ЕММ лаби
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з курсу
“Економіко-математичні методи і моделі”, частина 1 (економетрика) для студентів базових напрямів 6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 «Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508
«Фінанси і кредит», 6.030509 «Облік і аудит» стаціонарної форми навчання
Затверджено на засіданні кафедри
маркетингу і логістики Протокол № 1 від 22.08.2011 р.
Львів – 2012
Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу “Економіко-математичні методи і моделі ”, частина 1 (економетрика) для
студентів базових напрямів |
6.030503 «Міжнародна економіка», 6.030504 |
|
«Економіка підприємств», 6.030507 «Маркетинг», 6.030508 |
«Фінанси і |
кредит», 6.030509 «Облік і аудит» / Укл.: Мних О.Б., Гірна О.Б., Кузьо Н.Є., Леонова С.В., Рикованова І.С. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2012. – 32 с.
Укладачі: Мних О.Б., д.е.н., проф. Гірна О.Б., к.е.н., доц. Кузьо Н.Є., ст. викл.
Леонова С.В., ас. Рикованова І.С., ас.
Відповідальний за випуск: Крикавський Є.В., д.е.н., проф.
Рецензенти: Гринів Н.Т., к.е.н., доц. Косар Н.С., к.е.н., доц.
2
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1 ПОБУДОВА МОДЕЛІ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ
І. Загальні положення
Кожна економіка розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв’язків. Зрозуміти вплив однієї галузі на іншу шляхом простого сумування неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але й здійснює непрямий вплив і на металургію - виробника сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, які пов’язані з виробництвом шин і інших комплектуючих, а також і на галузі, які виробляють радіоприймачі, кондиціонери тощо. Способи аналізу, які розроблені для вирішення проблем взаємних зв’язків, необхідні для формування економічних планів, які послідовно пов’язували б змінні макрорівня з змінними мікрорівня. Метод міжгалузевого аналізу, який ще називають аналізом витрати-випуск, що розробив економіст В.В. Леонтьєв, дозволяє дати послідовні і чисельно визначені відповіді на питання, пов’язані з міжгалузевими взаємодіями і їх впливом на основні макроекономічні показники.
IІ. Теоретичні відомості
В економіці зв’язок між цілями і засобами встановлено таким чином
Засіб (виробництво) |
T |
, |
Мета (споживання, кінцевийпопит) |
||
Причина |
Наслідок |
|
де засіб (ціль нижчого рівня) є незалежною змінною, мета (ціль вищого рівня) - залежною. В міжгалузевому аналізі прийнято обернене відношення:
T-1 .
Мета (споживання, кінцевийпопит) Засіб(виробництво)
З точки зору математики міжгалузевий аналіз базується на використанні статистичних таблиць, які називаються “міжгалузевими”, що відтворюють динаміку економіки протягом року і свідчать про зв’язок між галузями.
Припустимо, що весь суспільний продукт в певний період часу виробляється n галузями. Позначимо хі- обсяг випуску продукції і-ої галузі;
хіj - обсяг продукції і-ої галузі, що використовується в j-ій (міжгалузеві поставки); fi - обсяг продукції і-тої галузі, що не йде у виробництво, а йде на
споживання. Ця величина складає кінцевий продукт і-ої галузі. Таблиця міжгалузевого балансу матиме вигляд табл. 1.1.
В табл. 1.1 в кожній стрічці подано розподіл кожного виду продукції. Кожна стрічка характеризується балансом виду:
Випуск даного виду продукції = Проміжний попит + Кінцевий попит
3
|
|
Таблиця міжгалузевого балансу |
Таблиця 1.1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
Сектори пропозиції |
|
Обсяг |
Сектори попиту (галузі-покупці) |
Кінцевий попит |
|||||||||
(галузі-продавці) |
|
випуску |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
… |
|
j |
… |
|
n |
|
|||
1 |
|
х1 |
х11 |
|
х12 |
|
… |
|
х1j |
… |
х1n |
f 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
витрати |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
х2 |
х21 |
|
х22 |
|
… |
х2 j |
… |
х2n |
f2 |
||
… |
|
… |
…пр |
оміжний… |
|
… |
попит… |
… |
|
… |
… |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проміжні |
|
|
|
|
|
|
і |
|
хі |
хі1 |
|
хі2 |
|
… |
|
хіj |
… |
хіn |
fi |
|
… |
|
… |
… |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
… |
… |
n |
|
хn |
хn1 |
|
хn2 |
|
… |
хnj |
… |
хnn |
fn |
||
Додана вартість |
|
v1 |
|
v2 |
|
… |
|
v j |
… |
|
vn |
|
|
(чистий продукт) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обсяг випуску |
х1 |
|
х2 |
|
… |
|
хj |
… |
|
хn |
|
||
Математично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
хі (хi1 |
хi2 |
... хij ... хіn ) fi , |
i 1,2,...n |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хі хij fi , |
|
|
|
|
(1.1) |
j 1
Проміжний попит - це частина загального попиту, що використовується іншими галузями для своїх потреб. Кінцевий попит - частина попиту, який представляє собою закупки кінцевих продуктів - споживчих чи інвестиційних.
Стовпці таблиці показують структуру витрат або структуру використовуваних ресурсів, які необхідні для кожної галузі. Для стовпців теж встановлюється баланс:
Витрати галузі = Проміжні витрати + Додана вартість
Математично: |
|
хj (х1j х2 j ... хij ... хnj) v j, |
j 1,2,...n |
n |
|
хj хij v j, |
(1.2) |
i 1 |
|
Проміжні витрати представляють собою вихідні матеріали, які закупила галузь у секторів 1,2,3 і т.д. Додана вартість - це факторні витрати галузі, тобто новостворена вартість, яка поділяється на дохід тих, хто працює по найму (заробітну плату), амортизаційні відрахування і підприємницький дохід (прибуток).
Для стрічок і стовпців таблиці міжгалузевого балансу мають місце тотожності:
4
n |
n |
|
|
хi хij fi хji vi , |
|
||
j 1 |
j 1 |
(1.3) |
|
n |
n |
||
|
|||
fi vi |
|
||
i 1 |
i 1 |
|
Таблиця міжгалузевого балансу дозволяє вивчати структуру потоків ресурсів, однак для розуміння функціонування економіки, необхідно побудувати таблиці коефіцієнтів прямих витрат і коефіцієнтів повних витрат.
Коефіцієнти прямих витрат (аij ) - це кількість продукції і-ої галузі, яка
необхідна для виготовлення одиниці продукції j-тої галузі. Очевидно, що
|
|
|
|
|
|
|
хij aij хj |
|
|
|
|
|
(1.4) |
|||||
Підставивши в (1.1) , отримуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi |
aijx j fi , |
|
|
|
|
(1.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Або у вигляді системи рівнянь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х |
1 |
а |
11 |
х |
1 |
а |
12 |
х |
2 |
... а |
1n |
x |
n |
f |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
х |
2 |
а21х1 а22х2 |
... а2n xn |
f2 |
(1.6) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аn1х1 аn2х2 |
... аnn xn |
fn |
|
|||||||||||||
хn |
|
|||||||||||||||||
В векторному виді це рівняння набуде такого вигляду |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X X F. |
|
|
|
|
|
(1.7) |
Таким чином отримали модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.
Отже, можна поставити центральне питання міжгалузевого балансу - як зміниться обсяг випуску галузі xi , якщо при фіксованому значенні
коефіцієнта прямих витрат аij значення fi зміниться на fi , тобто для кожної
галузі допускається існування виробничої функції з незмінним ефектом масштабу (витрати прямо пропорційні випуску) і з відсутністю взаємозаміни ресурсів (співвідношення затрат ресурсів фіксоване і не залежить від рівня випуску). Щоб відповісти на поставлене питання, необхідно знайти значення х1, х2, …….хn системи лінійних рівнянь
(1 а11)х1 а12х2 |
... а1n xn f1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
х |
|
(1 а |
|
|
)х |
|
... а |
|
x |
|
f |
|
|
|
а |
21 |
1 |
22 |
2 |
2n |
n |
2 . |
(1.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аn2х2 |
... (1 аnn )хn fn |
|
||||||||||
аn1х1 |
|
5
В векторному виді це рівняння набуде такого вигляду |
|
(Е )X F . |
(1.9) |
Матриця коефіцієнтів прямих витрат А - невід’ємна квадратична матриця. Можна стверджувати, що для довільного додатного вектора кінцевого попиту F дане векторне рівняння має додатній розв’язок, який визначається так:
|
|
(1.10) |
(Е ) 1F, |
де Е - одинична матриця розмірності n. Матриця В = (Е - А)-1 називається оберненою матрицею Леонтьєва або мультиплікатором Леонтьєва. Обернена матриця Леонтьєва В - це матриця коефіцієнтів повних витрат. Економічний сенс полягає в твердженні: елементи матриці В bij показують потребу в валовому випуску продукції галузі і для виробництва одиниці кінцевої продукції галузі j. Значення bij складаються із коефіцієнтів прямих і непрямих витрат та їх можна визначити за формулою
bij aij aij(1) aij(2) aij(3) |
|
(1.11) |
Непрямі витрати – це витрати продукції і-ої |
галузі в усіх галузях, що |
поставляють свою продукцію в j-ту галузь. Таким чином, В - це мультиплікатор, який показує ефект розповсюдження попиту, початковим джерелом якого є попит на кінцеву продукцію.
|
|
|
|
ІІІ. Завдання |
|
|
|||
|
За даними табл. 1.2 |
необхідно визначити: |
|
|
|
Таблиця 1.2 |
|||
|
|
|
|
Вихідні дані |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Сектори пропозиції |
|
Сектори попиту (галузі-покупці) |
|
Кінцевий попит |
||||
|
(галузі-продавці) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
0,07 |
|
0,17 |
|
0,01·р |
|
0,06 |
230+р |
|
|
2 |
0,26 |
0,06 |
|
0,011 |
|
0,15 |
315 |
|
|
3 |
0,14 |
|
0,01·р |
0,08 |
|
0,16 |
119+р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,21 |
0,07 |
|
0,16 |
|
0,12 |
100+р |
р – номер варіанту, який відповідає порядковому номеру в академічній групі.
валовий обсяг випуску кожної галузі;
міжгалузеві поставки;
обсяг чистого продукту кожної галузі;
коефіцієнти повних витрат
Як зміниться обсяг випуску продукції галузей хі, якщо при фіксованих коефіцієнтах прямих витрат аіj значення fi зміниться на 8% ( f1 - для студентів 1-ї групи потоку, f2 - для студентів 2-ї групи тощо). Результати розрахунків подати у таблиці міжгалузевого балансу.
6
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2 ПОБУДОВА ЛІНІЙНОЇ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ ТА
ДОСЛІДЖЕННЯ ЇЇ АДЕКВАТНОСТІ
І. Загальні положення
Розвиток та широке застосування обчислювальної техніки сприяє виявленню закономірностей, зв'язку та динаміки реальних соціальноекономічних явищ в економічному просторі. Економіко-математичні моделі, побудовані на основі статистичних рядів, мають не тільки пізнавальну, а й практичну цінність у прогнозуванні, плануванні, управлінні тощо.
ІІ. Теоретичні відомості
Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На показник можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності необхідно враховувати під час планування, прогнозування і проведення економічного аналізу.
Серед парних регресій найбільш поширеною і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія.
Парні лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних вважається залежною змінною (у) та розглядається як функція від незалежної змінної (х). У загальному вигляді проста лінійна регресійна модель записується наступним чином
y a0 a1 х u |
(2.1) |
де u – випадкові відхилення (залишки).
Для того, щоб мати явний вигляд залежності (2.1), необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри а0 та а1.
yˆ a 0 |
a1 |
х |
(2.2) |
Для побудови економетричної моделі використаємо метод найменших квадратів (МНК). МНК полягає у наступному: теоретична лінія повинна перебувати на оптимальній віддалі від фактичних значень. Математично
n |
n |
уі а1хі а0 |
2 min . |
|
Q yi yˆi 2 |
|
(2.3) |
||
i 1 |
і 1 |
|
|
|
де a0 ,a1 - параметри прямої.
Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних функціоналу Q по а0 та а1
7
|
|
Q |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 уі а1хі а |
0 0 |
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
0 |
і 1 |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
Q |
|
|
|
n |
|
||
|
|
2 уі а1хі а0 |
xi 0 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
a1 |
||||||||
|
i 1 |
|
Розкриємо дужки і отримаємо систему нормальних рівнянь
a0 n a1 хi 2 yi .a0 хi a1 хi yi хi
(2.4)
(2.5)
Невироджена система нормальних рівнянь має єдиний розв'язок, який можна знайти також за формулою
|
1 |
|
(2.6) |
A XTX |
XTY , |
де A a 0 - вектор параметрів моделі;
a1
1 X 11
x1
x2 - матриця статистичних даних факторної ознаки; xn
y1
Y y2 - вектор статистичних даних результуючої ознаки.
yn
Щільність зв'язку між факторною і результативною ознаками можна знайти за допомогою коефіцієнта кореляції
rxy |
n1 xi x yi y |
|
|
|
xi x yi y |
(2.7) |
||||
xi x 2 |
yi y 2 |
|
xi x 2 yi y 2 |
|||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
та коефіцієнта детермінації |
|
|
yˆi y 2 |
|
|
|||||
|
|
R |
2 |
|
, |
(2.8) |
||||
|
|
|
yi |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
де х, y - середнє значення відповідно хі та уі ;
хі, yi - фактичні значення і-го спостереження; yˆi - теоретичні значення і-го спостереження.
8
Якщо rxy 1, то щільність зв'язку велика, коли rxy 0 - зв'язок
відсутній. Якщо R 2 1, то можна зробити висновки, що зв'язок щільний. Відповідь на питання про адекватність побудованої моделі може дати
критерій Фішера (F-критерій).
Для цього розраховується величина F
F |
|
yˆi y 2 |
k1 |
, |
|
yi yˆi 2 |
k2 |
||
|
|
|
||
|
|
k1 m, |
|
(2.9) |
|
k2 n m 1, |
|
де k1, k2 - ступені вільності;
m – кількість незалежних змінних; n - кількість спостережень.
За статистичними таблицями F-розподілу з ступенями вільності k1 та k2 при заданому рівні ймовірності знаходимо значення Fкр. Якщо F Fкр, то
побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності. В протилежному випадку необхідно визначитися:
-чи достатня статистична база;
-чи вірно обрана модель для опису економічного процесу та провести коректування моделі.
Якщо встановлено, що із заданою ймовірністю економетрична модель
адекватна спостережувальним даним і соціально-економічні умови за період
прогнозування змінюються за закономірностями, |
що мають місце і в базовому |
періоді, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою |
|
yˆp a0 a1xp . |
(2.10) |
Важливо також знайти інтервали довіри. Інтервали довіри – це інтервали, у які з певною заданою ймовірністю потрапляє дійсне значення залежної змінної. Такий інтервал довіри для прогнозного значення знаходимо за формулою
yˆр yˆp y yˆр yˆр, |
|
(2.11) |
|||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yˆp t залиш. |
1 |
1 |
|
|
(xp x)2 |
. |
(2.12) |
||
n |
|
(xi x)2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
залиш. |
|
yi |
yˆi 2 |
|
|
(2.13) |
|||
|
n m 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
9
Для оцінки еластичності результуючої ознаки при будь-якому значенні факторної ознаки використовується коефіцієнт еластичності
Е |
dy |
x . |
(2.14) |
|
dx |
y |
|
Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.
ІІІ. Завдання
За даними табл. 2.1 з ймовірністю 0,95 необхідно:
|
Статистичні дані |
Таблиця 2.1 |
||
|
|
|
||
№ |
Доходи підприємства, млн. |
|
Витрати на оплату праці, |
|
спостереження |
грн. (у) |
|
млн. грн. (х) |
|
1 |
10,89 |
|
2,17+0,01·р |
|
2 |
11,92 |
|
2,90 |
|
3 |
12,45+0,01·р |
|
3,29 |
|
4 |
11,27 |
|
4,13 |
|
5 |
14,12 |
|
5,25+0,01·р |
|
6 |
15,23 |
|
4,92 |
|
7 |
16,07+0,01·р |
|
5,79 |
|
8 |
17,40 |
|
5,87 |
|
9 |
18,61 |
|
6,99+0,01·р |
|
10 |
18,94 |
|
6,24 |
|
11 |
17,55 |
|
6,87 |
|
12 |
19,44+0,01·р |
|
7,11 |
|
13 |
20,14 |
|
7,52+0,01·р |
|
14 |
21,69 |
|
7,24 |
|
15 |
20,78+0,01·р |
|
7,86 |
|
16 |
- |
|
8,12+0,01·р |
|
1)побудувати однофакторну модель виду yˆ a0 a1 х;
2)перевірити істотність зв'язку між факторами за допомогою коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації;
3)оцінити надійність моделі за допомогою критерію Фішера;
4)знайти прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;
5)визначити коефіцієнт еластичності в точці прогнозу;
6)навести графічну інтерпретацію моделі.
10