- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
Пусть область D на плоскости xy ограничена
кусочно-гладким контуром С (рис. 6.1). Требуется найти функцию имеющую во внутренних точках области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно, удовлетворяющую в области D дифференциальному уравнению
Рис. 6.1.
И граничному условию где непрерывная функция, заданная в точках контура С.
Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем. Пусть задано некоторое h>0. Проводятся прямые x=xi, y=yk строится контур Ch максимально приближенное к контуру С, через Dh ,обозначается область, состоящая из узловых точек (xi, yk),лежащих внутри контура Сh. Частные производные, входящие в уравнение , в точках (xi, yk) заменяются по формулам
После такой замены наше уравнение принимает вид
Значение функции в точках принимаются равными значениями функции в точках ближайшим к точкам Таким образом, исходная задача Дирихле сводится к следующей: найти значение функции в точках области Dh,удовлетворяющей системе линейных уравнений имеет единственное решение. Для решения этой системы применяется метод итераций или метод Зейделя.
Метод итераций решения системы заключается в следующем: начальное приближение выбирается произвольным, например, можно во всех точках положить
где - наименьшее и наибольшее значения функции в узловых точках контура . Последующие приближения вычисляются по формулам
где j= 0,1,2,… .Вычисления ведутся до тех пор, пока неравенство
в формуле используются уже вычисленные то есть
Как правило, метод Зейделя дает более быструю сходимость. Для получения более точного решения все вычисления повторяются при h=h/2. Дробление шага проводится до тех пор, пока значения не будет отличаться от вычисленных на предыдущем этапе менее заданного .
6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
Пусть отрезок ограничен на оси х точками Требуется найти непрерывную в области функцию удовлетворяющую дифференциальному уравнению
со следующими начальными
граничными условиями
Рис. 6.2.
Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем. В области D (рис. 6.2) проведем два семейства прямых для некоторых заданных и рассмотрим всевозможные точки попарных пересечений, то есть точки вида Эти точки образуют точки, являясь её узлами. У каждого узла имеются четыре соседних точки Если все эти соседние точки также принадлежат сетке, то узел называется внутренним, в противном случае узел называется гармоничным. Совокупность внутренних узлов образует множество Очевидно, что точка принадлежит , если Значение искомой функции в узлах сетки называется сеточной функцией , приближенные значения которой мы и будем в дальнейшем находить.
Для получения разностного уравнения заменим частные производные второго порядка разностными отношениями:
Частную производную по времени, входящую в начальное условие, заменим центральной разностью для обеспечения второго порядка аппроксимации
После такой замены получим искомую разностную схему, которая представляет собой следующую систему линейных алгебраических уравнений:
Удобно поставить в соответствие построенному разностному оператору «шаблон»- геометрическую картинку расположения узлов сетки, значения в которых связывает разностный оператор при некоторых фиксированных i и k. Для ревностного оператора нашей задачи шаблон изображен на рис. 6.3.
Рис. 6.3.
Для дальнейшего рассмотрения введем понятие слоя. Под слоем разностной схемы понимается совокупность точек сетки , лежащих на некоторой горизонтальной (или вертикальной) прямой. Если значения сеточной функции заданные на ом слое, выражаются в явном виде через значения этой же функции на слоях с меньшими номерами, то такая схема называется явной. В противном случае схема называется неявной. Полученная нами разностная схема является явной, и может быть записана следующим образом:
Для аппроксимации начального условия, заданного центральным разностным отношением, привлечем узлы горизонтального слоя, соответствующего . Промежуточные значения исключим, используя разностное уравнение при
В итоге получим следующую систему уравнений, решая которую относительно неизвестных находим сеточную функцию , значения которой в узлах сетки приближенно заменяют значения искомого решения исходного уравнения гиперболического типа
С целью обеспечения устойчивости полученной разностной схемы значений шагов по времени и координате должны быть связаны соотношением Для получения более точного решения следует проводить дробление шага в соответствии со сказанным в описании решения уравнения эллиптического типа.