- •Экзаменационные вопросы по дисциплине
- •2. Частота события. Статистическое определение вероятности.
- •3. Классическое и геометрическое определения вероятности.
- •4. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей.
- •6. Теорема сложения вероятностей.
- •7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •8. Вычисление вероятностей событий с помощью биномиальной и полиномиальной формул.
- •9. Понятие случайной величины и её закона распределения. Дискретные и непрерывные величины.
- •10. Ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины.
- •11. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •12. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства.
- •13. Математическое ожидание, мода и квантили случайной величины.
- •14. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
- •15. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •16. Равномерное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение
- •Показательное распределение
- •17. Одномерное нормальное распределение.
- •18. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора.
- •19. Функция и плотность распределения случайного вектора.
- •20. Зависимость и независимость случайных величин.
- •21. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух случайных величин.
- •22. Многомерное нормальное распределение.
- •23. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных величин.
- •24. Основные свойства математического ожидания.
- •25. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции.
- •26. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера.
- •27. Закон больших чисел.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Дискретная цепь Маркова: основные понятия и свойства.
- •30. Выборка и её вариационный ряд. Статистический ряд результатов измерений.
- •31. Гистограмма и полигон частот.
- •32. Статистическая функция распределения.
- •33. Понятие о точечных оценках параметров и их свойствах.
- •34. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
- •35. Понятие об интервальном оценивании параметров.
- •36. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормально распределённой случайной величины.
- •37. Проверка статистических гипотез: основные определения и общая схема проверки.
- •38. Критерий согласия Пирсона.
- •39. Критерий согласия Колмогорова. Критерий однородности Смирнова. Критерий согласия Колмогорова
- •. Критерий однородности Смирнова
Экзаменационные вопросы по дисциплине
“Теория вероятностей и математическая статистика”
1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий.
Под событием понимается любой факт, который может произойти или не произойти. Примеры событий: появление герба при бросании монеты, появление трёх гербов при пяти бросаниях монеты, попадание в мишень при выстреле, отказ изделия при испытании на надёжность.
Эксперимент (испытание, опыт) – это воспроизведение определённой совокупности событий и наблюдение результатов этого воспроизведения. Воспроизводимые события называются условиями эксперимента (испытания, опыта), а те события, которые появляются или не появляются в результате воспроизведения условий – исходами. Примеры экспериментов: бросание монеты, выстрел по мишени, испытание изделия.
Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно всегда происходит. Событие называется невозможным, если в результате эксперимента оно никогда не происходит. Достоверное событие будем обозначать знаком , невозможное – знаком .
Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно иногда происходит, а иногда не происходит. Случайные события обозначаются буквами и т.д.
Если при каждом наступлении события А наступает и событие В, то говорят, что А – частный случай В (А влечёт за собой В, А благоприятствует В). Используются обозначения и .
События А и В называются равными (равносильными, эквивалентными), если одно из них происходит тогда и только тогда, когда происходит другое. Используется обозначение . При математическом описании случайных явлений равные события не различаются.
Событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается или .
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается или .
Понятия произведения и суммы обобщаются на случай произвольного конечного или счётного числа событий. Для произведения n событий используются обозначения и , для суммы – обозначения и .
Событие, состоящее в том, что в результате опыта событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается или .
События А и В называются несовместными, если их совместное появление в опыте невозможно, т.е. . События называются попарно несовместными, если несовместны любые два из них.
Говорят, что события образуют полную группу, если в результате опыта всегда появляется хотя бы одно из них, т.е. .
Событие , состоящее в том, что событие А в опыте не происходит, называется противоположным событию А.
Практика показывает, что из совокупности всех возможных исходов испытания можно выделить такое множество событий, называемых элементарными, что при каждом повторении опыта появляется одно и только из них, а произвольное событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из некоторого подмножества . Множество будем называть пространством элементарных событий испытания. В зависимости от характера эксперимента оно может содержать конечное или бесконечное число элементов. Поскольку каждое подмножество однозначно определяется своими элементами, то между всеми возможными исходами испытания и всеми подмножествами существует взаимнооднозначное соответствие.
Пусть А и В – возможные исходы испытания, а и – соответствующие подмножества. Тогда из определений произведения, суммы и разности событий следует, что событиям , и будут соответствовать подмножества , и . Из определения частного случая события следует, что в том и только в том случае, если . Подмножество, соответствующее достоверному (невозможному) событию, совпадает с пространством (с пустым множеством ).
, , , .