- •21.Елементи квантової статистики та фізики твердого тіла
- •21.1. Статистичні методи у квантовій механіці
- •21.2. Розподіл Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака
- •21.3. Властивості функції розподілу для металів
- •21.4. Теплоємність кристалів
- •21.5. Утворення кристалів
- •21.6. Квантова теорія зонної структури кристалів
- •21.7. Основні поняття зонної теорії
- •21.8. Електропровідність металів
- •Б). Квантова теорія електропровідності металів
- •21.9. Надпровідність металів та сплавів
- •21.10. Високотемпературна надпровідність
- •21.11. Теоретичні засади низькотемпературної надпровідності
- •21.12. Електропровідність напівпровідників
- •21.13. Домішкова провідність напівпровідників
- •21.14. Контактні явища у металах
- •21.15. Термоелектрорушійна сила
- •21.16. Напівпровідниковий діод
- •21.17. Напівпровідниковий тріод - транзистор
- •21.18.Контрольні питання
21.Елементи квантової статистики та фізики твердого тіла
21.1. Статистичні методи у квантовій механіці
Як відомо, із квантової механіки, динаміку елементарних частинок, які знаходяться у силовому потенціальному полі, визначають за допомогою -функцій Шредінгера. Фізичний зміст цих функцій полягає у тому, що перебування частинки у певному стані задається ймовірністю, густина якої дорівнює квадратові модуля -функції. Можна ввести 6-вимірний простір із 3-х просторових координат x,y,z та 3-х проекцій імпульсу на них - pх,pу,pz, який називається фазовим. Кожній точці цього простору відповідає певний стан частинки. Імовірність стану визначається виразом
dW = f (q, p ) dФ. ( 1 )
У (1) через q та р умовно позначені просторові координати та проекції імпульсу відповідно, d = dpdq - елемент об'єму фазового простору, а
.
Функція f(p,q) - густина ймовірності того, що частинка знаходиться в одиничному фазовому об'ємі з координатами q та р. Фазовий простір системи з n частинок є 6n-вимірним.
Кожна точка фазового простору повинна була б відповідати одному визначеному станові, як це є у класичній фізиці, але у квантовій механіці де координати та імпульс мають невизначеність за Гейзенбергом
(2)
стану частинки відповідає деякий фазовий об'єм dФ=dqdp. Виходячи з (2) можна визначити мінімальний фазовий об'єм, що відповідає одному станові частинки
.
Якщо деяка функція координат та імпульсу F(p,q) визначена на фазовому просторі системи частинок, то її середнє значення обчислюється за правилом:
(3)
В (3) інтегрування проводиться по усьому фазовому об'єму системи Ф.
Уведення фазового простору (q,p) та густини розподілу f(q,p) є одним із методів опису динаміки системи елементарних частинок через неперервні змінні q та p. Існують також інші методи опису динаміки стану елементарних частинок. Один із них ґрунтується на визначенні стану системи через дискретну змінну величину, якою може бути, наприклад, енергія системи. У цьому випадку функція розподілу f(q,p) визначається на множині дискретних значень енергії Еn, де n - сукупність усіх дискретних квантових чисел, що визначають стан системи. У найбільш загальному вигляді функцію розподілу запропонував Гібсс
. (4)
Стала А визначається з умови нормування
. (5)
21.2. Розподіл Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака
За типом просторової симетрії псі-функції системи квантових частинок поділяються на два види. Системи частинок, які описуються симетричними відносно перестановки координат псі-функціями, мають цілий спін і називаються бозонами, а при антисиметричних із напівцілим спіном - ферміонами. Відповідно до цього, у квантовій статистиці розглядаються дві статистики з функціями розподілу Фермі-Дірака (ферміони) та Бозе-Ейнштейна (бозони). Вони визначають середнє число частинок системи, що мають енергію En при температурі Т і їх можна записати у вигляді
, (6)
де для ферміонів, для бозонів. Величина називається хімічним потенціалом. Вона визначається величиною зміни внутрішньої енергії системи при зміні числа її частинок на одиницю. У випадку ферміонів, якими є електрони у металі, дорівнює енергії Фермі енергії найвищого заповненого енергетичного рівня. Для фотонів та фононів , =0.
З визначення (6) випливає, що
,
де N - число частинок системи, а рівність називається умовою нормування функції розподілу f(En).
Вираз (6) можна представити у вигляді
.
При достатньо високих температурах, коли виконується нерівність
,
обидві статистики переходять у класичну
. (7)
Перехід від (6) до (7) має температурну межу, що називається температурою виродження системи
. (8)
При Т < система визначається однією з двох квантових статистик, а при Т > - класичною статистикою (перехід від (6) до (7)). Для вільних електронів у металі середня енергія Фермі 2,15 еВ і 25000 К. Це означає, що за звичайних умов електронний газ у металі потрібно розглядати як квантову систему аж до температур порядку 25000 К. Як показують розрахунки, енергія Фермі пропорційна концентрації носіїв струму у степені . Якщо концентрація n електронів у металі складає , то у напівпровіднику носії струму мають . Таким чином температура виродження для напівпровідника складає , тобто електронний газ у напівпровідниках завжди невироджений.