12.Критерій відносної компактності в пр-рі
Озн.Мн-на
наз
одностайно-неперервною сімьєю фцій,якщо
нехай Х-м.п,наз
обмеженою, якщо
Зокрема
обмеж, якщо
Т.Арцела,Асколі
Мн-на
наз
відносно компактною
1)К-обмеж;
2)К-одност-неперер
Дов.Необх.
нехай К відносно-компактна,тоді за
Т.1.Хаусдорфа
В будь-якому м.п це
озн,що мн-на обмежена,тобто 1) викон.
для
К існує скінченна
:
неперер
на х[a,b]
за
т.Кантора
рівномірно-неперервна
на [a,b].Це
озн,що
Озн.
нехайБудемо
розглядати
отже викон 2)
Достатність.нехай
для К викон 1) і 2),покажемо що К
відносно-компактною Викон 2):
[a,b]поділемо
точками
на
частини так,щоб викон
Із 1) :
Відрізок
[-M,M]
поділемо точками {}
на частини так,щоб викон
.
Побудуємо
ламані
з узлами в т.Оцінемо
Таким
чином,мн-на з вершиною в тце
для
К,цяскінченна.довільне
число.К-відносно-комп.
1. Метричні простори
та приклади
2. Відкриті та
замкнені множини
3.
Збіжність у метричних просторах
4.Щільність
множин
5.Повні
метричні простори
6.Неперервні
відображення метричних просторів
7.Поповнення
метричного простору
8.Принцип
стискаючих відображень
9.Відносна
компактность.
10.Компактні
множини в метричних просторах
11.Критерій
компактності
12.Критерій
відносної компактності в пр-рі