m33255_4
.doc4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу – плоскостью z=0 и с боков – цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости x0y область D, равен
.
Типовой пример. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом , плоскостями x=1,y=2 и координатными плоскостями.
Решение. Сначала построим заданное тело в системе координат Oxyz
z E
z=3x2+y2
D
F
y
O C
A B
x
Рис. 6
В данном случае область интегрирования D (основание тела) есть прямоугольник ОАВС.
y
C(0,2) ,2)
D
х
O(0,0) A(1,2)
Рис. 7
Очевидно, что область D задана неравенствами 0x1, 0y2. Следовательно, используя формулу для вычисления объема цилиндрического бруса через двойной интеграл , получим
(куб. ед.).
Задание 4. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Cделать схематичный чертеж в системе координат Oxyz.
№ |
Уравнение поверхности (сверху) |
Уравнения поверхностей (сбоку и снизу) |
Ответы |
1 |
z=x2+y2+1, |
x+y-3=0, x=0, y=0, z=0.
|
18 |
2 |
z=x2+y2, |
x+y=4,
x=0, y=0, z=0 |
|
3 |
z=6-x-y, |
2x+y=4,
x=0, y=0, z=0 |
16 |
4 |
x+y+z=4, |
y=x2, y=1, z=0 |
|
5 |
x+y+z=2 |
3x+y=2, y=0
3x+2y=4, z=0 |
|
6 |
z=6-y |
y=x2, y=4,
z=0, (y4). |
|
7 |
z=x2+y2 |
y=x, y=2x,
x=2, z=0 |
|
8 |
z=x+y+2 |
y=2x, x=3,
x=0, y=0, z=0 |
54
|
9 |
x+y+z=1 |
x=0, y=0, z=0 |
|
10 |
|
x=0, y=0, z=0 |
|
11 |
z=3x |
y=1+x2, y=5,
z=0 (x,y,z≥0). |
12 |
12 |
x+2y+z=4 |
x=2y2,
y=0, z=0 |
|
13 |
z= 4-x2 |
2x+y=4,
x=0, y=0, z=0 |
|
14 |
z=4-y2 |
, z=0 |
|
15 |
x+y+z=6 |
3x+y=6,
-3x+2y=12, y=0, z=0. |
84
|
16 |
z=x2+y2+1 |
x=4, y=4,
x=0, y=0 |
|
17 |
z=6-x-y |
2x+y=4,
x=0, y=0, z=0 |
16
|
18 |
z=2x |
,x=2,
y=0, z=0. |
4 |
19 |
z=y2+2 |
x=3, y=2,
x=0, y=0, z=0 |
20 |
20 |
, |
x=0, y=0, z=0 |
4 |
21 |
z=9-y2 |
y=x, y=3,
x=0, z=0 |
|
22 |
x+y+z=4 |
y=x2, y=1,
z=0 |
|
23 |
z=x2+1 |
4x+3y-12=0,
x=0, y=0, z=0 |
15 |
24 |
x+2y+z=4 |
x=2y2,
z=0, y=0 |
|
25 |
z=8-2x2-4y |
x+2y=2,
x=0, y=0, z=0 |
|
26 |
z=x2+y2+1, |
x+y-3=0,
x=0, y=0, z=0. |
18 |
27 |
z=x2+y2, |
x+y=4,
x=0, y=0, z=0 |
|
28 |
z=6-x-y, |
2x+y=4,
x=0, y=0, z=0 |
16 |
29 |
x+y+z=4, |
y=x2, y=1, z=0 |
|
30 |
x+y+z=2 |
3x+y=2, y=0
3x+2y=4, z=0 |
|