Кінематика.
Основні формули.
Радіус-вектор точки 1 – це вектор, проведений в цю точку з початку відліку, його проекції на осі прямокутної системи координат (Мал.1):
|
де - координати точки.
Вектор переміщення з точки 1 у точку 2: ,
де - радіус-вектори точок 1 і 2.
Вектор середньої швидкості переміщення за час :
Вектор миттєвої швидкості :
Середня шляхова швидкість: ,де = - шлях, пройдений тілом з точки 1 до точки 2.
Вектор середнього прискорення:
Вектор прискорення (Мал.2.):
Прискорення точки в проекціях на дотичну і нормаль траекторії:
- тангенціальне прискорення,
- нормальне прискорення,
де - радіус кривизни траєкторії.
Рівноприскорений рух: , ,
де - радіус-вектор початкового положення тіла, - його початкова швидкість.
Р ух тіла, кинутого під кутом до горизонту (опором повітря нехтуємо, =10м/с2) (мал.3): . В проекціях на осі: ОХ і ОУ:
Радіус-вектор тіла: . В проекціях на осі ОХ і ОУ: ОХ: ОУ: |
Найбільша висота підйому , дальність польоту .
|
В ектор кутової швидкості:
Вектор кутового прискорення:
Зв’язок між лінійними і кутовими величинами: , ,
- радіус-вектор відносно довільної точки на осі обертання, - відстань до осі обертанн я.
середня кутова швидкість: ( рад/с);
середнє кутове прискоренн (рад/с2).
Рівномірний рух по колу: (рад) – кутова координата;
(с) - період - час одного оберту;
(1/с)-частота–кількість обертів, здійснених за 1секунду; (рад/с) - колова (циклічна) частота – кількість обертів, здійснених за секунд. При рівномірному русі: , |
|
Приклади розв’язування задач.
Задача 1. Рівняння прямолінійного руху тіла вздовж осі ОХ має вигляд: . Знайти швидкість тіла в момент часу . В який момент часу після початку руху тіло змінить напрямок руху на протилежний? В який момент тіло повернеться в точку з координатою ?
Дано:
1) =? , 2) =?, 3) =0, =?
Розв’язок.
Знайдемо швидкість і прискорення тіла: 12-8 (м/с) (1) (м/с2) (2)
В момент часу швидкість (м/с).
Тіло змінює напрям руху на протилежний в момент зупинки ( =0), отже час зміни напрямку руху знайдемо з рівняння: 12-8 =0 і отримаєм =1,5 (с) (3)
Знайдемо час зумови задачі ,
якщо =0, то 5+12 -4 2=0,
Запишемо це рівняння в канонічному вигляді: 4 2-12 -5=0, (4)
звідки, розв’язавши його, отримаємо: =3,375 с.
Відповідь: = - 12м/с; =1,5с; = 3,375с.
Задача 2. Один із способів оцінки якості автомобіля ґрунтується на визначенні того, наскільки швидко він розганяється до швидкості 60км/годину. У деяких автомобілів прискорення обмежується не потужністю двигуна, а проковзуванням коліс. Хороші шини забезпечують прискорення приблизно 0,5 . Скільки часу і який шлях потрібний для розгону автомобіля до швидкості 60км/годину?
Дано: =0
=60км/годину = 16,8 м/c
=?, =?
Розв’язок.
Так як початкова швидкість =0 і рух рівноприскорений, то:
, (1)
звідки час розгону с
Шлях, пройдений за час розгону: м.
По аналогії з цим прикладом можна визначити мінімальний час і гальмівний шлях до повної зупинки автомобіля, якщо його мінімальне прискорення м/с2, а початкова швидкість м/с2:
, (2) в момент зупинки =0, отже час до зупинки: с.
Як і можна було сподіватися, ми отримали такий самий час, як і при розгоні. Отже гальмівний шлях буде дорівнювати 28,3м.
Відповідь: = 3,4с; = 28.3м.
З адача 3 .Людина знаходиться в кімнаті на п’ятому поверсі і бачить, як мимо його вікна пролітає зверху квітковий горщик. Відстань 2м, що дорівнює висоті вікна, горщик пролетів за 0,1 с. Висота одного поверху 4м. Вважаючи =10 м/с2, визначте, з якого поверху впав горщик.
Дано: =2 м
=0.1 с
=4 м.
=?
Розв’язок.
Рух горщика рівноприскорений (опором повітря нехтуємо), його початкова швидкість =0. Початок координат виберемо в точці початку руху вісь ОУ спрямуємо з). вниз. Координата верхньої і нижньої частин рами вікна і , причому . Отже: (1)
Враховуючи, що , а , отримаємо:
(3)
Знайдемо час падіння тіла до верхньої частини вікна з виразу (3):
= .(4)
Координата верхньої частини вікна:
м. (5)
Висота одного поверху 4м, тому горщик пролетів поверхів, а падав горщик з 25 поверху.
Відповідь: = 25.
Задача 4. З підводного човна запускається балістична ракета, наведена на місто, яке знаходиться на відстані 3000км від човна. За який час ракета долетить до цілі і яка її стартова швидкість ? При цьому будемо вважати Землю плоскою, прискорення вільного падіння сталим ( =9.8 м/с2 ), опором повітря і води нехтуємо.
Дано: = 3*106м/с
=?, =?
Розв’язок.
Спочатку вияснимо, під яким кутом треба запустити ракету, щоб вона досягла точки на поверхні Землі. Рух ракети рівноприскорений, тому рівнянням руху є:
1 (1)
|
ОХ:
ОУ:
Швидкість ракети змінюється за формулою:
В проекціях на осі ОХ і ОУ:
ОХ:
ОУ:
Траєкторія ракети – парабола. В найвищій точці траєкторії вектор швидкості паралельний осі ОХ, отже і . Звідси отримаємо час підйому ракети :
. (2)
Час руху ракети від запуску до цілі: . (3)
Підставимо в формулу для координати і отримаємо дальність польоту:
(4)
Максимальна дальність польоту буде досягнута, якщо ракету націлити під кутом =450.
Знайдемо початкову швидкість ракети:
= км/с.
Повний час руху ракети буде:
хв.
З цього прикладу видно, що в випадку ракетного нападу максимальний запас часу становить приблизно 10 хвилин, що замало для евакуації міста.
Вияснимо, на яку найбільшу висоту піднімається ракета. Для цього підставимо час в формулу для :
м=749 км
Відповідь: = 5,42км/с, = 13хв.
Задача 5. Тіло рухається по колу так, що його кутова координата змінюється з часом за формулою: , де =3 рад/с. а = 5 рад/с3. Знайти:
а) залежність кутової швидкості і кутового прискорення від часу; б) час до зупинки;
в) кутове прискорення в момент зупинки.
Дано:
=3 рад/с.
= 5 рад/с3
а) -?, б) -? в) -?
Розв’язок.
Модуль кутової швидкості :
(1)
Модуль кутового прискорення: (2)
В момент зупинки ( ) кутова швидкість дорівнює нулю, отже:
(3)
і з (3) отримаємо, що: с.
Кутове прискорення в момент зупинки:
рад/с2.
Відповідь: ; = 0,067с; = -1рад/с2.
Задача 6. Знайти кутову швидкість хвилинної стрілки на годиннику. а також лінійну швидкість її кінця, якщо довжина стрілки = 1см.
Дано: = 1см=10-2 м.
=?, =?
Розв’язок
Хвилинна стрілка годинника робить один повний оберт за 1 годину (3600 с).
Кутова швидкість стрілки:
. (1)
Лінійна швидкість кінця стрілки : = (2)
Підставимо числові значення в формули (1) і (2): =2*3,14:3600=0,0017 рад/с, 0,0017*0,01=17*10-4 м/с.
Відповідь: =0,0017рад/с, =17*10-4м/с
Задача 7. Колесо обертається з кутовим прискоренням 2рад/с2. Через 0,5с після початку руху повне прискорення колеса 0,136м/с2. Знайти радіус колеса.
Дано: = 2рад/с2, = 0,5с, = 0,136м/с2, -?
|
|
Розв’язок.
Кутова швидкість колеса:
Лінійна швидкість точки на ободі колеса дорівнює
Тангенціальне прискорення: . Нормальне прискорення: (4)
Повне прискорення точки знайдемо за теоремою Піфагора: = (5)
З формули (5) виразимо радіус колеса
і в отриману формулу підставимо числові значення: = = 0,062м
Відповідь: =0,06м.