- •Механічні коливання та хвилі
- •4.Коливання
- •4.1. Коливальний рух
- •4.2. Пружинний маятник
- •4.3. Математичний маятник
- •4.4. Фізичний маятник
- •4.5. Крутильний маятник
- •4.6. Розвязок диференціального рівняння коливань маятника
- •4.6.1. Вільні незгасаючі коливання
- •4.6.2. Вільні згасаючі механічні коливання
- •4.6.2.1 Характеристики вільних згасаючих коливань
- •4.6.3. Вимушені коливання
- •4.6.4. Енергія коливання
- •4.7. Параметричні та автоколивання
- •4.7.1.Параметричні коливання
- •4.7.2.Автоколивання
- •4.8. Додавання двох коливань одного напрямку
- •4.9. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань
- •4.10. Биття
- •4.11. Контрольні питання
Механічні коливання та хвилі
4.Коливання
У цьому розділі фізики розглядаються коливання та процеси їх поширення (хвилі) у різних середовищах: рідині, атмосфері, корі земної поверхні, поверхні океанів, електромагнітні коливання у вакуумі та багато інших. Головна мета розділу - познайомити студента з основними ідеями, загальними для усіх коливань, що дозволяють побудувати їх фізичні і математичні моделі - канонічні диференціальні рівняння коливань та хвилі. Указані моделі, як універсальні, можна застосувати до окремих явищ, таких як сейсмічні коливання, виникнення та поширення цунамі, радіохвиль та ін.
У межах програми вищої математики наведені приклади розв'язку канонічних рівнянь вільних та вимушених коливань, виведення рівняння хвилі.
4.1. Коливальний рух
Коливальним рухом називається рух, що повторюється в часі. Якщо повторюваність відбувається за один і той же проміжок часу Т, то рух називається періодичним, а час Т періодом. За період здійснюється одне повне коливання. Частота коливань число повних коливань за одиницю часу. Рівняння коливання описує залежність зміщення тіла х з положення рівноваги від часу t.
Гармонічним називається коливання, рівняння якого описується функцією синуса або косинуса від часу кінематичне визначення, наприклад,
х = А·cos(t + ). (1)
В цьому виразі х зміщення від положення рівноваги, А амплітуда коливань (максимальне зміщення), - циклічна частота, Ф(t)=t+ фаза коливань, Ф(t=0) = початкова фаза. Знайдемо період гармонічних коливань T, знаючи, що період косинуса є 2. Запишемо функцію косинуса в (1), ввівши період Т
. (2)
З (2) вилучимо доданок Т і прирівняємо його до періоду косинуса
. (3)
Таким чином ми одержали звязок періода T й частоти через циклічну частоту .
Я кщо рух тіла спричиняється пружною силою, або квазипружною силою (величина сили пропорційна зміщенню тіла зі стану рівноваги) то такі коливання будуть також гармонічними. Це є динамічне визначення гармонічних коливань.
Гармонічне коливання можна представити графічно за допомогою вектора , який обертається в площині ХОУ з частотою (див. Мал. 30). Модуль вектора дорівнює амплітуді коливання, а кут , який він складає з віссю ОХ, дорівнює фазі коливання, тобто =Ф=t+. Величина проекції х вектора А на вісь ОХ здійснює коливання по гармонічному закону х=А·cos(t+). Графічне зображення гармонічного коливання називається методом векторних діаграм.
В комплексній формі гармонічне коливання можна представити у вигляді:
,
де Z0 = A·ei комплексна амплітуда, модуль якої дорівнює Z0=A, а =argZ0 аргумент. Фізичний зміст має дійсна частина комплексної величини Z, а саме , або уявна частина , які представляють гармонічні коливання величин х та y відповідно.
4.2. Пружинний маятник
Пружинний маятник являє собою тіло, підвішене на пружині, масою якої, порівнюючи з масою тіла m, можна знехтувати (див.Мал.31). Створимо зовнішньою силою зміщення маятника зі стану рівноваги . Напрямок сили буде співпадати з напрямком прискорення маятника . У протилежному напрямку будуть діяти пружна сила та сила опору . Величина пружної сили Fп = kx, де х величина зміщення тіла зі стану рівноваги, k жорсткість пружини, а сила опору дорівнює , де коефіцієнт опору. Лінійна залежність пружної сили від зміщення виконується лише для малих амплітуд коливань, коли виконується закон Гука.
Рівняння другого закону Ньютона для тіла тепер має вигляд
. (1)
Усі сили , що діють на тіло й вектор прискорення , лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок прискорення за додатній, запишемо рівняння (1) в алгебраїчній формі
. (2)
Підставимо в (2) значення сил і запишемо його у канонічній формі
, (3)
де , , 0 власна частота, яку називають частотою вільних незгасаючих коливань, коефіцієнт згасання коливань. Період вільних незгасаючих коливань
.