Лаба 6-7по ВМ
.pdfЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6-7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.
Цель работы: научиться строить интерполяционные и аппроксимационные многочлены по заданной системе точек с помощью ЭВМ.
Содержание работы:
1.Изучить принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, I и II интерполяционных формул Ньютона и аппроксимационного полинома.
2.На конкретном примере усвоить порядок построения указанных полиномов с помощью ЭВМ.
3.Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов второго порядка для системы из трех равноотстоящих узловых точек.
4.Сделать вывод о точности построения полиномов.
5.Составить отчет о проделанной работе.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание.
1.Составить таблицу значений экспериментальной функции y sin x
сточностью 0.001 для равноотстоящей системы из трех узловых точек
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
xi |
h , |
i 0,2 на отрезке |
из области допустимых значений |
|||||
x 0; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
функции, где h 4 .
2.По сформированной системе точек построить интерполяционную формулу Лагранжа, I и II интерполяционные формулы Ньютона и аппроксимационный полином второго порядка.
3.Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек.
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Таблица значений функции y sin x с точностью |
0.001 для |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
равноотстоящей системы из трех узловых точек xi 1 |
xi |
h , |
i |
0,1 |
на от- |
|||||||||
резке |
|
|
, где h |
|
, имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0.524 |
1.047 |
1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
0.500 |
0.866 |
1.000 |
|
|
|
|
|
|
133
2. Интерполяционный полином Лагранжа.
Замечание. Так как данный полином строится для произвольной системы узловых точек, то запишем этот полином для равноотстоящих узло-
вых точек:
L2 x a0 x x1 x x2 a1 x x0 x x2 a2 x x0 x x1 ,
где коэффициенты ai , i 0,2 вычисляются так:
a0 |
|
|
|
y0 |
|
|
|
0.5 |
|
|
0.912 |
; |
|
||
|
x0 |
x1 x0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(0.524 1.047)(0.524 1.571) |
|
|
||||||||
a1 |
|
|
|
y1 |
|
|
|
0.866 |
|
3.159 |
; |
||||
x1 |
x0 x1 |
x2 |
(1.047 0.524)(1.047 1.571) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
1 |
|
1.824 . |
|
|
|||
|
x2 |
x0 x2 |
x1 |
(1.571 0.524)(1.571 1.047) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда искомый многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь
вид:
L2 (x) 0.912(x x1 )(x x2 ) 3.159(x x0 )(x x2 ) 1.824(x x0 )(x x1 ) ,
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0; |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной |
|||||||||||
системе точек строится в виде: |
|
|
t t 1 |
|
|
|
||||||
|
|
N1 t y0 t y0 |
|
2 y0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Здесь величины y |
0 |
y y |
0 |
, |
2 y |
0 |
y y |
0 |
называются таблич- |
||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ными разностями первого и второго порядков соответственно, t x x0 . h
II интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде:
N2 t' y2 t' y1 t' t' 1 2 y0 . 2!
Здесь величины y1 и 2 y0 вводятся аналогично случаю, рассмот-
ренному выше, t ' x x2 . h
При построении аппроксимационного многочлена методом наименьших квадратов необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена второго порядка
P2 (x) a2 x2 a1 x a0 .
Согласно алгоритму метода наименьших квадратов, для построения многочлена второй степени необходимо вычислить следующие суммы:
134
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
7.366; |
x |
i |
3.142; x2 |
3.838; x3 |
5.168; x4 |
||||||||
i 0 |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
2 |
|
2.366; |
2 |
|
|
|
2 |
|
3.544 , |
|
|
|
y |
i |
x |
y |
i |
2.739; x2 y |
i |
||||
|
|
i 0 |
|
i |
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
и решить систему линейных алгебраических уравнений 3-го порядка вида
(m 1)a |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
x a |
x 2 a |
|
y ; |
|
||||||||
|
0 |
|
i |
1 |
|
i |
|
2 |
|
i 0 |
i |
|
2 |
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
xi a0 |
|
xi2 a1 |
|
xi3 a2 |
xi |
yi ; |
(1) |
|||||
i 0 |
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
xi2 a0 |
xi3 a1 |
xi4 a2 |
|
xi2 yi |
|
|||||||
i 0 |
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
относительно неизвестных коэффициентов a0 , a1, a2 . В данном случае система (1) будет выглядеть так
|
3a0 3.142a1 3.838a2 2.366; |
|
|||||
|
|
|
3.838a1 |
5.168a2 |
2.739; |
(2) |
|
3.142a0 |
|||||||
3.838a |
0 |
5.168a |
7.366a |
2 |
3.544. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Для ее решения можно воспользоваться любым известным методом, например, методом Крамера. Для этого необходимо вычислить четыре определителя системы (2) вида:
|
|
2.366 |
3.142 |
3.838 |
|
|
|
3 |
2.366 |
3.838 |
|
|
1 |
|
2.739 |
3.838 |
5.168 |
0.008; 2 |
|
3.142 |
2.739 |
5.168 |
0.112; |
||
|
|
3.544 |
5.168 |
7.366 |
|
|
|
3.838 |
3.544 |
6.366 |
|
|
|
|
3.142 |
2.366 |
|
|
|
3 |
3.142 |
3.838 |
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
3 |
|
3.142 |
3.838 |
2.739 |
0.035; |
|
3.142 |
3.838 |
5.168 |
0.082. |
||
|
|
3.838 |
5.168 |
3.544 |
|
|
|
3.838 |
5.168 |
7.366 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения искомых коэффициентов вычисляются по формулам:
a |
0 |
1 |
0.098; a |
2 |
1.364; a |
2 |
3 |
0.423. |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
P2 (x) 0.423x2 1.364x 0.098.
Для проверки правильности построения полиномов необходимо провести программно процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при x x0 , x2 с одинаковым шагом
табулирования.
Графики этих функций представлены на рисунке 1. Из графика видно, что искомые полиномы на отрезке практически совпадают с экспериментальной функцией и проходят через узловые точки.
135
Замечание. Аппроксимационный полином в общем случае не проходит через узловые точки и для системы из трех узловых точек может давать погрешность, превышающую погрешность построения остальных полиномов.
1,2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
L2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
N1(t) |
0,4 |
|
|
|
|
|
N2(t') |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
P2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0,52 |
0,68 |
0,84 |
1,00 |
1,15 |
1,31 |
1,47 |
|
|
|
|
Рис.1. |
|
3. Содержание отчета.
Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод интерполяционных и аппроксимационного полиномов); графики; листинг программы; таблицу результатов; выводы о проделанной работе.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов:
1.1. Сформировать таблицу значений экспериментальной функции y f x с точностью 0.001 для равноотстоящей системы из трех узло-
вых точек xi 1 xi h , i 0,1 на отрезке x a; b из области допустимых
значений функции, где h b a . 2
1.2.Вычислить значения коэффициентов интерполяционной формулы Лагранжа ai , i 0,2 и записать непосредственно полином.
1.3.Вычислить значения табличных разностей первого и второго порядков, необходимых для построения I и II интерполяционных формул Ньютона и записать непосредственно полиномы.
1.4.Для построения аппроксимационного полинома второго порядка вычислить необходимые суммы, сформировать СЛАУ 3-го порядка, решить ее любым известным методом и записать непосредственно полином.
1.5. Осуществить процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при x x0 , x2 с одинаковым ша-
гом табулирования. Печать результатов табулирования должна осуществляться на каждом шаге в виде следующей таблицы:
136
|
xi |
|
f xi |
L2 xi |
|
|
|
f xi L2 xi |
|
|
N1 xi |
|
|
|
f x |
N |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N2 |
xi |
|
f x |
N |
|
x |
|
|
P2 xi |
|
f xi P2 xi |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Провести вычислительные эксперименты.
3.Построить графики всех приведенных в таблице функций.
4.Составить отчет о проделанной работе.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
№ вари- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
№ вари- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
||||||||||||||||||
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
15tg 1 2x |
2 |
|
12 |
17 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
7.5e3sin x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
12x |
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17tg 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
3.2ecos x 4 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1 |
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
3 |
4 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
5 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
1.5e |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14e |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
7 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
5 |
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
18sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
18 |
2.3cos |
5x 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
19 |
e x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8 |
x 2 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.8 e x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2.4 cose |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
e 3 x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3 |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.3sin x e 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137