656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_
.pdfФедеральное агентство связи
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)
Д. В. Лыткина
Т. В. Храмова
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Учебное пособие
Новосибирск
2016
УДК 512
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензенты: д.ф.-м.н. Мазуров В.Д.
д.ф.-м.н. Судоплатов С.В.
Лыткина Д. В., Храмова Т. В. Алгебраические структуры : Учебное пособие / Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск, 2016. – 108 с.
Пособие предназначено для использования в учебном процессе преподавателями и студентами высших учебных заведений при изучении математики в соответствии с ФГОС по направлениям подготовки бакалавров 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика».
В авторской редакции
© Лыткина Д. В., Храмова Т. В., 2016
© Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2016
2
Оглавление
1. |
Элементы теории множеств............................................................................................. |
4 |
||
2. |
Алгебраические системы................................................................................................... |
8 |
||
3. |
Циклические группы. Группа подстановок............................................................... |
12 |
||
4. |
Кольца вычетов. Поля Галуа. Кольцо квадратных матриц................................... |
19 |
||
5. |
Евклидовы кольца. Кольцо многочленов над полем.............................................. |
26 |
||
6. |
Линейное пространство. Линейная зависимость векторов................................... |
30 |
||
7. |
Базис и размерность линейного пространства.......................................................... |
35 |
||
8. |
Переход в линейном пространстве от базиса к базису........................................... |
41 |
||
9. |
Евклидовы пространства. Ортонормированный базис.......................................... |
46 |
||
10. |
Линейные операторы. .................................................................................................... |
53 |
||
11. |
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора........... |
58 |
||
12. |
Жорданова форма матрицы линейного оператора. Канонический базис....... |
65 |
||
13. |
Самосопряженные операторы. Ортогональные операторы. Полярное |
|||
разложение матрицы линейного оператора................................................................... |
71 |
|||
14. |
Билинейная форма. Квадратичная форма................................................................ |
76 |
||
15. |
Кривые второго порядка............................................................................................... |
80 |
||
16. |
Поверхности второго порядка..................................................................................... |
87 |
||
Контрольная работа 1. Циклические группы................................................................. |
90 |
|||
Контрольная работа 2. Кольцо квадратных матриц................................................... |
92 |
|||
Контрольная работа 3. |
Кольцо многочленов над полем........................................... |
94 |
||
Контрольная работа 4. |
Линейное пространство. Ортонормированный базис.... |
95 |
||
Контрольная работа 5. |
Линейные операторы............................................................... |
96 |
||
Контрольная работа 6. |
Линейные операторы. Переход к другому базису.......... |
97 |
||
Контрольная работа 7. Собственные значения и собственные .............................. |
98 |
|||
векторы линейного оператора............................................................................................ |
98 |
|||
Контрольная работа 8. |
Кривые второго порядка....................................................... |
100 |
||
Ответы к задачам ........................................................................................................... |
|
101 |
||
Литература ........................................................................................................... |
|
107 |
3
1. Элементы теории множеств
Множество – это совокупность различимых элементов. Для обозначения того факта, что элемент x принадлежит (не принадлежит) множеству M , будем использовать обозначение x M (x M ). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается как .
В дальнейшем для компактности записей будем использовать кванторы, а именно:
«» – квантор всеобщности, читается как «для любого», «каждый»;
«» – квантор существования, читается как «существует», «найдется».
Кроме того, будем использовать общепринятые обозначения:
« : » или « | » – «такой, что»;
«» – «следовательно», «значит»;
«» – «равносильно», «тогда и только тогда».
Например, запись
x y : y x
читается как «для любого действительного числа x найдется действительное число y, такое, что y меньше x».
Запись M x|P(x) читается как «множество M состоит из элементов x, для которых выполняется условие P(x)».
Если все элементы множества A являются элементами множества B, то
A называется подмножеством множества B (A включено в B):
x A x B |
A B. |
Знак включения может быть строгим:
x A x B и y B:у A |
A B. |
Множества равны, если они включены друг в друга:
A B и B A A B.
Декартово произведение множеств A1 A2 ... An состоит из
упорядоченных n-ок, в которых i-й элемент принадлежит множеству Ai, i 1, n, n (запись i 1,n означает, что i 1,2,...,n):
A1 A2 ... An a1,a2,...,an |ai Ai,i 1,n .
Частный случай декартова произведения – декартова степень множества:
An a1,a2,...,an |ai A,i 1,n
4
Любое подмножество R декартова произведения A B называется отношением на множествах A и B. Если пара (a,b) принадлежит отношению, то будем говорить, что aиb соответствуют друг другу.
Отношение на множествах |
A и B, состоящее |
только из пар, в которых |
||
каждому |
элементу множества |
A соответствует |
единственный |
элемент |
множества |
B, называется функцией. Если при |
этом каждому |
элементу |
множества В соответствует единственный элемент из А, то функция называется
взаимно |
однозначным отображением |
или |
биекцией. |
Для |
обозначения |
функции |
f A B и принадлежности |
(a,b) f |
традиционно |
используются |
|
записи |
|
|
|
|
|
|
f :A B, |
f (a) b. |
|
|
|
Функция f :Mn M называется n-арной алгебраической операцией |
|||||
на множестве M . Частными случаями |
являются унарная |
алгебраическая |
|||
операция f :M M и бинарная алгебраическая операция |
f :M2 M . |
Бинарные алгебраические операции могут обладать (или не обладать) следующими свойствами:
ассоциативность операции :
x,y,z M x (y z) (x y) z;
коммутативность операции :
x,y M x y y x;
дистрибутивность операции относительно операции
слева: x,y,z M x (y z) x y x z ,
справа: x,y,z M (y z) x y x z x .
Пример. Рассмотрим алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления на множестве действительных чисел .
Сложение и умножение ассоциативны:
x (y z) (x y) z , x (y z) (x y) z ,
авычитание и деление свойством ассоциативности не обладают:
x(y z) x y z (x y) z (x y) z,
x:(y:z) x zy (x z): y,
5
(x:y):z xy 1z x:(y z).
Кроме того, легко проверить, что сложение и умножение коммутативны, а вычитание и деление – нет.
Дистрибутивность имеет место для следующих алгебраических операций:
умножение относительно сложения и слева, и справа:
x (y z) (x y) (x z), (x y) z (x z) (y z);
умножение относительно вычитания и слева, и справа:
x (y z) (x y) (x z),
(x y) z (x z) (y z);
деление относительно сложения справа:
(x y):z x z y xz yz (x:z) (y:z);
деление относительно вычитания справа:
(x y):z x z y xz yz (x:z) (y:z).
Деление относительно сложения (или вычитания) не обладает свойством дистрибутивности слева:
x:(y z) yx z xy xz ,
(например, 4:(1 4) 144 0,8, а (4:1) (4:4) 4 1 5).
Сложение и вычитание, как и умножение и деление, не обладают свойством дистрибутивности относительно друг друга ни справа, ни слева. █
Определим основные операции над множествами:
дополнение A множества A – это все элементы, не принадлежащие A:
A x|x A ;
объединение A B множеств состоит из элементов, принадлежащих A или B:
A B x| x Aили x B ;
пересечение A B множеств состоит из элементов, принадлежащих и A, и B:
A B x|x Aи x B ;
6
разность A\B множеств состоит из элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B:
A\B x|x Aи x B .
Объединение и пересечение можно рассматривать и в n-мерном случае для любого конечного числа множеств:
n
Ai A1 A2 ... An x| i:1 i n x Ai ,
i1
n |
. |
Ai A1 A2 ... An x| i:1 i n x Ai |
|
i 1 |
|
7
2. Алгебраические системы
Алгебраическая система – это множество с определенными на нем алгебраическими операциями:
M, , |
,..., |
|
, , где :Mni M, |
i |
|
, |
n . |
m |
1,m |
||||||
1 2 |
|
i |
|
|
|
i |
Замечание. Множество М алгебраической системы M, 1, 2,..., m,
называется основным множеством или носителем. Далее под элементом какой-либо системы будем подразумевать элемент основного множества этой системы. Основное множество может быть как конечным, так и бесконечным. В зависимости от этого и алгебраическую систему называют конечной или бесконечной.
Рассмотрим основные типы алгебраических систем.
Полугруппа – это алгебраическая система M, с одной ассоциативной
алгебраической операцией.
Моноид – это полугруппа M, , содержащая единичный
(нейтральный) относительно алгебраической операции элемент e:
e M : x M e x x e x.
Группа – это моноид M, , в котором для каждого элемента найдется
обратный элемент относительно алгебраической операции:
x M x 1 M :x x 1 x 1 x e.
Замечание. Группа с алгебраической операцией сложения M,
называется аддитивной группой, а ее нейтральный элемент – нулем. Обратный элемент в аддитивной группе принято называть противоположным. Группа с алгебраической операцией умножения M, называется мультипликативной
группой.
Подгруппа группы M, – это группа M', , где M' M .
Абелева группа – это группа с коммутативной операцией.
Кольцо – это алгебраическая система M, , с двумя алгебраическими
операциями (называемыми соответственно сложением и умножением, хотя они могут не совпадать с привычными операциями), такая, что M, – абелева
группа и операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.
Ассоциативное кольцо – это кольцо, в котором операция умножения ассоциативна.
Коммутативное кольцо – это кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
8
Кольцо с единицей – это кольцо с нейтральным элементом относительно операции умножения (нейтральный элемент по умножению будем обозначать символом 1).
Поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (имеет обратный по умножению).
Сформулируем полный список аксиом поля M, , :
1) x y y x, x,y M |
(коммутативность сложения); |
2) x (y z) (x y) z, |
x,y,z M (ассоциативность сложения); |
3)0 M : x M x 0 0 x x (существование нуля);
4)x M ( x) M :x ( x) ( x) x 0 (существование противоположного);
5) |
x y y x, x,y M (коммутативность умножения); |
6) |
x (y z) (x y) z, x,y,z M (ассоциативность умножения); |
7)1 M : x M x 1 1 x x (существование единицы);
8)x M \{0} x 1 M :x x 1 x 1 x 1 (существование обратного);
9) x (y z) x y x z, |
x,y,z M / |
(y z) x y x z x, |
x,y,z M |
(дистрибутивность умножения относительно сложения слева/справа).
Пример. Доказать, что множество чисел M a b3 a,b является
полем относительно операций обычного сложения и умножения.
Решение. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций, очевидно, следует из того, что элементы множества М – действительные числа. Необходимо убедиться, что результат действия операций, нуль, единица, противоположный элемент и обратный элемент являются числами из основного множества М.
Результат сложения является элементом М:
a1 b1 |
3 |
a2 b2 |
3 |
a1 a2 b1 b2 |
3, |
a1 a2 , b1 b2 . |
|
|
|
|
|
|
a b3 M
Результат умножения является элементом М:
9
|
|
a1 b1 |
|
a2 b2 |
|
|
|
|
a2 b2 |
|
|
|
a1 b1 |
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
a a 3bb |
|
|
a b ba |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3, . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a a 3bb |
, a b ba |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нуль является элементом М: 0 0 |
|
|
M, |
|
0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Единица является элементом М: 1 1 0 |
|
M, |
1,0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
У каждого элемента М есть противоположный в М: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
M, то a b |
|
|
a b |
|
M, |
a,b a, b . |
|||||||||||||||||||||
если a b |
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
Укаждого элемента М, кроме нуля, есть обратный в М:
a b3 M, (a,b) (0,0)
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
a b |
3 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||
a b 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
a b 3 |
a |
3b |
a |
3b |
a |
3b |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Выражение a2 3b2 |
равно нулю только при |
a |
|
|
b. |
|
Но это противоречит |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
условию a,b . Следовательно, |
|
|
|
|
a |
|
|
|
, |
|
|
b |
, если a и b не равны 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
a2 3b2 |
|
a2 |
3b2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
одновременно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
█ |
Упражнения и задачи
2.1.Доказать, что единичный элемент в группе только один.
2.2.Доказать, что обратный элемент единствен для любого элемента группы.
2.3.Доказать, что в кольце при умножении на нуль всегда получается нуль.
Делителями нуля называются ненулевые элементы системы, произведение которых равно нулю.
2.4.Доказать, что если a 0 и а не является делителем нуля в кольце, то из равенства a b a c следует, что b c.
2.5.Доказать, что в поле нет делителей нуля.
10