- •ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
- •Тема 2. Определители.
- •Тема 3. Обратная матрица.
- •Тема 4. Ранг матрицы.
- •Раздел 2. Системы линейных уравнений.
- •Тема 5. Системы линейных уравнений. Нахождение единственного решения системы n линейных уравнений c n неизвестными.
- •Тема 6. Решение систем линейных уравнений в общем случае.
- •Раздел 3. Элементы аналитической геометрии.
- •Тема 7. Метод координат.
- •Тема 8. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •Тема 9. Прямая на плоскости.
- •Тема 10. Плоскость и прямая в пространстве.
- •Тема 11. Кривые второго порядка.
- •Раздел 4. Матричный анализ.
- •Тема 12. Векторные пространства.
- •Тема 13. Евклидовы пространства.
- •Тема 14. Линейные преобразования.
- •Тема 15. Квадратичные формы.
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Интернет-ресурсы
НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА
О.А. Шешенина
Математика
(Линейная алгебра)
Электронное учебное пособие
Часть 2
Нижний Новгород
2013
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН |
4 |
РАЗДЕЛ 1. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА. |
5 |
ТЕМА 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ. |
5 |
ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. |
12 |
ТЕМА 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. |
22 |
ТЕМА 4. РАНГ МАТРИЦЫ. |
32 |
РАЗДЕЛ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. |
43 |
ТЕМА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. НАХОЖДЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ N ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ C N НЕИЗВЕСТНЫМИ. 43 |
|
ТЕМА 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. |
53 |
РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. |
66 |
ТЕМА 7. МЕТОД КООРДИНАТ. |
66 |
ТЕМА 8. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. |
71 |
ТЕМА 9. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. |
82 |
ТЕМА 10. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. |
93 |
ТЕМА 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. |
103 |
РАЗДЕЛ 4. МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ. |
111 |
ТЕМА 12. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. |
111 |
ТЕМА 13. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. |
117 |
ТЕМА 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. |
119 |
ТЕМА 15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. |
130 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
136 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ |
139 |
ЛИТЕРАТУРА |
141 |
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ |
142 |
|
2 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. М.И. Калинин
Цель данного пособия – в ясной и доступной форме дать студентам базовые знания по математике в части линейной алгебры, необходимые для формирования общекультурных и профессиональных компетенций бакалавра-экономиста, бакалавра-менеджера, бакалавра по управлению персоналом.
Пособие состоит из 4 разделов и 15 тем, включающих в себя понятия, теоремы, примеры с подробными решениями, контрольные вопросы, задачи для самостоятельного решения, глоссарий, список литературы, ответы к задачам.
Данный материал необходим для усвоения таких дисциплин, как: «Математика в экономике», «Эконометрика», «Информационные системы в экономике» и других.
Учебное пособие «Математика (Линейная алгебра)» соответствует программам дисциплин «Математика» (направления подготовки: 080200 Менеджмент, 080400 Управление персоналом) и «Линейная алгебра» (направление подготовки: 080100 Экономика), удовлетворяющих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования третьего поколения.
3
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
|
|
|
|
|
Очное обучение |
|
|
Заочное обучение |
||||
|
Разделы |
Трудое |
Всего |
Лекц |
Практич |
|
Самостоятел |
Всего |
Лек |
Практич |
Самостоятел |
|
|
мкость |
аудиторны |
ии |
еские |
|
ьная работа |
аудиторн |
ции |
еские |
ьная работа |
||
|
|
|
х часов |
занятия |
|
студентов |
ых часов |
занятия |
студентов |
|||
Раздел 1. Матричная |
64 |
32 |
12 |
20 |
|
32 |
6 |
2 |
4 |
58 |
||
алгебра. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Раздел |
2. |
Системы |
40 |
20 |
8 |
12 |
|
20 |
4 |
2 |
2 |
36 |
линейных уравнений. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Раздел |
3. |
Элементы |
40 |
20 |
8 |
12 |
|
20 |
4 |
2 |
2 |
36 |
аналитической |
|
|||||||||||
геометрии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел |
4. |
Матричный |
36 |
18 |
8 |
10 |
|
18 |
4 |
2 |
2 |
32 |
анализ. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
|
|
180 |
90 |
36 |
54 |
|
90 |
18 |
8 |
10 |
162 |
4
Раздел 1. Матричная алгебра. Тема 1. Матрицы и действия над ними.
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов одинаковой длины. Числа, составляющие матрицу, называются элементами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами А,
В, С, Х, У,…, а их элементы соответствующими строчными буквами с двумя нижними индексами aij ,bik ,ckj , x1 j , yi1 . Первый
из индексов указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Число строк m и число столбцов n определяют размер матрицы - m ×n .
Произвольная матрица записывается в виде
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
A |
= |
a21 |
a22 |
a2n |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m×n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
||||
|
|
4 |
− 4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.1. Матрица |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 1.2 |
имеет 3 строки и 2 столбца. Поэтому её размер 3 × 2 или A3×2 . Матрица A |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоит из элементов: |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 = 4, a12 = −4.5, |
a21 =1.2, a22 = −2, a31 = 7, a32 =1. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой, а из |
||||||||||||
одного столбца - матрицей-столбцом или вектором-столбцом. |
|
|
|
|
||||||||
Пример 1.2. (5 |
− 2 |
3)-матрица строка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.3. |
- матрица-столбец. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Матрица называется прямоугольной, если число ее строк не равно числу столбцов.
Определение. Матрица называется квадратной n -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n .
5
Пример 1.4. |
|
2 |
−3 |
-квадратная матрица второго порядка. |
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы n -го порядка a11 , a22 ,..., ann образует главную диагональ,
а a1n , a2n−1 ,..., an1 -побочную диагональ.
Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, лежащие над или под главной
диагональю равны нулю. |
|
|
− 5 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
1 |
− 2 |
|
|
|
|
||||
Пример 1.5. |
; |
|
4 |
3 |
0 |
|
-треугольные матрицы. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
8 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы, лежащие вне главной диагонали,
равны нулю. |
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
− 2 |
0 |
|
|
|
|
|||||
Пример 1.6. |
; |
|
0 |
3 |
0 |
|
-диагональные матрицы. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Квадратная матрица называется скалярной, если она является диагональной, причем ее элементы
главной диагонали равны. |
|
−1 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
||||
Пример 1.7. |
; |
|
0 |
−1 |
0 |
|
-скалярные матрицы. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
Определение. Квадратная матрица называется единичной, если у неё все элементы главной диагонали равны единице, а остальные нулю. Единичная матрица обозначается с помощью буквы Е.
Пример 1.8. E = 1 0 -единичная матрица второго порядка;
0 1
6
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
-единичная матрица третьего порядка. |
E = |
|
||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевая матрица обозначается с
помощью буквы О. |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Пример 1.9. |
|
|
-нулевая матрица. |
|||
O = |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Определение. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и совпадают поэлементно.
Определение. Произведением матрицы Am×n |
= (aij ) |
на число λ называется матрица Cm×n = (cij ) , элементы которой |
|||||||||||||||||||||
равны cij = λaij (i=1..m, j=1..n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
−1 |
на 3. |
|
|
|
|
|||||
Умножить матрицу A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
4 −1 |
|
3 2 |
|
3 4 3 (−1) |
|
6 |
|
12 −3 |
|
|||||||||||
3 A = 3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(−1) 3 5 |
|
3 |
2 |
|
|
−3 |
15 6 |
|
|
||||||
|
−1 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определение. Суммой матриц Am×n = (aij ) и Bm×n |
= (bij ) |
называется матрица Cm×n = (cij ) , элементы которой равны |
|||||||||||||||||||||
сij = aij +bij (i =1..m, j =1..n ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
−5 |
4 |
|
|
||
Пример 1.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
B = |
|
3 |
1 |
|
|
||||
Найти сумму матриц A = |
, |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
−3 |
−2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
−2 |
−5 |
|
4 |
3 −5 −2 |
+ 4 |
−2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1+3 0 +1 |
|
|
4 |
|
1 |
|
. |
|
|
||||
A + B = |
|
+ |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
5 |
|
|
−3 |
−2 |
|
|
2 −3 5 −2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
Разность двух матриц одинакового размера определяется через операцию сложения и операцию умножения на число:
A − B = A + (−1) B .
7
Операция умножения двух матриц определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы. |
|
k × n . Произведением |
Определение. Пусть даны матрица |
A = (aij ) размером m × k и матрица B = (bij ) размером |
|
матриц A и B называют матрицу C = (cij ) (С=АВ) размером m × n с элементами: |
|
|
cij |
= ai1 b1 j + ai2 b2 j +... + aik bkj i =1..m, j =1..n |
|
В формировании элемента сij произведения AB участвуют элементы i -ой строки матрицы A и |
j -го столбца матрицы |
B . Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения «строка на столбец».
Если произведение матриц AB существует, |
то произведение матриц BA может не существовать, т.е. порядок матриц- |
||||||||||||||||||||||
сомножителей существенен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.12. Найти произведения матриц AB и BA, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
B = |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|||||
Поскольку число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B , то произведение AB существует. |
|||||||||||||||||||||||
Определим его размер A2×2 B2×1 = C2×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислим элементы матрицы-произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
2 |
|
|
|
1 2 + 3 (−5) |
|
|
−13 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
AB = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 + (−2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
− 5 |
|
|
(−5) |
|
20 |
||||||||||
Число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A, поэтому произведение BA не существует. |
|||||||||||||||||||||||
Определение. Если определены оба произведения AB и BA и выполнено равенство AB = BA , то матрицы A и B |
|||||||||||||||||||||||
называют перестановочными. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и B |
|
перестановочными. |
||||||||||
Пример 1.13. Проверить, являются ли матрицы A = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
||||||
A |
B |
1 |
2 1 3 |
|
|
1 1 + 2 6 |
1 3 + 2 (−2) |
|
|
|
13 |
−1 |
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2×2 |
2×2 |
|
|
|
|
4 1 + (−1) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−1 6 − 2 |
|
|
4 3 + (−1) (−2) |
|
− 2 14 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
B |
A |
1 |
3 |
1 |
2 |
|
1 1 + 3 4 |
1 2 + 3 (−1) |
|
13 |
−1 |
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
||
2×2 |
2×2 |
|
6 |
− 2 |
|
|
4 |
|
|
6 1 + (−2) 4 |
6 2 + (−2) (−1) |
|
|
− 2 |
14 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
Следовательно, матрицы A и B перестановочные.
Свойства операций сложения и умножения матриц:
1.A + B = B + A
2.(A + B)+ C = A + (B + C)
3.α(A + B)=αA +αB
4.A(BC) = (AB)C
5.A(B + C) = AB + AC
6.(A + B)C = AC + BC
7.α(AB) = (αA)B
|
|
Пример 1.14. Проверить, что равенство A(BC) = (AB)C выполняется для матриц |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = (1 2), |
|
C = |
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
|
|
, |
|
1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
− 2 |
|
|||
|
|
Вычислим произведение A(BC) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
4 |
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2×3 |
3×2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
0 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
3 3 + (−1) 4 + 2 5 3 |
0 + (−1) |
1 + 2 |
(−2) |
15 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + |
0 1 + (−4) |
|
|
− 5 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 3 + 0 4 + (−4) 5 5 |
(−2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
(B |
C |
|
|
|
|
|
15 |
−5 |
= (1 15 + 2 (−5) 1 (−5) + 2 8)= (5 11) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3×2 |
) = (1 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1×2 |
|
2×3 |
|
|
|
|
−5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим произведение (AB)C
9
A |
B |
|
3 |
−1 |
2 |
|
= |
= (1 2) |
|
|
|
|
|||
1×2 |
2×3 |
|
5 |
0 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= (1 3 + 2 5 1 (−1) + 2 0 1 2 + 2 (−4))= (13 −1 − 6)
|
|
3 |
0 |
|
|
(A1×2 B2×3 ) C3×2 |
|
4 |
1 |
|
|
= (13 −1 − 6) |
|
= |
|||
|
|
5 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
= (13 3 + (−1) 4 + (−6) 5 13 0 + (−1) 1 + (−6) (−2))= (5 11)
Поскольку, A(BC) = (5 11) и (AB)C = (5 11), то равенство A(BC) = (AB)C выполняется.
Определение. Целой положительной степенью Am (m >1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е.
Am = A A ... A
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m раз |
По определению полагают, что A0 = E, |
A1 = A. |
|
|
||||||||||
Пример 1.15. Найти A2 |
|
|
− 2 |
|
4 |
|
|
|
|||||
, где A = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A2 |
= A A = |
− 2 |
4 |
|
− 2 |
4 |
|
16 |
|
− 4 |
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
13 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
3 |
1 |
|
− |
|
|
|
Определение. Выражение вида P(A) =α0 E +α1 A +α2 A2 +... +αm Am , где A и E - соответственно квадратная и единичная матрицы одинакового порядка; α0 ,α1,α2 ,...,αm - числа, называется полиномом (многочленом) от матрицы.
Данное выражение рассматривают также как результат подстановки матрицы A вместо переменной x в обычный многочлен степени m :
|
P(x) =α0 +α1x +α2 x2 +... +αm xm |
|
|
|
|
Пример 1.16. |
Вычислить значение многочлена f (x) = 2x2 − 4x + 5 |
− 2 |
−1 |
||
от матрицы A = |
|
|
. |
||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
10
Вместо x подставляем в функцию |
f (x) матрицу A, вместо числа 5 используем матрицу 5 E , где E -единичная |
|||||||||||||||
матрица второго порядка, как и матрица A. |
|
|||||||||||||||
A2 = A A |
− 2 |
|
|
−1 |
− 2 |
−1 |
|
1 |
1 |
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
3 |
1 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|||||||
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
A2 = 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−3 |
− 2 |
|
|
− |
6 |
− 4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
− 2 |
−1 |
|
−8 |
− 4 |
|
|
|
|
|
||||||
A = 4 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
1 |
0 |
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E =5 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
− |
−8 |
− 4 |
5 0 |
|
15 |
|
6 |
|
|||||
f (A) = 2A2 − 4A + 5E = |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
. |
|||
|
− 6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
−18 |
|
|
|||
|
− 4 |
|
12 |
|
0 5 |
|
|
−3 |
|
|||||||
Определение. Матрица AT , получающаяся из матрицы А с помощью замены строк соответствующими столбцами, |
||||||||||||||||
называется транспонированной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. Тогда |
|
AT |
= |
|
2 |
1 |
|
. |
|||||
Пример 1.17. Пусть матрица A = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
7 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства транспонирования матрицы:
1.(AT )T = A
2.(αA)T =αAT
3.(A + B)T = AT + BT
4.(AB)T = BT AT
НАЧАЛО ТЕМЫ |
СОДЕРЖАНИЕ |
11