- •Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •Предельная форма
- •Доказательство
- •Интегральный признак
- •7. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда
- •Формула Тейлора
- •Различные формы остаточного члена
- •Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
- •Яды Фурье для четных и нечетных функций
- •Двойной интеграл
- •I. Вычисление двойных интегралов с помощью двойного интегрирования.
- •Определения
- •Поверхностный интеграл первого рода [править]Определение
- •Поверхностный интеграл второго рода [править]Определение
Билеты по мат. анализу ч3
1
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм Sn, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда an представляют собой либовещественные, либо комплексные числа.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
(1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
(1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
,
а их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды
,
причём сумма каждого равна соответственно .
2
В качестве последнего примера рассмотрим геометрическую прогрессию
a + aq + aq2 + aq3 + ... (a ≠ 0). (10)
Если q = 1, то частичная сумма прогрессии имеет вид Sn = an и прогрессия расходится аналогично ряду (5). Если же q ≠ 1, то по известной формуле алгебры
Если |q| < 1, то при возрастающем n величина qn стремится к нулю и
Если q<0 – ряд сходится
q>0 – ряд расходится
q=0 – и сходится и расходится
3
Необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема: Пусть числовой ряд
u1+u2+...+un+... , |
(1) |
сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю Доказательство. Из условия теоремы имеем
Так как
Sn - Sn-1 = un
то
Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство
,
а он, однако не является сходящимся. Так гармонический ряд
,
для которого
,
расходится. Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если
,
то ряд (1) расходится. В самом деле, если бы он сходился, то
равнялся бы нулю. Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд
,
расходится, так как
4
. Простейшие свойства числовых рядов |
Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и ряд (1). Обратно, если сходится данный ряд (1), то сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких членов. Другими словами: на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть Sn – n-я частичная сумма ряда (1), Ck – сумма к отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме Sn),n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Таким образом: , где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего равенства следует, что если существует то существует и и обратно, если существует , то существует и Это и доказывает справедливость теоремы.
Теорема 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд , (2) где с – число, также сходится и его сумма равна c.S. Доказательство. Пусть Sn и n – n-е частичные суммы соответственно рядов (1) и (2). Тогда . Предел n существует, так как = =c. =c.S, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если ряды
и (3) сходятся и их суммы равны соответственно и S, то ряды (4) и (u1-v1)+ (u2-v2)+…+ (un-vn)+… (5) также сходятся и их суммы равны соответственно +S и -S. Доказательство. Докажем сходимость ряда (4). Обозначим n, и Sn – n-е частичные суммы рядов (4), (1) и (2) соответственно. Получим n=(u1+v1)+(u2+v2)+…+(un+vn)=(u1+u2+…+un)+ +(v1+v2+…+vn)= + Sn. Переходя в этом равенстве к пределу при n, получим = ( + Sn)= + Sn= + S. Таким образом, ряд (4) сходится и его сумма равна + S. Аналогично доказывается, что ряд (5) сходится и его сумма равна -S. Сделайте это самостоятельно. |
5
6
6
При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового ряда
существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера
то ряд расходится.
[править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме
Если существует предел
то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится .
Замечание. Если ρ = 1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
-
Если для числового ряда
с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.
|