- •1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.
- •2. Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. (см1)
- •3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
- •4. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.
- •5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.
- •6. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •7. Таблица интегралов.
- •8. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное, подстановки, по частям, разложение дроби на простейшие, тригонометрических функций.
- •9. Определенный интеграл и его геометрический смысл
- •10. Свойства определенного интеграла
- •11. Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (!) )
- •12. Методы интегрирования определенного интеграла
- •13) Геометрические приложения определенного интеграла
- •14. Несобственные интегралы первого рода
- •15. Несобственные интегралы второго рода
- •16. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
- •19. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнение Бернулли.
- •27. Элементы комбинаторики: правила суммы и произведения.
- •28. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Противоположные события. Примеры.
- •29. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
- •30. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
- •31. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
- •32. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •33. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
- •34. Повторные независимые испытания: постановка задачи, формула Бернулли.
- •35. Локальная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.
- •40. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.
- •41. Свойства интегральной функции распределения.
- •47. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •52. Закон больших чисел: неравенство Чебышева.
- •53. Теорема Чебышева.
- •54. Теорема Бернулли.
- •55. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •56. Генеральная совокупность и выборка: основные определения и понятия.
- •57. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма.
- •58. Точечные и интервальные статистические оценки и их свойства.
- •59. Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении вычисляется по формуле
- •60. Корреляция и регрессия. Метод наименьших квадратов.
- •61. Проверка статистических гипотез. Основные понятия.
1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.
Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)
Область определения функции z - совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.
Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.
График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)
Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию<r
2. Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. (см1)
3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки М(х,у) к точке М0(х0,уо), если для любого числа Е>0 найдётся такое число r>0, что для любой точки М(х,у), для которых верно условие ММ0<r также верно условие
Записывают:
Пусть точка М0(х0,у0) принадлежит области определения функции f(x,y). Тогда функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0(х0,у0), если , причём точка М(х,у) стремится к точке М0(х0,у0) произвольным образом.
Если в какой-либо точке условие не выполняется, то эта точка разрыва функции f(x,y). Это может быть в случаях:
Функция z=f(x,y) не определена в точке М0(х0,уо)
Не существует предел в точке М0(х0,уо),
Этот предел существует, но не равно f(х0,уо)
4. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.
Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:, где А1, А2, …, Аm – некоторые не зависящие от ∆х1, ∆х2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х1=∆х2=…∆хm=0.
Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен: =
Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:: =
Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у).
dz=(x,y)dx+(x,y)dy
Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f’x(x,y), f’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.
; ; |
; . |
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.
5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.
Точка max М0 – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0,у0), верно неравенство f(x0,y0)≥f(x,y)
Точка min М0 – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0,у0), верно неравенство f(x0,y0)≤f(x,y)
Необходимое условие: если функция f(x,y) в точке (х0,у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны 0
f´y(x0,y0)=0, f´x(x0,y0)=0,
либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будут называть критической точкой.
Достаточное условие: пусть в окрестности критической точки (х0,у0) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.
Рассмотрим выражение:
Если ∆(х0,у0)>0, то в точке (х0, у0) функция f(x,y) имеет экстремум,
Если (x0, y0)<0 – max, если (x0, y0)>0 – min.
Если ∆(х0,у0)<0, то в точке (х0,у0) функция f(x,y) не имеет экстремума.
Если ∆=0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.