Вектора / 1.Векторы Основные сведения
.docОсновные сведения из векторной алгебры.
1. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора .
Вектор можно обозначать , где т. A - начало и т. B - конец вектора.
Можно обозначать вектор одной буквой с черточкой над ней, например, , а модуль этого вектора обозначается .
2. Вектор считается заданным, если известна его длина и направление.
Вектор можно задать координатами начала и конца А(х1 ; у1) и В(х2 ; у2 ). На рис. 1 приведен вектор , начальная точка которого имеет координаты А(2; 5) , а конечная точка В(6; 7).
Рис. 1
Вектор можно задать координатами. Для задания координат вектора нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки: (х2 -х1; у2 -у1).
Для , начальная точка которого имеет координаты А(2; 5) , а конечная точка В(6; 7), (6 - 2; 7- 5), т. е. (4; 2)
На рис. 1 приведен вектор (4; 2) равный вектору , так как он без изменения длины и направления получен параллельным переносом начала вектора в начало координат.
3. Для задания вектора в трехмерном пространстве должны быть определены три его координаты (x; y; z)
На рис. 2 показан вектор в трехмерном пространстве с координатами (2; 3; 4).
Рис. 2
4. Вектор равен нулю, если его модуль (длина) равен нулю. Такой вектор называется нулевым.
5. Два вектора и называются равными, если равны их модули, они лежат на параллельных прямых (коллинеарные) и направлены в одну и ту же сторону.
Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору , обозначается через .
6. Сложение векторных величин, заданных графически, производится по одному из двух правил.
Правило параллелограмма: сумма двух векторов и , приведенных к общему началу, есть третий вектор , длина которого равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , а направлен он от точки A( начала векторов , и ) к точке B.
Правило треугольников.
Сумму нескольких векторов, например , , и , строят так: берут произвольную точку O плоскости и из нее строят вектор , равный вектору ; из точки A проводят вектор , равный вектору , из точки B - вектор , равный вектору и, наконец, из точки C строят вектор , равный вектору .
Вектор , замыкающий полученную ломаную линию OABCD, и будет суммой векторов , , и (см. рисунок):
По такому же правилу строится и сумма любого числа векторов.
7. Разностью двух векторов и называется такой третий вектор , который равен сумме векторов и (см. рисунок). Вектор параллелен вектору , равен ему по модулю, но противоположно направлен:
8. При умножении вектора на скаляр k получается вектор , модуль которого равен модулю вектора , умноженному на k, т. е.
= k .
Направления векторов и совпадают, если k > 0, и они противоположны, если k < 0.
9. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, независимо от того, направлены они одинаково или противоположно, называются коллинеарными.
Если два вектора в пространстве коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.
Если два вектора на плоскости (х1 ; у1) и (х2 ; у2 ), коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.
.