Rozrakh_oper_Chislennya
.pdfВаріант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Дослідити на збіжність ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1)еҐ |
n sin |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
2)еҐ sin2 n |
n |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)еҐ |
|
|
|
|
2 |
|
|
; 4)еҐ |
|
|
n + 1 |
|
; |
|
|
||||||||||||
|
n |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||
n = 1 5 |
|
|
|
+ n - 1 |
|
|
|
n = 2 2 |
(n - 1)! |
|
|||||||||||||||||
Ґ |
1 |
|
|
|
|
n |
- |
n 2 |
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
6)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
n |
|
(n + 1 ) |
|
|
|
|
|
2 |
(3n |
+ 1) |
||||||||||||||||
n = 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
n = 2 n ln |
|
|
|||||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
|
|
|
2n |
+ |
1 |
|
|
|
Ґ |
|
|
(- 1)n + 1 |
|
||||||||||
7)е |
(- |
1)n |
|
|
|
|
|
|
; 8)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1) |
|
|||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
n(n + 1) |
n = 1 |
|
3 (n + |
|
|
|
|||||||||||||||
Ґ |
(x - |
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
(x + 3)2n |
|
|||||||||||||
9)е |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
10)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3) |
|
|||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 2 (2n + |
|
|
||||||||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
; 2)еҐ |
1 + 2n |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n = 1 9n |
|
|
+ 12n - 5 |
n = 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3)еҐ |
(- x)n - 1 (1 + |
|
n1 ); 4)еҐ |
(n + 1)x n + 1. |
|
||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Розвинути в ряд Тейлора функцію:
1)sin3 x, x0 = 0;
2) |
|
9 |
|
|
|
, x0 = 0; 3) 1 |
, x0 = - 2; |
|
||||||
|
x - |
x 2 |
|
|||||||||||
20 - |
|
|
|
|
|
|
x |
0 (до x 3 ). |
|
|||||
4)y(x ) : y ў= |
xy + ey , y(0) = |
|
||||||||||||
4. Обчислити з точністюe = |
10- 3 : |
|
||||||||||||
1)еҐ (- |
51)nn2+ 1; |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2)тe- 6x 2dx. |
|
|||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
|||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
|
y |
g(x) |
||||||||||
частотний спектр: |
1 |
|
|
|||||||||||
1) f (x) = g(x ),T = 2; |
|
|
O |
1 2 |
x |
|||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, |
- p Ј |
|
|
x < |
0, |
|
|||||
|
|
|
п |
|
|
|
||||||||
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
н |
|
|
|
1, 0 Ј |
|
|
x Ј |
p; |
|
|||||
|
|
|
пx - |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f (x ) = |
x 2 + |
1, x О (0;p) за косинусами; |
||||||||||||
4) f (x ) = |
x 2 + |
1, x О (0;p) за синусами. |
||||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
f (t ) = e- 2 |
|
t |
|
, t О R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. Знайти всі значення функції: |
|
|
||
1) 4 - 1; 2) sin |
(4 |
) |
|
i 3)- 3i . |
p + 2i |
; 3) (- 1 |
+ |
8. Зобразити множину точок
{z О Ј | z - 1 Ј 1, z + 1 > 2}.
9. Відновити аналітичну функцію |
f (z), як- |
||||||
що Re f (z) = x 2 - |
y 2 + x, f (0) = |
0. |
|||||
10. Обчислити |
інтеграл тz Re zdz, деL : |
||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
1) |
|
z |
|
= 2, 0 Ј |
arg z |
Ј p; 2)[0;1] И[1;1 + i ]. |
|
|
|
11. Знайти всі лоранівські розвиненняфункції:
1) |
z - |
2 |
|
|
, z0 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
||
2z 3 + z 2 - z |
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
z + |
1 |
, z |
0 |
= 1 |
+ |
2i; 3) z cos |
1 |
|
, z |
0 |
= 2. |
||
z(z - |
1) |
z - |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) sin ze-9z z- +1 16 z 3 , z0 = 13. Обчислити інтеграл:
1) тi |
dz |
|||
|
; |
|||
z(z 2 + 1) |
||||
|
z |
= 1 2 |
|
|
0; 2)e1 z sin z1 .
2 |
- 1dz; |
||
2) тi cos zz 4 |
|||
|
z |
= 1 |
|
3) тi |
|
3pz - |
|
sin 3pz |
|
|
2p |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dz; 4)т |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
- |
sh |
2 |
2 |
|
2 + |
3 sin t |
|||||||||||||||||||
|
z |
|
= 0,2 |
|
|
p z |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ Ґ |
|
|
|
x 2 - |
x + 2 |
|
|
|
Ґ |
|
|
x sin 3x |
|
|
|||||||||||||||
5) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
6)т |
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||
x |
4 |
+ 10x |
2 |
|
+ 9 |
(x |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
- Ґ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
+ 4) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
t |
Ј 2, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
- 2t |
cost |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1)t |
2 |
sin 2t; 2) |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 3)н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
, |
|
t |
> |
|
2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) y ў+ 2y |
= |
h(t ) + |
h(t - |
3), y(0) = |
1; |
|
|
||||||||||||||||||||||
2) y |
ўў |
+ y = |
6e |
- t |
, y(0) = |
|
ў |
|
= 1; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3, y (0) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) y |
ўў |
|
y = |
t h t, y(0) = |
ў |
|
|
= |
0; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
- |
y (0) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
мx ў |
= |
x + |
3y + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = |
- |
1, y(0) = |
2. |
|||||||||||
4)н |
|
|
|
= |
x - |
y |
+ 1, |
|
|||||||||||||||||||||
|
пy ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
y(x) = sin x + т(x - t )y(t )dt.
0
4
Варіант 2
1. Дослідити на збіжність ряд:
Ґ |
1 - 3n 2 |
Ґ |
2 + (- 1)n |
|
|||||
1)е |
2)е n sin |
|
|||||||
|
|
|
|
; |
|
3 |
; |
||
100n |
2 |
|
|
n |
|||||
n = 0 |
|
+ n + 1 |
n = 1 |
|
|
||||
3)еҐ 1 t g |
1 |
; |
|
4)еҐ (nn!)2 2 |
; |
|
|
||
|
n |
|
|
|
|||||
n = 1 n |
|
|
|
n = 1 2 |
|
|
|
Ґ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
n 2 |
|
||||
5)е |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
) |
; |
||
|
n |
|
n |
2 |
|||||||||
n = 1 |
4 |
( |
|
|
|
|
|
||||||
7)еҐ |
(- |
|
|
|
n |
|
|
|
|
)n ; |
|
||
|
2n + 1 |
|
|||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ґ |
(x + |
1)n |
; |
|
|
|
|
|
|||||
9)е |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
||||
n = 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Знайти суму ряду:
Ґ |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
1)е |
|
|
|
|
|
; |
||
9n |
2 |
- |
12n |
- 5 |
||||
n = 1 |
|
|
||||||
3)еҐ |
|
x 2n |
|
; |
|
|
||
2n - |
2 |
|
|
|||||
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
6)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
2 |
(2n + |
1) |
|||||||
n = 1 n ln |
|
|
|
|||||||||||
8)еҐ |
|
|
(- |
1)n |
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n = 0 |
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|||||||
10)еҐ |
|
|
|
(x - |
|
2)n |
. |
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
n = 1 n |
|
ln (1 + |
n1 ) |
|||||||||||
2)еҐ |
|
3n |
+ |
4n |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
n = 0 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4)еҐ |
(n - 1)x n . |
|
|
|
||||||||||
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Розвинути в ряд Тейлора функцію:
1)cos x, x0 = p2 ;
2) |
x 2 |
|
, x0 = 0; 3) |
|
1 |
, x0 = - 2; |
|||||||||||||
|
|
x + 3 |
|||||||||||||||||
|
4 - 5x |
x 2y 2 + |
|
|
1 (до x 3 ). |
||||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
1, y(0) = |
||||||||||||||||||
4. Обчислити з точністю e = |
10- 4 : |
|
|
||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
||
1)е (- 1)n + 1 |
; |
|
|
|
2)т sin(100x 2 )dx. |
|
|||||||||||||
n ! |
|
|
|
|
|||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
||||||||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
|
|
y |
|
|
|
|
g(x) |
||||||||||
частотний спектр: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) f (x) = g(x),T = 4; |
|
|
O |
2 |
|
4 |
x |
||||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1, |
- p Ј x Ј 0, |
|
|
|||||||||||||
|
|
п2x - |
|
|
|||||||||||||||
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
н |
0, |
|
|
|
0 < x Ј p; |
|
|
||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f (x ) = |
x 2 + |
2, x |
О(0;p) за косинусами; |
||||||||||||||||
4) f (x ) = |
x 2 + |
2, x |
О(0;p) за синусами. |
||||||||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f (t ) = |
cost, |
|
t |
|
|
Ј |
p; f (t ) = |
0, |
|
t |
|
> p |
||||||
|
|
|
|
|
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. Знайти всі значення функції:
1) |
2 |
3i ; 2) sin |
(6 |
) |
4 - 1 + |
p + 2i |
; 3) Arcsin 4. |
8. Зобразити множину точок
{z О Ј | z + i і 1, z < 2}.
9. Відновити аналітичну функцію f (z), як-
що Re f (z) = x 3 - |
3xy 2 + 1, f (0) = |
1. |
||
10. Обчислити інтеграл т |
z |
2dz, |
деL : |
|
1) z = x + ix 2, 0 ® |
L |
|
||
1 + i; 2)[0;1] И[1;1 + i ]. |
11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
z - |
4 |
, z0 |
= 0; |
|
|
|
|
||
z 4 + z 3 - 2z 2 |
|
|
|
|
||||||
2) |
z + |
1 |
, z0 = |
2 - |
3i; 3) sin |
z |
|
, z0 = |
1. |
|
z(z - |
1) |
z - |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) z 3e7 z 2 , z0 |
= 0; |
|
|
|
|
2) |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тi |
|
|
|
|
|
|
2dz |
|
|
|
|
2) тi |
2 - |
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
4z 3 |
dz; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z 2 |
(z - 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z - 1- i |
= 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 z 2 |
|
|
|
z |
= 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos 3z - |
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
2p |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) тi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dz; 4)т |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
z |
4 |
sh |
9z |
|
|
|
4 + |
|
|
15 sin t |
|||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
= 1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ґ |
|
(x - |
1) sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ґ |
|
|
x - |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5) т |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx; |
|
6) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
|
|
(x |
+ |
9) |
|
|
(x |
2 |
+ 4) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
- Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Ґ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2t |
|
|
|
|
|
мg(t ), 0 Ј t Ј 4, |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
sin t |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1)t |
|
cos 3t; 2) |
|
|
|
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t 2, |
t |
> |
4. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1) y ў+ 4y = |
|
2(h(t ) + |
h(t - |
|
1)), y(0) = |
0; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2) y |
ўў |
y |
ў |
= |
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ў |
= |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
- |
|
|
|
|
, y(0) = 0, y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ўў |
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) y |
y |
= |
|
1 + et , y(0) = |
|
|
= |
|
0; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
- |
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
мx ў= - x + 3y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = 1, y(0) = |
|
2. |
|
||||||||||||||
4)н |
|
|
|
|
x + y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
пy ў= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
y(x) = x - тex - t y(t )dt.
5
Варіант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. Дослідити на збіжність ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
n + 1 |
n |
; |
|
|
2)еҐ |
cos2 (p2n |
|
2); |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n = 1(n + 3 ) |
|
|
|
|
|
|
n = 1 n(n + 1) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Ґ |
ln n |
2 |
|
5; |
|
|
|
|
Ґ |
n + 1 |
(n |
3 |
|
|
1); |
||||||||||||
3)е |
2 + |
|
|
4)е |
2 |
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
n = 1 |
|
|
|
|
n |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
(n + 1)! |
|
||||||||||||
|
|
Ґ |
ж |
|
|
|
2 |
+ |
1 |
цn 2 |
|
|
|
Ґ |
ln |
- |
2 |
(2n + |
1) |
||||||||||
5) |
е |
з |
2n |
|
ч |
|
6) |
е |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
ч ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
з |
|
|
|
+ 1 |
ч |
|
|
|
|
(2n + 3) |
|
|||||||||||||||||
n = 1 |
иn |
|
|
ш |
|
|
n = 1 |
|
|
||||||||||||||||||||
7)еҐ |
|
|
(- 1)n + 1 |
|
; |
|
|
8)еҐ (- 1)n + 1n ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n = 2 ln(n + 1) |
|
|
|
|
n = 1 (6n + 5) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Ґ |
(x + |
2)n |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
(x - 1)2n |
|
|
|||||||||||||||
9)е |
|
|
|
n |
3 |
n |
; |
|
|
10)е |
|
|
|
|
n . |
|
|||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
n 9 |
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
; 2)еҐ 2n +n 5n ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
+ 6n - 8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n = 1 9n |
|
|
|
n = 0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3)еҐ |
(- 1)n + 1 x n + 2 ; 4)еҐ |
|
(n + 1)x n + 3. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) ln(1 - |
|
x - |
6x 2 ), x0 = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) |
|
|
1 |
|
|
|
|
, x0 = 0; 3)ex , x0 = 1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5 1 + x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
x 2 - |
y 2, y(0) = |
(до x 3 ). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Обчислити з точністю e = |
10- 3 : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1)е (- |
81)n 3 |
; |
|
|
|
2)т cos x 2dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
||||||||||||||||||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|||||||||||||||||||
частотний спектр: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) f (x) = g(x ),T = 6; |
|
|
O |
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
- p Ј |
|
x < |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) f (x ) = |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
н |
|
|
|
2, |
0 Ј |
x Ј p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f (x ) = |
|
x 2 + |
3, x |
О(0; p) за косинусами; |
|||||||||||||||||||||||||
4) f (x ) = |
|
x 2 + |
3, x |
О (0;p) за синусами. |
|||||||||||||||||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
f (t ) = |
|
sin t,t |
О[0;p ]; f (t ) = 0,t |
П [0;p ] |
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. |
Знайти всі значення функції: |
|
|
|||||||
1) 3 1; |
2) Ln 6; |
3) Arcsin(- 2). |
|
|
||||||
8. |
Зобразити множину точок |
|
|
|||||||
|
|
{z О Ј | |
|
z - i |
|
Ј 2, Re z > 1}. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
9. |
Відновити аналітичну функцію |
f (z), |
як- |
|||||||
що Im f (z) = ex (y cos y + x sin y), f (0) = |
0. |
|||||||||
10. Обчислити |
інтеграл тzdz, |
де |
L : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
L |
|
|
1) z = |
x + i sin x, 0 ® |
+ i; |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2) йл0; p2 щыИ йлp2 ; p2 + i щы.
11. Знайти всі лоранівські розвиненняфункції:
1) |
3z - |
18 |
, z0 |
= 0; |
|
2z 3 + 3z 2 - 9z |
|||||
2) |
z + 1 |
, z0 = - 3 - 2i; 3)zez (z - 5), z0 = 5. |
|||
z(z - 1) |
|||||
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
|
|
|
sin 8z - |
6z |
|
|
|
, z |
0 |
= |
|
|
0; |
|
|
2) tg2 z. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
cos z - |
|
|
|
1 + |
1 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
e1 z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) тi |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2) тi |
|
+ 1 |
dz; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
z(z 2 + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z - i |
= 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
тi |
|
sh 2pz - 2pz |
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
dz; 4)т |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 2 sin2 pz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 + 2 |
6 sin t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
= 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ґ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||
5) т |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
6) т |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
|
+ 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
4 |
+ 1) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
- |
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
Ґ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
t |
Ј 6, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh t |
|
- 2t |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1)(t |
|
|
+ 1) sin 2t;2) |
e |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
;3)н |
|
|
|
|
t |
> |
6. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п t 3, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2y ў+ y |
|
|
|
= |
h(t ) - |
|
|
h(t - |
|
|
2),y(0) = |
2; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2)y |
ўў |
+ |
|
y |
ў |
= |
t |
2 |
+ |
|
2t,y(0) |
= |
|
|
|
|
|
ў |
|
|
- 2; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,y (0) = |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ўў |
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3)y |
|
|
|
- |
|
2y |
|
|
+ |
|
y = |
|
1 + t 2 , y(0) = |
y(0) = |
0; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
мx ў= |
x + 4y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
= |
|
1, y(0) = |
0. |
|
|
|||||||||||
н |
|
|
|
|
|
2x - |
|
y + 9, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
пy ў= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
т ch(x - t )y(t )dt = x.
0
6
Варіант 4
1. Дослідити на збіжність ряд:
1)еҐ |
2n t g |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
2)еҐ |
|
|
ln n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n = 0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)еҐ |
1 |
|
sin |
1; |
|
|
|
|
|
4)еҐ |
|
10n n ! |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n = 1 n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 (2n )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5)еҐ |
n 4 |
|
|
|
|
2n |
|
|
n |
; |
|
|
6)еҐ |
ln- 2(4n - 7) |
; |
|||||||||||||||||
(3n + 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
n = 3 |
|
|
|
(3n - 5) |
|||||||||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
|
(- 1)n |
|
|
|
|
Ґ |
|
(- 1)n + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
7)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
8)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
(ln ln n ) |
2 |
n ln n |
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ґ |
(x - 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
2n + 3 |
||||||||||||||||||
9)е |
|
n |
3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
10)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
5 |
x |
2n |
||||||||||||||
n = 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 (n + |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
; 2)еҐ 5n - n2n ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
+ 21n - |
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n = 1 9n |
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ґ |
(- 1)n - 1x |
2n - 1 |
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 4)е (n + 2)x n + 2. |
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1) |
|||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
4 (2n - |
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2x cos2 (x )- |
x, x0 |
|
|
= |
0;2) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, x |
0 = 3; |
|||||||||||||||||
|
|
2x + |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6x 2 ), x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) ln(1 - |
|
x - |
|
= |
0; |
|
|
|
|
1 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
|
x 3 + |
y 3, y(0) = |
до x 3 ). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Обчислити з точністю e = |
10- 4 : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1)еҐ |
|
(- 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
; |
|
|
|
2)т |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 + x |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
n = 1 n !(2n + 1) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) та
знайти її амплітудний |
y |
g(x) |
|
|||||
частотний спектр: |
|
1 |
|
|
|
|||
1) f (x) = g(x),T = 8; |
O |
4 |
8 |
x |
||||
|
м |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
+ |
|
, - p Ј x Ј 0, |
|
|
||
2) f (x ) = |
п- x |
2 |
|
|
||||
н |
|
|
|
|
|
|
||
|
п |
0, |
|
0 < |
x Ј |
p; |
|
|
|
п |
|
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
3) f (x ) = |
x 2 + |
4, x |
О (0;p) за косинусами; |
|||||
4) f (x ) = |
x 2 + |
4, x |
О (0;p) за синусами. |
|
||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
||||
f (t ) = 2,t О[- 2;- |
1]; f (t ) = |
0,t П [- |
2;- |
1] |
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. Знайти всі значення функції: |
3 |
) |
|||||||||||||
( |
|
|
4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
||
1) 3 i; 2) sh 2 + |
pi ; |
3) Arct g - 2 |
3 + 3i . |
||||||||||||
8. Зобразити множину точок |
|
|
|||||||||||||
{z О Ј | |
|
z + 1 |
|
і 1, |
|
z + i |
|
< 1}. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. Відновити аналітичну функцію |
f (z), як- |
||||||||||||||
що Re f (z) = x 2 - y 2 - 2y, f (0) = |
0. |
|
|||||||||||||
10. Обчислити |
інтеграл |
|
т Re zdz, |
деL : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
1) z = cos3 t + sin3 t,t |
О й0; |
p |
|
щ; 2)[1; 0] И[0;i ]. |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
л |
2 |
|
ы |
|
|
11. Знайти всілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
|
2z - |
16 |
|
, z0 |
= 0; |
||||
z 4 + 2z 3 - 8z 2 |
||||||||||
2) |
|
z + 1 |
, z |
0 |
= - 2 |
+ i; |
||||
z(z - 1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
3) z sin |
pz |
|
, z0 = a. |
|||||||
z - |
a |
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
|
|
|
|
cos 7z - |
1 |
|
|
|
, z0 |
|
= |
|
0; |
2) ze1 z . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
sh z - |
|
z - |
1 z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1) тi |
|
|
2 + sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) тi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
z(z + |
2i) dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
cos z |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch 3z - 1 - |
|
2 |
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) тi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dz; 4)т |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
sin |
9z |
|
|
|
|
|
6 + |
|
35 sin t |
|||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
+ Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
x 2 cos x |
|
|
|
|
|
||||||||
5) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 6) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||
(x |
2 |
+ |
|
2 |
|
2 |
|
+ 10) |
(x |
2 |
+ |
1) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
- Ґ |
|
4) (x |
|
|
|
|
|
|
|
- Ґ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
t |
Ј |
8, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh t |
|
|
- 3t |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1)(t |
- |
|
|
1) cos 2t;2) |
e |
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
н |
4, |
|
|
|
|
t |
> |
8. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1)y |
ўў |
+ y |
= |
h(t ) + |
|
h(t - |
2), y(0) = |
|
ў |
|
|
|
|
0; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y (0) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)y |
|
ўў |
|
|
|
y |
= |
cos 3t, y(0) = |
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
- |
|
1, y (0) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3)y |
|
ўў |
- 2y |
ў |
+ 2y = |
2e |
t |
cost, y(0) = |
|
ў |
|
|
|
|
0; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мx ў= |
x + 2y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) |
= |
0,y(0) = |
1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
н |
|
|
|
|
|
= |
4x |
- |
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
пy ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
y(x) = cos x + т(x - t )y(t )dt.
0
7
Варіант 5
1. Дослідити на збіжність ряд:
1)еҐ |
|
2n + 1 |
1 |
|
|
|
|
|
2)еҐ 2 + (- 1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
n = 1(2n - 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 n - ln n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3)еҐ |
|
1 arctg |
|
|
1 |
|
|
|
; |
4)еҐ |
(2n + 2)! |
Ч |
|
1 |
; |
||||||||||||||
3 |
n - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
n = 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 3n + 5 2 |
|||||||||||||||||
Ґ |
|
2n |
+ 1 n 2 |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
ln- 2(5n + 2) |
||||||||||||||||||
5)е |
(3n |
- 2 ) |
|
; |
|
|
|
|
6)е |
|
|
(3n |
+ 4) |
|
; |
|
|||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ґ |
|
|
(- 1)n 2n 3 |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
(- 1)n + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
8)е |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
4 |
- |
n |
2 |
+ 1 |
|
|
|
n |
|
+ 1) |
|
|
|
||||||||||||||
n = 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
3 (n |
|
|
|
|
||||||||||||||
Ґ |
(x + |
3)n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
(- 1)n (x - 2)2n |
||||||||||||||||
9)е |
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10)е |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
. |
||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
2)еҐ 4n - n 3n ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
+ 8n + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n = 1 4n |
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3)еҐ |
1 + (- 1)n |
|
x 2n + 1;4)еҐ |
(5n + |
4)x n . |
|
|
||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) sh 2x - |
2, x0 |
|
= |
0; 2) |
|
|
1 |
|
|
|
, x |
0 = |
|
1; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) ln(x 2 + |
4x + |
3), x0 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
x + |
y 2, y(0) = |
- |
1 (до x 3 ). |
|||||||||||||||||||||||||
4. Обчислити з точністю e = |
10- 3 : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
0,1 |
1 - e |
- 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||
1)е (- 1)n |
|
|
|
|
2)т |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
x |
dx. |
|||||||||||||||||||||
n 3(n + 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
||||||||||||||||||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
|
|
y |
|
|
|
|
g(x) |
||||||||||||||||||||
частотний спектр: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) f (x) = |
g(x ),T |
= 10; |
|
O |
|
|
|
5 |
10 x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
- p Ј |
x < |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
+ 1, |
|
0 Ј |
x Ј |
p; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) f (x ) = |
x 2 + |
5, x О(0;p) за косинусами; |
|||||||||||||||||||||||||||
4) f (x ) = |
x 2 + |
5, x О (0;p) за синусами. |
|||||||||||||||||||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (t ) = e- t , t і 0; f (t ) = - et , t < 0 |
|
|
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. Знайти всі значення функції:
1) |
4 1; 2) ch 2 + |
pi |
; 3) Arcsin 3i. |
|
( |
2 |
) |
8. Зобразити множину точок
{z О Ј | z + 1 < 1, z - i Ј 1}.
9. Відновити аналітичну функцію f (z), як-
що Re f (z) = (ex + e- x ) cos y, f (0) = 2.
10. Обчислити інтеграл |
тz Im zdz, деL : |
||||
|
|
|
L |
p |
щ |
1) z |
= |
3 cost + i2 sin t,t |
й |
||
О 0; |
; |
||||
2) x |
|
y = 1, 3 ® 2i. |
л |
2 ы |
|
+ |
|
|
|
||
3 |
|
2 |
|
|
|
11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
5z - |
50 |
|
, z0 = 0; |
|
|
|
|
|
|||
2z 3 + 5z 2 - 25z |
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
z + |
1 |
|
, z |
0 |
= - 2 + i; 3) z cos |
pz |
|
, z |
0 |
= a. |
|
z(z - |
1) |
|
z - |
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
|
|
|
|
|
|
sh 6z - |
|
6z |
|
|
, z |
0 = |
|
0; 2) |
|
|
ez |
- |
1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
ch z - |
|
1 - |
|
1 |
|
2 |
|
z |
3 |
(z + |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
тi |
|
|
e2z - 1 - 2z |
dz; |
|
2) |
|
тi |
|
|
ez - 1 |
dz; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z sh2 4iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
= 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z - 3 |
= 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
тi |
|
1 - |
2z + 4z 3 |
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 + |
4 |
3 sin t |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
(x + 1) cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ґ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
6) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
x |
4 |
|
+ 5x |
2 |
+ 6 |
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
- Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ґ |
|
|
- x + 1) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
t |
Ј 10, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch t |
|
|
|
- 2t |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1)t(ch t + |
sh t );2) |
|
e |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
; 3)н |
2t 4, |
|
|
|
t |
> |
10. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1)y ў+ |
3y |
= |
|
2h(t ) - |
|
|
h(t - 1), y(0) = |
3; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2)y |
|
|
ўў |
+ y |
ў |
+ |
y = |
|
7e |
2t |
, y(0) = |
|
|
|
ў |
|
|
4; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y (0) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3)y |
|
|
|
ўў |
|
|
y |
= |
t h |
2 |
t, y(0) = |
|
ў |
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
y (0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
мx ў |
= |
|
2x + 5y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = |
1, y(0) = |
1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
н |
ў= |
|
x - |
|
2y + 2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
y(x) = e2x + тet - x y(t )dt.
0
8
Варіант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. Дослідити на збіжність ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
arct g( |
1+ (- 1)n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
n |
2 |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+ |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3)еҐ |
|
|
(n |
2 + |
3) |
2 |
; |
|
|
|
4)еҐ |
|
n + 5 sin |
2 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n = 1 n |
|
+ ln n |
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 n ! |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5)еҐ |
|
|
2n + 2 |
|
|
|
n |
n 3; 6)еҐ |
ln- 2(n 5 + 2) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(3n + 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
2n + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
(- |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7)е |
|
|
|
|
|
(- 1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
8)е |
1) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n = 3 (n + 1) ln n |
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9)еҐ |
(x +n |
|
1)2 n |
; |
|
|
|
|
|
|
10)еҐ |
(x - |
5)2n + 1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n = 1 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 3n + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
3n + 5n |
|
|
|
|||||||||||||||||
1)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2)е |
|
|
|
n |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
49n |
2 |
- |
28n - |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
n = 0 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3)еҐ |
- |
|
1 |
n |
1 - |
|
|
1 |
; 4)еҐ |
(5n + 3)x n + 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 1( |
|
x ) ( |
|
|
|
|
|
|
n ) |
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, x0 = |
0;2) sin p x |
, x0 |
= 2; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
12 + x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) ln(x 2 + |
|
2x + |
2), x0 |
= |
- 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
x + x 2 + y 2, y(0) = |
1 (до x 3 ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Обчислити з точністюe = |
10- 4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x5 )dxx . |
|
|
|
||||||||||||||
1)е |
(- 1) |
; |
|
|
|
|
|
2)т ln (1 + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(2n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
частотний спектр: |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) f (x) = g(x ),T = 2; |
|
O |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п2x + 3, - p Ј x Ј 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) f (x ) = |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
н |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
0 < x Ј |
p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
p)2, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) f (x ) = |
|
|
(x - |
|
|
|
О (0;p) за косинусами; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) f (x ) = |
|
(x - |
|
|
|
p)2, x |
О (0; p) за синусами. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f (t ) = 2 sin 3t, |
|
t |
|
Ј |
|
2p; f (t ) = |
|
0, |
|
|
|
t |
|
> |
2p |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. Знайти всі значення функції:
1) 4 - 1 -2 |
3i ; 2) Ln(1 + i); 3) Arcct g(4 +5 3i ). |
||||||||
8. Зобразити множину точок |
|||||||||
{z О Ј | |
|
z + i |
|
Ј 2, |
|
z - i |
|
> 2}. |
|
|
|
|
|
9. Відновити аналітичну функцію f (z), як-
що Re f (z) = |
|
|
x |
, f (1) = 1 + i. |
|||
x 2 + y 2 |
|||||||
10. Обчислити |
інтеграл тzzdz, деL : |
||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
1)y = 1 - 2x, i |
® |
|
1 |
; 2)[0;1] И[1;1 + i ]. |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
3z - |
36 |
|
, z0 = 0; |
|
|
|
|
||
z 4 + 3z 3 - 18z 2 |
|
|
|
|
||||||
2) |
z - 1 |
, z |
0 |
= 2 |
- i; 3) sin |
5z |
, z |
0 |
= 2i. |
|
z(z + 1) |
z - 2i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
ch 5z |
- |
1 |
|
, z0 = |
|
0; 2) |
|
|
|
|
|
z 2 + 1 |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
e |
z |
|
- 1 |
- |
z |
|
(z - |
|
|
2 |
2 |
+ |
4) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i) (z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
тi |
|
|
|
z(sin z + 2) |
dz; 2) тi |
1 - |
cos z |
|
dz; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z - 3 2 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
тi |
|
e4z |
- |
|
cos 7z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
dz; |
|
|
4)т |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
z sh 2pz |
|
|
|
|
5 - 4 sin t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 5 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ґ |
(x 2 |
+ 9)- 2dx |
|
||||||||||||||
5) т |
|
|
|
|
|
|
x sin 2 |
|
|
|
|
dx; 6) т |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(x 2 |
+ 1)(x 2 + 9) |
|
x 2 + |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
- |
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
t |
|
Ј |
2, |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2t - |
cos 3t |
|
4t |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1)t |
sh 2t;2) |
e |
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
н |
3t, |
|
t |
> |
|
2. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Розв’язати задачу Коші: |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1)y |
ўў |
+ y |
= h(t ) + |
h(t - |
2),y(0) = |
|
ў |
|
|
|
|
|
0; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y (0) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)y |
|
ўў |
+ y |
ў |
|
2y = - 2(t + 1), y(0) = |
|
ў |
|
|
|
|
|
1; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
- |
|
|
y (0) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ўў |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3)y |
|
|
|
- |
|
y |
= |
|
ch t , y(0) = |
y (0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
мx ў |
= - 2x + 5y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = |
0, y(0) = |
2. |
|
|
|||||||||||||||
н |
|
|
|
|
= |
|
x + 2y + |
1, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
пy ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3(x - |
1) = |
|
т sin(x - |
|
|
t )y(t )dt. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Варіант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Дослідити на збіжність ряд: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
2n - |
1 |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
n(2 + cos n p) |
|||||||||||
1)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2)е |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
- |
1 |
|
|||||||||
n = 0 |
|
n + 3 |
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
n |
3 |
+ 2 |
|
|
|
|
Ґ |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
3)е |
|
|
|
|
|
|
|
; |
4)е |
arctg n |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||
n = 1 n |
|
|
+ |
sin 2 |
n = 1 |
n ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ґ |
|
|
4n - |
3 n 3 |
Ґ |
ln- 2(n |
|
|
3 + |
1) |
||||||||||||||
5)е |
(5n + 1 ) |
; |
6)е |
(n 2 |
+ 1) |
; |
||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
n = 1 |
|
||||||||||||||||||
7)еҐ |
|
|
|
|
(- 1)n |
|
|
|
|
; |
8)еҐ (- 1)2n - 1 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n = 3 n ln(n + 1) |
n = 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ґ |
(x + |
3)n |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
n 3 + 1 |
|
|||||||||||
9)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
10)е |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 3 (x - |
2) |
|
|
|||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
; 2) |
еҐ 5n - n 3n ; |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n = 1 9n |
|
|
+ 3n - 2 |
n = 0 15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ґ |
(- |
1)n - 1x n |
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3)е |
|
|
|
; |
4)е (8n + 5)x n + 2. |
|||||||||||||||||||
|
|
n(n - 1) |
||||||||||||||||||||||
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
3.Розвинути в ряд Тейлора функцію:
1)3 27x- 2x , x0 = 0;
2) sin2 x, x0 = |
p |
; 3) ln(5x + 3), x0 |
= |
2 |
; |
4)y(x ) : y ў= |
4 |
|
|
5 |
|
2 cos x - xy 2, y(0) = |
1 (до x 3 ). |
4. Обчислити з точністюe = |
10- 3 : |
|
||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
n |
|
1,5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(- 1)n |
; |
2)т |
|
|
|
|
. |
|
||||||
n |
3 |
27 + |
x |
3 |
|
|||||||||
n = 1 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
|||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
|
|
y |
|
|
g(x) |
|||||||
частотний спектр: |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
1) f (x) = g(x),T = 4; |
|
|
|
O |
|
2 4 |
x |
|||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0, |
- p Ј |
|
x < 0, |
|
|
|
||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|||||||
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
3 - |
|
x, 0 Ј |
x Ј |
p; |
|
|
|
|
|||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
p)2, x О (0; p) за косинусами; |
||||||||
3) f (x ) = |
- (x - |
|||||||||||||
4) f (x ) = |
- (x - |
p)2, x О(0; p) за синусами. |
6.Зобразити функцію
f (t ) = 2 - t , t Ј 2; f (t ) = 0, t > 2
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. |
Знайти всі значення функції: |
||
1) 3 - 1; 2) sin |
(3 |
) |
|
p + i |
; 3) Arccos 2i. |
||
8. |
Зобразити множину точок |
{z О Ј | z - 1 - i Ј 1, Im z > 1, Re z і 1}.
9. Відновити аналітичну функцію f (z), як-
що Im f (z) = e- y sin x + y, f (0) = 1.
10. Обчислити інтеграл т(z - i )dz, де L :
L
1)y = 3x - 3,1 ® - 3i; 2)[0;i ] И[i;i + 1]. 11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
|
7z - |
98 |
|
|
, z0 = 0; |
|||||
2z 3 + 7z 2 - 49z |
|||||||||||
2) |
|
z - 1 |
|
, z0 = - 1 |
+ 2i; |
||||||
z(z + 1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) sin 3z - |
i , z |
0 |
= |
- |
|
i |
. |
||||
|
|
||||||||||
|
|
3z + i |
|
|
3 |
12. Визначититип особливих точок функції: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
+ p) sin |
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1)z sin |
|
|
, z |
0 |
= 0; |
2) |
2 z |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z 2 |
|
z sin2 z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
тi |
|
zezdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
тi |
|
e8z ch 4z |
|
|
|
||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
sin z ; |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
z sin 4pz dz; |
||||||||||||||||||||||
|
z - 1 |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) тi |
|
|
|
3z 4 - |
|
|
2z 3 + |
5 |
|
|
|
|
2p |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
dz; |
4)т |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 |
|
|
5 - |
|
3 sin t |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ґ |
|
|
|
(x 2 + 3) cos 2x |
|
|
|
+ Ґ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) т |
|
|
x 4 + 3x 2 + 2 dx; 6) т |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 4 + 10x 2 + 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
|
t |
Ј |
4, |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
cost |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1)t |
sin 2t sh 3t;2) |
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
н |
2t |
2, |
|
|
t |
> |
4. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1)y |
ўў |
+ |
|
2y |
ў |
= |
|
h(t ) - |
h(t - |
2), y(0) = |
|
ў |
|
|
= |
0; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2)y |
ўў |
- |
|
9y |
|
= |
|
sin t - |
cost, y(0) = |
|
- |
|
|
ў |
|
|
= |
2; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3, y (0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3)y |
ўў |
- |
|
y |
ў |
= |
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
= |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 + et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, y(0) = y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
мx ў |
= 3x + y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = |
2,y(0) = |
0. |
|
|
||||||||||||
4)н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2, |
|
|
|||||||||||||||||
|
пy ў= - 5x - 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
y(x) = ex + тy(t )dt.
0
10
Варіант 8
1. Дослідити на збіжність ряд:
|
Ґ |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
arcsin |
n - |
1 |
|
|
|
|||||||||||
1)е |
|
|
|
|
|
|
sin |
; |
|
2)е |
|
|
|
|
|
n |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
3 |
n |
3 |
- 3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
n = 1 n + |
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
n |
|
+ cos n |
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3)е |
2 |
|
; |
|
4)е |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
sin n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n = 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
3 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5)еҐ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 2 ; 6)еҐ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ln(n - |
3) |
||||||||||||||||||||
n = 1 |
(10n + 5 ) |
|
|
|
n = 5 (n - |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7)еҐ |
|
|
(- 1)n + 1 |
|
|
; |
|
8)еҐ (- 1)n + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n = 1 n |
|
2n + |
|
|
|
|
|
n = 2 |
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
(x - 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 5)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9)е |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
; |
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
3 |
n + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n = 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
; 2)еҐ 1 + (- 1)n - 1 x 2n + 1; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n = 1 49n |
|
- 7n - 12 |
|
|
n = 1 |
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3)еҐ |
2n + 7n |
; |
|
|
|
|
4)еҐ |
|
(8n + 5)x n . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n = 0 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) ln(1 + |
|
x - |
6x 2 ), x0 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
, x0 |
= |
3; 3) sin2 x, x0 |
= - |
1; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
- 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
ex |
- |
y 2, y(0) = |
|
0 (до x 3 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. Обчислити з точністюe = |
10- 4 : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1)е (- 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)тe- 3x |
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знайти її амплітудний |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|||||||||||||||||||||||
частотний спектр: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) f (x) = g(x ),T = 6; |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
3 |
|
6 |
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
2, - p |
|
|
Ј |
|
x Ј |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
н |
0, |
|
0 < |
x Ј |
p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) f (x ) = |
x 2 - |
|
|
1, x |
|
О (0;p) за косинусами; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4) f (x ) = |
x 2 - |
|
|
1, x |
|
О(0;p) за синусами. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f (t ) = |
|
cost, t |
О[0;p ]; f (t ) = 0, t |
П [0;p ] |
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. Знайти всі значення функції:
1) 3 - i; 2) cos(p4 + i ); 3) Arcsin 2i.
8. Зобразити множину точок
{z О Ј | z - 1 + i і 1, Re z < 1, Im z Ј - 1}.
9. Відновити аналітичну функцію f (z), як-
що Im f (z) = ex cos y, f (0) = 1 + i.
10. Обчислити |
інтеграл тdzz , де L : |
|
L |
1) z = x + i(x - |
1),1 ® 2 + i; 2)[1;2] И[2;2 + i ]. |
11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
4z - |
64 |
|
, z0 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|||
z 4 + 4z 3 - 32z 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
z - 1 |
|
, z |
0 |
= - 2 - |
3i; 3)z cos |
3z |
|
, z |
0 |
= 1. |
||
z(z + 1) |
z - |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
|
|
|
|
|
ez |
- |
1 |
|
|
|
, z |
|
|
= |
|
0; |
|
2) z 2 sin |
3 |
. |
|
|
|
|
||||||||
sin z - |
z + |
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2z(z - 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
sin |
|
|
|
|
||||||||
1) |
|
|
тi |
|
|
|
sin z |
|
|
|
dz; |
|
|
2) тi |
|
|
|
|
z |
dz; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z - 3 2 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
тi |
|
ch z - |
|
cos 3z |
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
|
|
|
|
dz; 4)т |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
z 2 sin 5pz |
|
|
8 - |
3 7 sin t |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= 0,1 |
|
|
2) cos x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
(x 3 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ґ |
(x 2 |
+ 4)- 2dx |
|
||||||||||||||||
5) т |
|
|
|
2 |
|
dx; 6) т |
|
|
x 2 + |
9 |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
(x 2 + 1)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
- Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
0 Ј |
t |
Ј 6, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
ch t |
|
|
- |
t |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1)t sin 2t sh t;2) |
|
e |
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
н |
|
3, |
|
t |
> |
|
6. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1)y |
ўў |
+ |
3y |
ў |
= |
|
h(t - |
|
|
1), y(0) |
= |
|
|
ў |
|
|
|
4; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, y (0) = |
|
|||||||||||||||||||||||||
2)y |
|
ўў |
+ |
2y |
ў |
= |
|
|
|
|
|
t |
, y(0) = |
|
|
|
ў |
|
|
2; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 + e |
|
1, y (0) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3)y |
|
ўў |
- |
2y |
ў |
+ |
y = |
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
0; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
t + 1, y(0) = y (0) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
мx ў= - 3x - 4y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = |
0, y(0) = |
2. |
|
|||||||||||
н |
|
|
|
|
2x + 3y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
пy ў= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = 1 + |
|
т sin 2(x - |
t )y(t )dt. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Варіант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Дослідити на збіжність ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1)еҐ |
|
n 2 - 1 t g |
1; |
|
|
|
|
|
2)еҐ |
|
sin2 n |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n = 1 n + 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3)еҐ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
4)еҐ |
|
|
n ! |
tg |
|
|
1 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||
n = 1 n - cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 (2n )! |
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
5)е n arcsinn |
|
|
; |
|
|
6)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
4n |
|
|
|
(2n - |
1) ln(2n ) |
||||||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ґ |
|
(- |
1)n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 8)е |
|
(- 1) |
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3n |
2 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 n + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7- nx x |
|
|
|
Ґ |
|
(x + 5)2n - 1 |
|
|
||||||||||||||||
9)е 5nx arctg |
|
|
|
|
|
|
|
; 10)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
x - |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
1) |
|
|||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 4 (2n - |
|
|
|||||||||||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1)еҐ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; 2)еҐ |
|
|
x n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
+ n - |
2 |
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n = 1 n |
|
|
|
|
|
n = 1 n(n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3)еҐ 7n - n 2n |
; |
|
|
|
|
|
4)еҐ |
(7n + 5)x n + 1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
n = 0 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1)(x - 1) sin 5x, x0 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) |
|
|
1 |
|
, x0 |
= |
|
- |
3; |
3) ln(3x - |
4), x0 = 2; |
|||||||||||||||||||||||
|
4 + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2, y(0) = |
1 (до x 3 ). |
||||||||||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
x + |
|
y + |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. Обчислити з точністюe = |
10- 3 : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
(- |
1)n n |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2)т sin(25x 2 )dx. |
||||||||||||||||||||||||
1 |
(2n - 1)2(2n |
|
+ 1)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) |
та |
||||||
знайти її амплітудний |
y |
|
g(x) |
||||
частотний спектр: |
|
2 |
|
|
|
||
1) f (x) = g(x),T = 8; |
O |
4 |
8 |
x |
|||
|
м |
|
|
||||
|
0, |
- p Ј |
x < |
0, |
|
|
|
|
п |
|
|
||||
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
н |
- 3, |
0 Ј |
x Ј |
p; |
|
|
|
|
п4x |
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
3) f (x ) = |
x 2 - |
2, x |
О(0;p) за косинусами; |
||||
4) f (x ) = |
x 2 - |
2, x |
О(0; p) за синусами. |
||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|||
f (t ) = |
sgn(t - |
1) - sgn(t - |
2),t |
О R |
|
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. |
Знайти всі значення функції: |
( |
2 ) |
||||||||||
1) 4 - 16; 2) Ln( 3 + i); 3) sh |
1 - pi . |
||||||||||||
8. |
Зобразити множину точок |
|
|
|
|||||||||
{z О Ј | |
|
z - 2 - i |
|
Ј 2, Re z і 3, Im z < 1}. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
9. |
Відновити аналітичну функцію |
f (z), як- |
|||||||||||
що Im f (z) = - |
|
|
y |
|
|
, f (0) = |
1. |
||||||
(x + 1) |
2 |
+ y |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
т( |
2 - |
|
деL : |
|||
10. Обчислити інтеграл |
|
z |
z |
dz, |
L
1) z = x + ix, 0 ® 1 + i; 2)[0;1] И[1;1 + i ]. 11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
|
|
9z - |
162 |
, z0 |
= 0; |
|
|
|
|
|
||
2z 3 + 9z 2 - 81z |
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
z + |
3 |
, z |
0 |
= 2 + i; 3)z sin |
z |
|
, z |
0 |
= 1. |
|||
|
|
z - 1 |
|||||||||||
|
z 2 - |
1 |
|
|
|
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
|
|
|
|
sin z 2 - |
z 2 |
|
, z0 = 0; |
|
|
2) z cos |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cos z - |
|
|
1 + |
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2z 2 - 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
тi |
|
|
|
|
z(z + 1)2 |
|
dz; |
2) |
|
|
|
тi |
dz; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2pz |
|
z |
|
|
|
z 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z - 1 4 |
= 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) тi |
|
|
sh 3z - |
|
sin 3z |
|
|
|
2p |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dz; |
4) |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 3 sh 2z |
|
|
|
|
|
9 - |
|
4 |
5 sin t |
||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ґ |
|
(x 2 - x ) sin x |
|
|
|
|
+ Ґ |
|
|
|
x 2dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5) т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; 6) |
т |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
x |
4 |
+ 9x |
2 |
|
+ 20 |
|
(x |
2 |
+ |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
- |
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
Ґ |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), 0 Ј |
|
t |
Ј 8, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch 2t |
|
- ch 4t |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1)t ch 2t cos 4t;2) |
|
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
н |
4, |
|
t |
> |
8. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п t |
|
|||||||||||
15. Розв’язати задачу Коші: |
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1)y ў+ 3y |
|
= h(t ) - 2h(t - |
1) + 2h(t - 2), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y(0) = |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2)2y |
ўў |
|
|
y |
ў |
= |
|
sin 3t,y(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
- |
|
|
|
|
2, y (0) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3)y |
ўў |
+ y |
ў |
|
|
|
|
|
e2t |
|
|
|
,y(0) = |
|
y |
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 3 + et |
|
(0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
мx ў= - 2x + 6y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = 0,y(0) = |
|
|
1. |
|
||||||||||||||||
н |
|
|
|
|
|
2x + |
|
2y, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
пy ў= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. Розв’язати інтегральне рівняння |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = cos x + |
тy(t )dt. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Варіант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Дослідити на збіжність ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1)еҐ |
n ln 1 - |
1 ; |
|
|
|
2)еҐ ln n 2 + 3n |
; |
|
|
||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
n ) |
|
|
|
|
n = 2 |
|
|
n 2 - n |
|
|
|
|||||||||
Ґ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Ґ |
|
|
n |
|
(n |
2 |
- 1) |
|
|
|
|
|||||
3)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
; 4)е |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
n ! |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
5 n + 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5)еҐ |
|
|
n + 2 |
n 2 ; |
|
|
|
6)еҐ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n = 1(3n - |
1) |
|
|
|
|
|
|
n = 1 (n + 1) ln(2n ) |
|
|
|||||||||||||||||||
7)еҐ |
(- 1)n cos |
p |
; |
|
|
8)еҐ |
(- |
|
|
31)n - 1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ґ |
(x + |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
(x |
|
- |
|
2n - 1 |
|
|
|
|||||||||
9)е |
6) |
|
|
; |
|
|
10)е |
|
|
7) |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
(2n |
- 5n )4 |
|
|
|
|||||||||||||
2. Знайти суму ряду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
(- 1)n x |
2n + 2 |
|
|
||||||||||
1)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2)е |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
49n |
2 |
- 14n - |
48 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
n = 1 |
16 (2n + 1) |
|||||||||||||||||||||||||
3)еҐ 4n +n 5n |
; |
|
|
|
|
|
|
4)еҐ |
(7n + 5)x n . |
|
|
||||||||||||||||||
n = 0 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Розвинути в ряд Тейлора функцію: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) ch 3x - 1, x0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
p ; |
|
|
|
|
x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) cos x, x0 |
= |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
, x0 |
= |
|
1; |
||||||||||||||||
|
|
x 2 + 5x + 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
4)y(x ) : y ў= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 2 + y 2, y(0) = |
|
1 (до x 3 ). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. Обчислити з точністюe = |
|
|
10- 4 : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1)е (- 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
2)т cos(4x 2 )dx. |
|||||||||||||||||
(2n + |
1)!! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5. Розвинути в ряд Фур’є функцію f (x) та
знайти її амплітудний |
y |
|
|
|
|
g(x) |
||||||
частотний спектр: |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
1) f (x) = |
g(x ),T = 10; |
O |
5 |
|
10 x |
|||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п5 - x, - p Ј x Ј 0, |
|
|
|
|
|
||||||
2) f (x ) = |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
0, |
0 < |
x Ј p; |
|
|
|
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) f (x ) = |
x 2 - |
3, x О (0;p) за косинусами; |
||||||||||
4) f (x ) = |
x 2 - |
3, x О (0;p) за синусами. |
||||||||||
6. Зобразити функцію |
|
|
|
|
|
|
||||||
f (t ) = |
sgn t, |
|
t |
|
Ј 3; f (t ) = 0, |
|
|
t |
|
> 3 |
||
|
|
|
|
інтегралом Фур’є і знайти її амплітудний та фазовий частотні спектри.
7. |
Знайти всі значення функції: |
|||||||||||
1) 4 |
1+ 3i |
; 2) sh 1 + |
pi |
|
; 3) (- 1 - i)4i . |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
32 |
|
( |
2 |
) |
|||||||
8. |
Зобразити множину точок |
|||||||||||
{z О Ј | |
|
z - 1 - i |
|
і 1, 0 Ј Re z, Im z < 2}. |
||||||||
|
|
|||||||||||
9. |
Відновити аналітичну функцію f (z), як- |
|||||||||||
що Im f (z) = y - |
|
|
y |
|
|
, f (1) = 2. |
||||||
x 2 + y 2 |
||||||||||||
10. Обчислити |
інтеграл |
|
т Im ezdz, деL : |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
1)y = x, 0 ® 1 + i; 2)[0;i ] И[i;1 + i ].
11. Знайтивсілоранівськірозвиненняфункції:
1) |
|
|
5z - |
100 |
, z0 |
= 0; |
|||
z 4 + 5z 3 - 50z 2 |
|||||||||
2) |
z + 3 |
, z |
0 |
= 3 - i; |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
z 2 - |
1 |
|
|
|
|
|||
3)(z - |
3) cos p z - |
3 , z |
0 |
= 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
12. Визначититип особливих точок функції:
1) |
|
|
|
|
cos z 2 - |
1 |
|
, z0 = 0; 2) |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sh z - |
|
z - |
|
1 |
3 |
e |
z |
+ |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. Обчислити інтеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
тi |
|
|
|
iz(z - i) |
dz; |
|
|
|
|
2) |
|
|
тi |
1 - 2z |
dz; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin pz |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
z - 1 2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
тi |
|
e4z |
- |
1 - |
sin 4z |
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
dz; 4)т |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
z 3 sh 16pz |
|
|
|
4 - |
|
7 sin t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
= 0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ґ |
|
(x 2 + |
3)- 2 |
|
|||||||||||||
5) т |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
6) т |
|
|
x 2 + 2 dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
- 2x + 17 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
- |
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. Знайти зображення оригіналу: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мg(t ), |
|
0 Ј |
t |
Ј 10, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2t - |
|
cos 4t |
|
|
|
- 3t |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1)t ch t; 2) |
|
e |
; 3) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
н |
|
|
|
t |
> |
10. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п t 5, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. Розв’язати задачу Коші: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)y |
|
- |
|
y |
= |
- |
2h(t ) - 2 h(t - |
5), y(0) = |
0; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2)y |
ўў |
+ |
2y |
ў |
= |
|
sin |
t |
,y(0) = |
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
4; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
- 2, y |
(0) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ўў |
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
ў |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3)y |
- |
|
2y |
= |
|
ch t , y(0) = |
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
(0) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
мx ў= |
|
|
2x + 3y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(0) |
= |
|
- |
|
|
1,y(0) = |
0. |
|
||||||||||
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x - |
|
2y, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
пy ў= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
оп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Розв’язати інтегральне рівняння
x
x 2 = тex - t y(t )dt.
0
13