- •Кафедра інформаційних систем і технологій на залізничному транспорті Рисцова а.Ю.
- •Передмова
- •Тема 1. Похибки чисельного рішення задачі Лабораторна робота № 1
- •Тема 1. Похибки чисельного рішення задачі Лабораторна робота № 2
- •Тема 1. Похибки чисельного рішення задачі. Лабораторна робота № 3
- •Тема 2. Чисельні методи наближення функцій. (Інтерполяція та середньоквадратичне наближення функцій.) Лабораторна робота № 4
- •Сутність інтерполяції складається в пошуку значення функції в деякій проміжній точці. Найпростішим видом інтерполяції є лінійна інтерполяція.
- •Тема 3. Математичні моделі інженерних задач. (Чисельні методи розв’язку математичних моделей, що задаються системами лінійних алгебраїчних рівнянь) Лабораторна робота № 7
- •Тема 3. Математичні моделі інженерних задач. (Чисельні методи розв’язку математичних моделей, що задаються системами нелінійних алгебраїчних рівнянь) Лабораторна робота № 8
- •Вивчити навчальний матеріал і підготувати відповіді на контрольні питання.
- •Індивідуальні завдання
- •Тема 3. Математичні моделі інженерних задач. (Чисельні методи розв’язку математичних моделей задач про власні значення) Лабораторна робота № 9
- •Тема 3. Математичні моделі інженерних задач. (Математичні моделі задач механічного руху твердого тіла) Лабораторна робота № 10
- •Вивчити навчальний матеріал і підготувати відповіді на контрольні питання.
- •Наприклад, у диференціальному рівнянні другого порядку:
- •Тема 3. Математичні моделі інженерних задач. (Математичні моделі задач механічного руху твердого тіла) Лабораторна робота № 11
- •Тема 4. Рішення математичних моделей задач оптимізації Лабораторна робота № 12.
- •Вивчити навчальний матеріал і підготувати відповіді на контрольні питання.
- •Література
- •03049, Київ-49, вул. Миколи Лукашевича, 19.
Міністерство транспорту та зв’язку України
Державний економіко-технологічний університет транспорту
Кафедра інформаційних систем і технологій на залізничному транспорті Рисцова а.Ю.
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних та самостійних і курсових робіт студентів спеціальності «Комп’ютерні інформаційно-керуючі системи на залізничному транспорті»
усіх форм навчання
Київ 2008
Методичні вказівки розглянуті та затверджені на засіданні кафедри (протокол № 1 від 30.08.2007р.), та на засіданні методичної ради університету (протокол № від р.).
Методичні вказівки містять опис лабораторних робіт, методику їх виконання, а також варіанти індивідуальних завдань.
Призначені для студентів спеціальності «комп’ютерні інформаційно-керуючи системи на залізничному транспорті», «автоматичні системи телекомунікації та зв’язку» усіх форм навчання і відповідають програмі курсу «Чисельні методи та математичне моделювання на ЕОМ».
Укладачі: А. Ю. Рисцова, канд. фіз.-мат. наук.
Рецензенти: Т.В.Крижановська, канд. фіз.-мат. наук;
А.В.Кузьмін, канд. фіз.-мат. наук.
ЗМІСТ
Передмова
Методичні вказівки розроблені на базі програми курсу “Чисельні методи та математичне моделювання на ЕОМ”.
Вони містять методичний матеріал та індивідуальні завдання для виконання лабораторних та самостійних і курсових робіт студентами як під керівництвом викладача під час аудиторних занять, так і самостійно на базі лекційного матеріалу.
До складу робіт увійшли основні теми з програми курсу. Підготовка до виконання роботи вимагає від студентів знань з курсів “Вища математика”, “Комп’ютерна техніка та програмування”, „Алгоритмізація та виконання обчислювальних робіт” в обсязі програм для ВТНЗ.
Теоретичний матеріал подається у скороченій формі. Для детальнішого розгляду теоретичних матеріалів слід використовувати навчальний посібник з списку літератури за №1.
Тема 1. Похибки чисельного рішення задачі Лабораторна робота № 1
1. МЕТА РОБОТИ
-
Навчитися аналізувати похибки, що впливають на кінцевий результат рішення прикладної задачі.
-
Навчитися оцінювати загальну похибку чисельного рішення задачі.
2. ЗАВДАННЯ ТА ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ
-
Вивчити та законспектувати теоретичний матеріал, що наведено у методичних вказівках цієї лабораторної
-
Підрахувати та пояснити кількість значущих цифр у наближених значеннях прикладів.
-
Підрахувати абсолютну похибку чисел у прикладах.
-
Вказати, скільки вірних цифр містять наближення у прикладах.
Приклади
-
Нехай маємо точне значення x=0,0304503, а наближене значення x*=0,03045.
-
Нехай маємо точне значення x=0,030450008, а наближене значення x*=0,03045.
-
Нехай маємо точне значення x=0,03043, а наближене значення x*=0,03045.
-
Нехай маємо точне значення x=0,03022, а наближене значення x*=0,03045.
-
Нехай маємо точне значення x=0,03, а наближене значення x*=0,03045.
3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
-
Що таке значуща цифра?
-
Що таке вірна цифра?
-
Які бувають похибки при проведенні обчислювального експерименту?
4. ЗМІСТ ЗВІТУ
У звіті повинно міститься відповіді на контрольні питання та виконання прикладів з поясненням.
Приклади повинні бути виконані у зошиті та містити всі розрахунки та проміжні дані, що проводилися.
Не потребується використання для розрахунків ЕОМ та калькулятор.
5. ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ
За часи існування ЕОМ найбільш поширеними формами запису чисел у машині були форма запису числа з фіксованою комою та форма запису числа з плаваючою комою.
Фіксована кома
Усі числа у ЕОМ мають модуль менший за одиницю, а кількість знаків після коми фіксовано. Тоді машина оперує з числами , де q-ціла основа системи числення, a1, .,at цілі у межах від 0 до q.
Плаваюча кома
Машина оперує з числами де p порядок числа обмежений деякою величиною. На більшості машин ця величина дорівнює 64. Кількість розрядів у числі t може задаватися у деяких випадках користувачем.
Обмеження на представлення числа у ЕОМ може привести до перерви обчислень або до неприпустимого погіршення результату за рахунок обчислювальної похибки. Така ситуація можлива у „нестійких” алгоритмах.
Саме побудова „стійких” алгоритмів є задачею теорії чисельних методів.
Похибка при рішенні прикладної задачі обумовлена наступними причинами:
-
Математичний опис прикладної задачі є неточним, неточними є початкові дані
-
Чисельний метод, що застосовується для розв’язку математичної моделі потребує нескінченну кількість кроків у алгоритмі, тому замість точного рішення математичних рівнянь отримують наближені
-
Завдання даних у ЕОМ, виконання арифметичних операцій та виведення результату проводиться з округленням.
Похибки, що виникають з цих причин називаються:
-
похибка, що не ліквідується („спадщина”);
-
похибка методу;
-
обчислювальна похибка.
Нехай x точне значення параметру, що шукається у прикладній задачі. Тоді є значення того параметру для математичної моделі ( точне рішення математичних рівнянь), розв’язок математичних рівнянь за чисельним методом при припущенні, що немає округлення. І, нарешті, наближений розв’язок, що отримуємо при реальних обчисленнях на ЕОМ.
Тоді маємо оцінювати:
Якщо x точне значення параметру, що шукається, а x* відоме наближення до нього, то величину коли
називають абсолютною похибкою, а величину коли
називають відносною похибкою.
Для функцій визначається гранична абсолютна та гранична відносна похибка за формулами:
Гранична похибка суми або різниці дорівнює сумі граничних похибок.
Гранична відносна похибка добутку або частки наближено дорівнює сумі граничних відносних похибок.
Значущими цифрами числа називають усі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової.
Значущу цифру називають вірною , як що абсолютна похибка числа не перевищує одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.