Краткая теоретическая часть:
Предполагается, что функция задана в виде таблицы конечного числа точек:
х |
х0 |
х1 |
… |
хn |
, |
у |
y0 |
y1 |
… |
yn |
например, получена экспериментально или по известной (достаточно сложной) формуле для . Здесь хi и yi (i=0,1,…, n) – произвольные числа и при этом все хi различны и упорядочены: . При этом множество всех узлов хi называют сеткой, если узлы являются равноотстоящими, т.е. хi= х0+ih, где .
Используя исходные данные, затем подбирают функцию несложного вида, значения которой при являются приближенными для .
Важным здесь следует отметить не только то, чтобы имела простой вид и хорошо приближала , но и чтобы ее практически можно было найти. В этом смысле наиболее подходящий вид для - многочлен . Но и в этом случае не все просто с вычислительной стороны. Как правило, при нахождении значений нельзя обойтись без многочисленных промежуточных округлений числе, что часто приводит к большой потере точности коэффициентов . И может случиться так, что полученный в результате многочлен будет гораздо хуже приближать данную функцию , чем истинный многочлен , а это недопустимо.
При расчетах чаще всего нельзя заранее предсказать оптимальный режим вычислений, т.е. указать минимальную разрядность счета (начав с какой-либо) до тех пор, пока, не добьются удовлетворительных результатов, т.е. совпадения цифр в требуемых разрядах результата.
Определение 1. Функция называется интерполяционной для , если выполнены условия: , i=0,1, …, n, т.е график проходит через все заданные точки .
Известно, что для данной таблицы всегда существует и притом единственны интерполяционный многочлен (ИМ) степени n. Будем обозначать ИМ через . Для него верно:
, |
i=0,1, …, n. |
(1) |
Остаточный член для , т.е. величина , имеет вид:
(2) |
где Пn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn).
Так как точка ξ практически всегда неизвестна, то при оценке погрешности для пользуются неравенством:
. |
(2´) |
А) ИМ Лагранжа имеет вид:
, |
|
(3) |
где .
В) ИМ Ньютона
ИМ Ньютона строятся на сетке и выражаются через конечные разности.
Определение 2. Величина называется конечной разностью первого порядка функции в точке с шагом h. По аналогии имеем: 2-ая конечная разность – это , …,
k-ая конечная разность – это .
Конечные разности удобно записывать в виде таблицы 1 (в каждом столбце, кроме столбца , из последующего числа вычитается предыдущее число и разность записывается в следующем столбце).
Но если является приближенным (например, из-за округлений), то в этой связи с ростом порядка конечных разностей погрешность растет (удваивается на каждом шаге). Поэтому исходные данные надо брать с повышенной точностью.
Таблица 1
xi |
yi |
Δ yi |
Δ2 yi |
Δ3 yi |
Δ4 yi |
… |
x0 |
y0 |
Δ y0 |
Δ2 y0 |
Δ3 y0 |
Δ4 y0 |
… |
x1 |
y1 |
Δ y1 |
Δ2 y1 |
Δ3 y1 |
… |
|
x2 |
y2 |
Δ y2 |
Δ2 y2 |
… |
|
|
x3 |
y3 |
Δ y3 |
… |
|
|
|
x4 |
y4 |
… |
|
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
1-ый ИМ Ньютона имеет вид:
. |
(4 |
ИМ Ньютона играет в численном анализе роль, аналогичную роли формулы Тейлора в математическом анализе. Так при использовании формулы (4), если слагаемые, начиная с какого-то номера становятся малыми, то ими пренебрегают.
Если ввести обозначение: t=(x-x0)/h, то 1-ый ИМ Ньютона примет вид:
(5)
0 ≤ t ≤ n; t=(x-x0)/h
Оценка погрешности:
; 0 ≤ t ≤ n; x є [x0;xn], μ=max│f(n+1)(x)│
Если ввести обозначение: t=(x-xn)/h, то получим 2-ый ИМ Ньютона:
(6)
─ n ≤ t ≤ 0; t=(x-xn)/h
Оценка погрешности:
; -n ≤ t ≤ 0; x є [x0;xn], μ=max│f(n+1)(x)│
Решение: