Вектора / 6. Векторный базис на плоскости и в пространстве
..docВекторный базис на плоскости и в пространстве.
45. Любые два неколлинеарных вектора попарно образуют векторный базис на плоскости.
Два вектора на плоскости ( а1; а2) и (b1; b2) коллинеарны, если координаты этих векторов пропорциональны:
=
46. Любые три некомпланарных вектора образуют векторный базис в пространстве.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов (смешанное произведение векторов ):
47. Фиксированная тройка некомпланарных векторов с общим началом в фиксированной точке О называется афинной системой координат или базисом в пространстве.
В случае декартовой прямоугольной системы в пространстве базисные векторы принято обозначать буквами . Каждый из векторов имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно ортогональны и образуют правую тройку. Направление векторов совпадает соответственно с направлением осей координат.
- векторы, по модулю равны единице и направлены по координатным осям Ox, Oy и Oz.
Разложение вектора с координатами ( а1; а2; а3)
по трем координатным осям выражается формулой
48. Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
49. Скалярное произведение тройки базисных векторов:
49. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации других векторов, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.
50. Определение. Если векторы образуют базис линейного пространства L, и вектор из L линейно выражается через векторы в виде , то числа называются координатами вектора x в базисе .
51.Определение. Векторы , … векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа λ1; λ2; … λn не равные одновременно нулю, при которых выполняется равенство:
Если равенство не выполняется, данные вектора , … являются линейно независимыми.