=1 |
|
5 |
|
x=1, y=0, y=x |
|
6 |
|
y=x, y= , x=2 |
|
7 |
|
y=x, y= , x=1, x=2 |
0,9 |
8 |
|
y=x, y= . |
0,1 |
9 |
|
y=x, y= , x=1, x=2 |
-4 |
10 |
|
y=x, y= , x>0 |
|
11 |
|
xy=1, y= , x=2 |
|
12 |
|
y=2- , y=2x-1 |
4 |
13 |
|
x=0, y=0, x+y=1 |
|
14 |
|
x=1, y=0, y=x |
2 |
15 |
|
x=0, y=0, y=x-3 |
|
16 |
|
x=0, y=0, x=1, y=2 |
- |
17 |
|
y=x, y=2x, x=2, x=4.
|
9 |
18 |
|
x=0, x=lny, y=1, y=2 |
|
19 |
|
x=-1, x=1, y=-2, y=2 |
8 |
20 |
|
y= , y=2 |
|
21 |
|
x=0, y=0, y=2, x=3 |
36 |
22 |
|
x=0, y=0, y=x+1 |
2 |
23 |
|
x=0, y=0, y=x+2 |
- |
24 |
|
x=0, y=0, 6x+3y=12 |
|
25 |
|
=x, =y |
|
26 |
|
y=x, y= . |
0,1 |
27 |
|
x=0, y=0, y=2, x=3 |
36 |
28 |
|
x=1, y=0, y=x |
2 |
29 |
|
x=0, y=0, 6x+3y=12 |
14 |
30 |
|
y=x, y= . |
0,1 |