- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
Наряду с регулярными решениями уравнений эллиптического типа важную роль играют так называемые фундаментальные решения.
Фундаментальным решением уравнения: называют функцию Леви , которая при удовлетворяет этому уравнению по координатам одной из точек (х или ) и зависит от координат другой точки, как от параметров. Будем писать или в зависимости от того, рассматриваем ли мы как переменные, по которым производится дифференцирование, координаты точки или х. Выражения и
будем понимать как и .
Рассмотрим задачу Дирихле:
когда
где — непрерывные функции.
Предположим, что как решение u(х) этой задачи , так и функция Леви дифференциального выражения непрерывны в замкнутой области V вместе со своими первыми производными. Применив к функции u(х) формулу Грина — Стокса, получим
Если существует фундаментальное решение однородной задачи:
сопряженной задаче Дирихле , и если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то мы можем положить .
При этом формула для u(x) примет вид
Таким образом, если существует решение задачи Дирихле и фундаментальное решение однородной сопряженной задачи, причем в области V эти решения непрерывны вместе со своими частными производными по координатам точки , то решение задачи можно заменить отысканием фундаментального решения однородной сопряженной задачи, после чего решение задачи определится вышеприведенной формулой . Эта идея лежит в основе способа Грина решения задач Дирихле. Фундаментальное решение однородной задачи называют функцией Грина задачи Дирихле. Аналогичным путем вводится функция Грина для задачи Неймана. Рассмотрим задачу:
когда
Предположив, что u(х) —решение этой задачи, непрерывное в замкнутой области V со своими производными первого порядка, применим формулу Грина—Стокса, что даст:
Пусть — фундаментальное решение однородной задачи
сопряженной задаче . Если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то, положив = ,получим:
Таким образом, если функция каким-либо образом найдена и удовлетворяет необходимым требованиям гладкости, то решение задачи , непрерывное вместе со своими первыми производными в замкнутой области V, может быть найдено с помощью вышеприведенной формулы . Фундаментальное решение задачи называют функцией Грина задачи . Употребительны также названия вторая функция Грина и характеристическая функция Неймана. Рассмотрим две взаимно сопряженные граничные задачи и предположим, что их функции Грина и существуют. По определению:
или
Первое граничное условие выполняется для задач Дирихле, второе — для задач Неймана. Предположим далее, что функции и имеют производные первого порядка по координатам точки непрерывные в области V — х. Тогда, фиксировав две точки мы можем применить формулу Грина к функциям и в области , где и —эллипсоидальные окрестности точек и . Отсюда получим
Перейдем к пределу при . Заметив, что в силу соображений, высказанных при выводе формулы Грина—Стокса , справедливы следующие соотношения:
получим формулу связывающую функции Грина сопряженных граничных задач. В частности, если дифференциальное выражение самосопряженное, то , и из вышеприведенной формулы следует, что при этом
Таким образом, если для самосопряженной граничной задачи, поставленной в области , существует функция Грина , непрерывная в области вместе со своими первыми производными, то эта функция симметрична относительно точек и х.
Теоремы единственности
Положив в формуле Грина и ,после несложных выкладок придем к соотношению:
Пусть и —два решения задачи Дирихле:
когда
удовлетворяющие требованиям, при которых справедлива формула Грина. Разность этих решений явится решением однородной задачи Дирихле:
когда
удовлетворяющей тем же требованиям. Далее получим:
Левая часть этого соотношения неотрицательна в силу неравенства
Если
,
то правая часть неположительна. Ввиду непрерывности функции и нулевого граничного условия отсюда следует, что в области V функция =0, т. е. . Таким образом, задача Дирихле при соблюдении нашего условия имеет не более одного решения, непрерывного в области вместе со своими производными первого порядка. Проводя доказательство этой теоремы единственности другим путем, можно показать, что требование непрерывности производных решения в замкнутой области V является излишним, достаточно требовать непрерывности самого решения.
Рассмотрим задачу Неймана:
когда
Предположим, что — два решения задачи, удовлетворяющие требованиям, при которых к ним может быть применена формула Грина. Разность явится решением однородной задачи: когда
Применив к разности вышеприведенную формулу, получим
Если
то, как легко видеть из этого интегрального соотношения, должно быть
в силу чего наша задача примет вид: когда
Отсюда следует, что если при выполнении полученых выше неравенств хотя бы одна из функций g и с неравна нулю тождественно, то = 0. В силу непрерывности функции , также следует, что = 0, если хотя бы одно из неравенств является точным. Если же ни одно из этих дополнительных условий не имеет места, то из соотношений вытекает, что = const. Таким образом, задача Неймана при и выполнении полученых условий имеет не более одного решения, непрерывного в области V вместе со своими производными 1-го порядка. При g = 0 решения задачи Неймана не могут отличаться более, чем на постоянное слагаемое. Если хотя бы одно из неравенств является точным, либо функция с отлична от тождественного нуля, то эта постоянная равна нулю.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Показать, что если задача Дирихле имеет не более одного решения, допускающего применение формулы Грина, то и сопряженная ей задача имеет не более одного такого решения.
2. Показать, что самосопряженная задача Дирихле имеет не более одного решения, допускающего применение формулы Грина, если , а самосопряженная задача Неймана, если, кроме того, g > 0.