656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_
.pdf8. Переход в линейном пространстве от базиса к базису
Матрица перехода от базиса B e1,e2,...,en к базису B' e'1,e'2 ,...,en' –
это матрица TB B' , при умножении на которую слева столбца координат любого вектора в базисе B получаем столбец координат этого вектора в базисе
B' .
Имеют место следующие равенства:
1) TB B' e1 B' e2 B' en B' (столбцы матрицы перехода к базису B'
равны столбцам координат векторов базиса B в базисе B' );
2)TB B' x B x B' ;
3)x B TB B' T x B';
4)TB' B e'1 B e'n B ;
5)TB B' TB' B 1.
1 0 0
Пример 1. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1
0 1 1
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
к базису B' |
|
, |
|
, |
. |
|||
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
Решение. В условии задачи координаты векторов базиса В' даны в базисе В, поэтому можно сразу записать матрицу перехода к В' от В, столбцы которой равны векторам В':
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
T |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
B' B |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Матрицу перехода к В от В' найдем как обратную к TB' B. Используем метод элементарных преобразований строк матрицы (ai – i-я строка матрицы):
41
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
1 0 0 |
|
|
|
|
|
1 0 |
|
1 |
0 1 0 |
|
|
||||||||
1 |
0 1 0 |
|
|
a a |
|
0 1 |
|
1 |
1 0 0 |
|
a a |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
0 |
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
0 |
0 0 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
1 1 |
|
|
1 0 0 |
|
a a |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
1 1 |
1 0 0 |
|
a3:( 2) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 2 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
a a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
0 1 1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
a a |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1/2 |
1/2 |
|
|
|
|
||||
|
|
1/2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
1/2 |
|
1/2 |
1/2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
1/2 |
|
1/2 |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
1/2 |
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
1/2 |
1/2 |
|
||||
|
|
T |
|
|
|
|
1/2 |
1/2 |
1/2 |
|
█ |
|||
|
|
B B' |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
1/2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
1 1 0
Пример 2. Найти матрицу перехода от базиса B 1 , 2 , 11 3 2
0 1 1
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
к базису B' |
|
, |
|
, |
. |
|||
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
42
Решение. В условии задачи координаты векторов обоих базисов В и В'
1 0 0
даны в базисе Bo 0 , 1 , 0 , поэтому можно сразу записать матрицы
0 0 1
перехода от В и В' к Bo.
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
||
T |
o |
1 |
2 |
1 |
, |
|||
B B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
||
T |
|
o |
|
1 |
0 |
1 |
. |
|
B' B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Имеет место равенство TB B' |
x |
B |
x |
B' |
. Следовательно, |
|||||||||
|
TB B' TBo B |
x |
Bo |
TBo B' |
x |
Bo . |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
B |
|
|
x |
B' |
||||||
Сокращая |
последний сомножитель и |
умножая обе части равенства на |
||||||||||||
TBo B 1 |
TB Bo , получим: |
|
|
|
|
|
|
TB B'TBo B x Bo TBo B' x Bo ,
TB B' TBo B'TB Bo .
Матрица перехода TBo B' найдена в примере 1:
|
|
|
|
|
|
1/2 |
1/2 |
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
TBo B' |
|
1/2 |
1/2 |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
1/2 |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
1/2 |
1/2 1 |
1 |
0 |
|
1/2 |
2 |
3/2 |
|
|||
T |
T o |
T |
o |
|
1/2 |
|
1/2 |
1/2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
1/2 |
1 |
1/2 |
. █ |
B B' |
B |
B' B B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
1/2 |
1/2 |
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1/2 |
1/2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения и задачи
8.1.Доказать формулы 1)-5).
1 0 0
8.2. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1
1 2 0
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
к базису B' |
|
, |
|
, |
. |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
1 0 0
8.3. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1
0 3 1
|
0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
к базису B' |
|
, |
|
, |
. |
|||
|
2 |
|
6 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
1 0 0 0
8.4.Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 0 , 0
0 0 1 0
0 0 0 1
|
|
|
0 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к базису B' |
|
|
, |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
||||||
8.5. Найти матрицу перехода от базиса |
e |
|
|
2 |
|
, |
e |
|
|
3 |
|
, |
e |
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к базису |
e |
' |
|
1 |
|
, |
e |
' |
|
2 |
, |
e |
' |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.6.Найти матрицу перехода от базиса
44
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e |
1 , |
e |
|
2 |
, |
e |
|
1 |
, |
e |
|
3 |
|
||||
1 |
1 2 |
1 3 |
2 4 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||
к базису |
e |
' |
, |
e |
' |
, |
e |
' |
, |
e |
' |
. |
|||||
1 |
3 2 |
5 3 |
5 4 |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.7.Найти матрицу перехода от базиса {1,x,x2,...,xn } к базису
1, x a , x a 2 ,..., x a n .
8.8.Выяснить, как изменится матрица перехода от базиса B к B' , если а) в базисе B поменять местами два вектора?
б) в базисе B' поменять местами два вектора?
в) записать векторы B и B' в обратном порядке?
45
9. Евклидовы пространства. Ортонормированный базис
|
Евклидово пространство – это линейное пространство U над полем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
M, , , в |
|
котором |
определена функция скалярного произведения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
():U2 U , такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1) |
x |
|
y |
|
y |
|
|
x |
, |
|
|
|
|
x |
, |
y |
U ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2) |
x |
|
y |
|
z |
( |
x |
|
z |
) ( |
y |
|
z |
), |
|
x |
, |
y |
, |
z |
U, |
, F ; |
||||||||||||||||||||
|
3) |
|
x |
U |
|
|
|
x |
|
x |
0, |
|
|
причем |
x |
|
x |
0 |
x |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Два вектора x,y U называются ортогональными, если x y 0.
Длина вектора определяется как действительное число, равное квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя:
x x x .
Косинус угла между векторами определяется как отношение скалярного произведения к произведению длин векторов:
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
cos |
x y |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
Каждому базису B |
e1, |
e2,..., |
en |
|
|
|
|
в евклидовом пространстве |
соответствует матрица Грама – матрица, элементы которой равны скалярному произведению соответствующих базисных векторов:
B ei ej i 1,n . j 1,n
Если матрица Грама для базиса диагональная, то соответствующий базис называется ортогональным.
Если матрица Грама для базиса единичная, то соответствующий базис называется ортонормированным.
Замечание. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису обладает замечательным свойством:
TB' B TB 1`B' TBT B'.
Для вычисления скалярного произведения элементов евклидова пространства в произвольном базисе имеет место формула (упр. 9.3)
x y x B B y B .
При переходе от базиса B к базису B' с матрицей перехода TB B' матрица Грама нового базиса вычисляется по формуле (упр. 9.4)
46
|
|
B' |
TT |
T |
. |
||
|
|
|
B B' B B B' |
|
|||
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта позволяет ортонормировать |
|||||||
произвольный базис B |
e1, |
e2,..., |
en |
евклидова пространства (т.е. найти |
эквивалентный базису B ортогональный базис) и заключается в следующей последовательности действий.
1) В качестве первого вектора ортогонального базиса B e1',e2 ',...,en '
возьмем первый вектор базиса B e1,e2,...,en : e1': e1.
2)Второй вектор подбираем таким образом, чтобы он был ортогонален уже имеющемуся в базисе B вектору e1' и принадлежал линейной оболочке
векторов |
e1, |
e2 : |
e2 ': |
e2 21 |
e1', |
где |
e1' |
e2 ' 0. |
|||||||||||||||
Умножая обе части |
равенства |
e2 ': |
e2 |
21 |
e1'скалярно на вектор |
e1', |
|||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
e1' |
e2 ' |
e1' |
e2 21 |
e1' |
e1' 0, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
e1' |
e2 |
|||||||||||||
откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
e |
' |
e |
' |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
3)Действуя аналогично, «поворачиваем» следующий вектор базиса B так, чтобы он был ортогонален уже имеющимся в новом базисе векторам и лежал в линейной оболочке e1,e2,e3 (которая по построению совпадает с линейной оболочкой e1',e2 ',e3 ):
e3 ': |
e3 32 |
e2 ' 31 |
e1', |
где |
e1' |
e3 ' 0, |
e2 ' |
e3 ' 0, |
31 e1' e3 ,
e1' e1'
32 e2 ' e3 .
e2 ' e2 '
… |
|
|
|
n) e'n : en nne'n n1e'1, где |
e 'n e 'i |
0, |
i 1,n. |
ni ei ' en .
ei ' ei '
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученный базис B |
e1', |
e2 ',..., |
en ' |
будет ортогональным. Для того |
||||||||
чтобы получить ортонормированный базис |
Bo |
{ |
e |
o, |
e |
o, |
... |
e |
o}, нормируем |
|||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
n |
|||||
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы, т.е. разделим координаты каждого вектора ei ',i 1,n, базиса B на его длину:
|
e |
o : |
|
ei |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
e ' e |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
Пример 1. Проверить ортогональность векторов |
|
0 |
|
|
в |
||||||||||||
|
|
, |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
пространстве 3, дополнить до ортогонального базиса, нормировать полученный базис.
Решение. Вычислим скалярное произведение векторов:
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 2 2 ( 1) 0, |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
следовательно, векторы ортогональны. Вектор, ортогональный данным, удовлетворяет системе условий:
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
x 2z 0, |
|
x 2z 0, |
|
3x 0, |
y C, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
C const. |
|||||||
|
|
|
|
2x z 0; |
|
2x z 0; |
|
z 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 y 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
дополнить до ортогонального |
базиса можно |
следующим |
|||||||||||
|
|
1 2 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
образом: |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
. ¶ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. В качестве третьего ортогонального вектора всегда можно взять векторное произведение первых двух. █
Пример 2. Найти ортонормированный базис в пространстве многочленов степени не выше 2 над полем , где скалярное произведение определяется формулой
48
1
P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx.
0
Решение. В качестве базиса рассмотрим, например, систему многочленов B {1,2x,3x2}. Найдем матрицу Грама для этого базиса:
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1dx |
2xdx |
3x2dx |
|
|
x |
|
1 |
x |
2 |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
0 |
|
|
1 1 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
B |
|
2xdx |
4x |
|
dx |
6x |
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
x |
|
|
|
0 |
4 |
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
4/3 |
3/2 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
9/5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
1 |
6 |
x4 |
|
1 |
|
9 |
x5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 dx |
|
6x3dx |
|
9x4dx |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
0 5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис не ортогональный. Проведем ортогонализацию методом Грама-Шмидта.
1) e1': 1;
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x |
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
|||||
2) |
|
e |
': 2x |
21 |
1 2x |
2x |
0 |
|
|
2x 1; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3) |
e |
': 3x2 |
32 |
(2x 1) |
31 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3x2(2x 1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 dx |
|
|
1/2 |
|
|||||||||
3x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
(2x 1) |
0 |
|
1 3x2 |
(2x 1) 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1/3 |
|
||||
|
|
|
|
|
(2x 1)2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3x2 |
3x |
3 |
1 3x2 3x 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ортонормируем полученные векторы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e1o : |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1' |
|
1dx 1 |
|
e1' 1; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
|
' |
|
2 |
1 |
(2x 1)2 dx |
1 |
1 |
(2x 1)2 d(2x 1) |
(2x 1)3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
e2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
o : |
|
|
|
|
e |
' 2 |
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
e |
' |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3' |
|
2 |
3x2 3x 0,5 2 dx 9x4 |
18x3 12x2 |
3x 0,25 d x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x5 |
18x4 |
|
12x3 |
|
3x2 |
|
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25x |
|
|
1,8 4,5 4 1,5 0,25 0,05 |
|
|
5 |
4 |
3 |
2 |
20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3o e3' 25 3x2 3x 0,5 . e3'
Сделаем выборочную проверку:
1 |
|
|
|
|
(2x 1)2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e1o |
e2o |
3(2x 1)dx |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
4 |
|
|
0 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
e1o |
e3o 2 |
5 3x2 |
3x 0,5 dx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, ортонормированный базис: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1, |
|
3(2x 1),2 |
5 |
|
3x2 3x 0,5 |
|
|
. |
|
¶ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения и задачи
1
9.1. Доказать, что |
функция |
P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx |
является скалярным |
|
|
0 |
|
произведением |
на |
множестве многочленов |
с действительными |
коэффициентами. |
|
|
9.2.Доказать неравенство Коши-Буняковского: x y x x y y .
50