управ.рішення - копия - копия
.docxМоделі оптимальних партій постачань при дефіциті {теорія розкладів)
Приклад 12. [22] Модель оптимальної партії постачання, коли незадоволені вимоги ставляться на облік.
Попит на нестандартну продукцію складає 1900 одиниць у рік. Вартість збереження, включаючи втрати від нерухомості засобів у запасах і зв'язані зі зниженням цін при нєреалізації продукції, дорівнює 19 тис. грн. за одиницю в рік. Витрати розміщення замовлення не перевищують 200 грн. Незадоволені вимоги беруться на облік. Питомі витрати дефіциту — 81 тис. грн. за недостачу одиниці продукції протягом року.
Треба визначити оптимальну партію постачання, максимальну величину заборгованого попиту, інтервал поновлення постачання, місце розміщення замовлення (#= 1 місяць = 1/12 року) і річні втрати функціонування системи.
342
1. Оптимальна партія постачання знаходиться за формулою:
Теорія і практика розробки управлінських рішень
Модель оптимальної партії постачання з урахуванням незадоєолених вимог {теорія розкладів)
Приклад 13. [22] Підприємство випускає партіями магнітні сердечники п'яти типів. Продуктивність — 1500 сердечників за добу.
Середній обсяг споживання кожного типу сердечників — 300 штук за добу. Вартість переналагодження устаткування при переході від одного типу до іншого складає 1200 тис. грн. Вартість зберігання одного сердечника — 0,03 тис. грн. за добу. Незадоволені вимоги беруться на облік. Питомі витрати дефіциту — 0,15 тис. грн. за сердечник за добу. Треба визначити оптимальні параметри роботи системи.
Маємо: Я = 1500 шт. за добу, V = 300 шт. за добу, ДО — 1200 тис. грн., S = 0,03 тис. грн. за штуку за добу, d (витрати дефіциту) = 0,15 тис. грн. за штуку за добу.
Зміну рівня запасу в системі можна показати графічно (рис. 2.7):
Рис. 2.7. Графічне зображення зміни рівня запасу АВ — максимальна величина запасів; ED *— максимальна величина незадоволених вимог.
У точці Е надходить нова партія з інтенсивністю X. Площа трикутника АОС — середня величина запасу протягом циклу, а трикутника CDF — середня величина дефіциту.
АВ = Vr2 і, відповідно, ED =Угз, де V— інтенсивність споживання сердечників.
343
J L
Теорія і практика розробки управлінських рішень
Модель визначення оптимальної величини партії є умовах знижки на розмір замовлення (теорія розкладів)
В умовах ринкових відносин враховується знижка, тобто зниження ціни при оптових закупівлях. Розберемо на прикладі одну з моделей [22].
Приклад 14. Цех випускає насоси. Витрати переналагодження складають ЗО тис. грн. Потреба в насосах постійна і дорівнює 600 штук у рік. Вартість насоса залежить від величини замовлення (табл.2.5). Витрати змісту — 2% від вартості продукції.
345
Таблиця 2.5 Зміна цін на насоси є залежності від розмірів партій
Величина замовлення, штук |
Ціна за штуку, грн. |
1-149 150-399 400 і більше |
80 60 40 |
В.О.
Василенко
Завдання оптимального використання ресурсу (лінійне програмування) Приклад 15. [22] Підприємство може виготовляти чотири види продукції П-1,17-2, П-3, П-4. Збут будь-якого її обсягу забезпечений. Підприємство користується протягом кварталу трудовими ресурсами в 100 чол.-змін, напівфабрикатами масою 260 кг, верстатним устаткуванням у 370 станко-змін. Норми витрати ресурсів і прибуток від одиниці кожного виду продукції представлені в табл. 2.6.
Таблиця 2.6. Вихідні дані для розе 'язання завдання
, _ _ Ресурси |
Продукція |
Об'єм ресурсів |
||||
П-1 |
/7-2 |
П-3 |
П-4 |
|
||
Трупові ресурси люпино-змін |
2.5 |
2.5 |
2 |
1 5 |
100 |
|
Напівфабрикати, кг |
4 |
10 |
4 |
6 |
260 |
|
Станочне обладнання, станко-змін |
8 |
7 |
4 |
10 |
370 |
|
Прибуток ві л одиниці пролукшї. тис. грн. |
40 |
50 |
100 |
80 |
maxZ |
|
План випуску |
х; |
Х2 |
хз |
Х4 |
346
Теорія і практика розробки управлінських рішень
Необхідно:
-
Визначити план випуску продукції, максимізуючий прибуток.
-
Розв'язати завдання з вимогами комплектації, щоб кількість одиниць третьої продукції була в 3 рази більше кількості оди ниць першої.
-
З'ясувати оптимальний асортимент при додаткових умовах: першого продукту випускати не менш 25 одиниць, третього — не більш ЗО, а другого і четвертого —- у відношенні 1:3.
Запишемо математичну модель завдання: цільова функція — максимум прибутку:
тах:2= 40х1 + 50х2 + 100х3 + 80х4 при обмеженнях:
а) на трудові ресурси: 2,5х2 + 2,5х2 + 2х3 + 1,5х4 <100; на напівфабрикати: 4х; + 10х2 + 4х3 + 6х4 <2бО;
на верстатне устаткування: 8хг + 7х2 + 4х3 + 10х4 <370. Умова невизначеності х}- > 0, j =1,4;
б) додаткова вимога комплектації виразиться умовою Зх1 -х3 = 0;
в) граничні умови й умови комплектації представимо так:
Xj >25, х3 <30, Зх2 =х4.
Завдання про вибір оптимальних технологій (лінійне програмування) Приклад 16 [22]. Підприємство може вести роботи трьома технологічними способами. Витрата ресурсів за одиницю часу при відповідній технолога і продуктивність кожної технології в гривнях за одиницю часу представлені в табл. 2.7.
Визначити інтенсивність використання кожного технологічного способу xj.
Таблиця 2.7
Ресурси |
Продукція |
Об'єм ресурсів |
|||
Т-1 |
Т-2 |
Т-3 |
|
||
Робоча сила, людино - годин |
15 |
20 |
25 |
100 |
|
Сировина, т |
2 |
3 |
2,5 |
260 |
|
Електроенергія. кВт . ч |
35 |
60 |
60 |
370 |
|
Виробництво технологічного способу |
300 |
250 |
450 |
maxZ |
|
План використання технологічних способів |
XI |
Х2 |
ХЧ |
347
В.О.
Василенко
Раціональний розкрій промислових матеріалів — важливе джерело економії ресурсів. Він підвищує коефіцієнт використання матеріалів. Централізація розкрою на постачальницько-збутових базах могутньої корпорації дозволяє скоротити асортимент матеріалів, що веде до укрупнення замовлень. Сутність завдання про оптимальний розкрій полягає в розробці таких технологічно допустимих планів розкрою, при яких виходить необхідний комплект заготівель, а відходи за площею, вагою чи вартістю зводяться до мінімуму.
В даний час найбільш вивчені питання розкрою довгомірних і листових матеріалів.
Приклад 17. Постачальницько-збутова база одержала від постачальників дві партії прутиків сталевого прокату. Перша партія містить 100 прутиків довжиною по 6,5 м, друга — 250 по 4 м. З цих прутиків потрібно виготовити комплекти по п'ять деталей: дві деталі по 2 м і три по 1,25 м (табл. 2.8).
Необхідно. Розрізати прутики таким чином, щоб одержати максимальну кількість комплектів.
Таблиця 2.8 Матриця варіантів розкрою прутиків
Заготовка, м |
Варіант розкрою |
Розмір деталі, м |
Число заготовок |
План розкрою |
|
Лі =2 |
Л, = 1.25 |
||||
6,5 |
1 2 3 4 |
3 2 1 0 |
0 2 3 5 |
100 |
XII Х12 хіз Х14 |
4 |
1 2 3 |
2 1 0 |
0 1 3 |
250 |
Х21 Х22 Х23 |
Входе до комплекту |
2 |
3 |
maxZ |
348
Теорія і практика розробки управлінських рішень
Матрицю можна одержати емпірично. Наприклад, безпосередньою перевіркою легко встановити, що прутик довжиною 6,5 м можна розрізати на деталі по 2 і 1,25 м чотирма способами:
-
три деталі по 2 м;
-
дві по 2 м і дві по 1,25 м;
-
одна деталь по 2 м і три по 1,25 м;
-
п'ять деталей по 1,25 м.
Прутик довжиною 4 м може бути розрізаний на деталі потрібного розміру трьома способами:
-
дві деталі по 2 м:
-
одна деталь по 2 м і одна — по 1,25 м;
-
три деталі по 1,25 м.
2]
Математична модель прийме вигляд max: Z = х при обмеженнях: за ресурсами заготівель —
умова незаперечності — ху- >. 0.
Наведемо найпростішу модель розкрійного завдання у випадку критерію — мінімізація відходів при розкрої. Розглянемо завдання оптимального розкрою за одним виміром довгомірних матеріалів (прутиків, труб, профільного прокату й ін.). Нехай Z — довжина вихідного матеріалу;
Лі — довжина заготівлі і-го виду;
bj — потрібна кількість заготівель і-го виду;
аі} — кількість заготівель і-го виду, одержуваних при розкрої одиниці вихідного матеріалу noj-му варіанті;
cj — відхід при розкрої одиниці вихідного матеріалу по j-му варіанті.
Невідома величина Xj — інтенсивність використання j-го варіанта, тобто скільки одиниць вихідного матеріалу буде розкроюватися за у-іш варіантом.
Математична модель завдання може бути представлена у вигляді:
349
В.О. Василенко
Завдання розкрою за одним виміром довгомірних матеріалів може бути використана для подовжнього розкрою рулонів. Приклад 18. Прутики сталевого прокату довжиною 750 см, відповідно до заявок споживачів, потрібно розкроювати на заготівлі трьох видів з довжиною: As- 250 см, Л2 = 200 см і А3 = 150 см. Заявки надійшли на 200 тис. штук заготівель першого виду, 250 тис. — другого і 50 тис. — третього.
Знайти: а) оптимальний план розкрою за критерієм мінімуму відходів; б) мінімізувати кількість прутків, що підлягають розкрию, для задоволення заявленої потреби. Насамперед, побудуємо таблицю всіх можливих варіантів розкрою (табл. 2.9).
Таблиця 2.9 Матриця практично можливих варіантів розкрою прокату
при обмеженнях:
3xj + 2%2 + 2х3 + х4 + xs + х6 = 200000;
х2 + 2х4 + х5 + Зх7 + 2х8 + х9 = 250000;
х3 + 2х5 + 3xtf + x7 + 2 х# + 3jc9 + 5х!0 ~ 50000;
Xj>O,y= 1,10.
Аналогічно, хоча і трохи складніше, можна розв'язувати завдання за допомогою лінійного програмування за розкроєм склІі, лінолеуму й інших матеріалів.
Приклад 19. {лінійне програмування). Власник володіє чотирма видами ресурсів (т = 4) Це, наприклад, кошти, виробничі приміщення, устаткування, сировина.2
Необхідно розподілити ресурси між шістьма підприємствами (« = 6). Підприємства розрізняються за економічними умовами діяльності, місцем розташування, системою оподаткування, вартістю енергії, оплатою праці і т д., у зв'язку, з чим будуть різні витрати виробництва (табл. 2.10.)
Таблиця 2.10 Відносні рівні витрат на підприємствах
Номер варіанту |
Розмір заготовок |
Зали |
План |
||||
|
Лі = 250 |
Лі = 200 |
Дч =150 |
шок |
розкрою |
||
1 |
3 |
0 |
0 |
0 |
XI |
||
2 |
2 |
1 |
0 |
50 |
Х2 |
||
3 |
2 |
0 |
1 |
100 |
хз |
||
4 |
1 |
2 |
0 |
100 |
Х4 |
||
5 |
1 |
1 |
2 |
0 |
Х5 |
||
6 |
1 |
0 |
3 |
50 |
Хб |
||
7 |
0 |
3 |
1 |
0 |
Х7 |
||
8 |
0 |
2 |
2 |
50 |
Х8 |
||
9 |
0 |
1 |
3 |
100 |
Х9 |
||
10 |
0 |
0 |
5 |
0 |
ХНІ |
||
Кількість заготовок, тис. шт . |
|
|
|
|
|
Побудуємо математичну модель завдання: функція мети — мінімум відходів, тобто
min: Z = 50х, + 100х, + 100x4 + 50х« + + 50хя + Ю0хд
350
Підприємства |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Витрати |
0,4 |
0,5 |
0,2 |
0,8 |
0,6 |
0,3 |
Розподіл ресурсів за підприємствами поєднано з необхідністю обліку ряду обмежень, що можуть бути описані системою чотирьох рівнянь регрєсіиного виду із шістьма невідомими
1 - й вид ресурсов 4х, + х4 г= 16,
2-й вид ресурсов 2х2 +xs-10,
3-Й вид рссурсрв х3 + 2хА + бх, = 76,
4-Й вид ресурсов 4х, + Зх2 +х6= 24,
х, £00*1,2, .,4) (21)
2 За основу взято завдання, наведене в джерелі В.А. Абчук. Економіко-математичні методи. Елементарна математика і логіка. Методи дослідження операцій. - СПб: Союз,1999. — 370 с.
351
В.О. Василенко
Зміст першого рівняння в нашому прикладі в тім, що ресурс виду І, загальний обсяг якого складає 16 одиниць, може розміщатися в кількості чотирьох одиниць на підприємстві першого типу й однієї одиниці — на підприємстві четвертого типу. Аналогічно розкривається зміст другого і наступного рівнянь. Остання умова говорить про те, що кількість підприємств не може бути негативною.
Необхідно визначити, яку кількість підприємств кожного типу варто мати, щоб загальні витрати були мінімальними.
Відповідно до табл. 2.10 цільова функція, що підлягає оп- тимізації, має вигляд у = 0,4х, + 0,5*, + 0,2х, + 0,8*, + О.бх, + 0,3*6. (2 2)
Розв 'язок
Розв'язання завдання зводиться до виконання обмежень, заданих рівняннями (2.1), з урахуванням умови мінімізації виразу (2.2).
352
У нашому випадку (коли п-т=2) кожне з лінійних рівнянь (2.1), а також лінійна функція (2.2) можуть бути представлені в двомірному просторі (на площині). Для цього необхідно виразити всі відомі через незалежні величини. Наприклад, х, і х2 відповідні координатним осям, щодо яких буде вироблятися побудова (рис. 2.8).
Теорія І практика розробки управлінських рішень
(2-3) (2.4)
хА = 24-4*. -Зх, SO. ; (2.5)
Кожному з нерівностей (2.5) на графіку (див. рис. 2.8) відповідає нагавплощина, у межах якої знаходяться всі допустові даною нерівністю значення змінної величини x{j = 1,2,..., б).
Так, нерівності х} > 0 відповідає напівплощина вправо від осі х2 (границя її заштрихована).
Нерівності х3 = 8x1 + 12х2 — 16> 0 відповідає напівплощина вправо і нагору від лінії граничного значення даної нерівності (при х = 0). Рівняння цієї лінії
х+-д:,-2 = 0. 1 2 2
У такий же спосіб можна побудувати границі, зумовлені іншими рівняннями.
Нерівностям (2.5) відповідає деяка область — шестикутник ABCDEF, утворений границями згаданих вище напівплощин. Ця область може бути названа областю припустимих планів, оскільки будь-яка точка в її межах відповідає вимогам накладених обмежень (2.1).
З усіх допустимих планів нас цікавить оптимальний план, при якому функція мети (у) досягає мінімуму.
Цільовій функції відповідає сімейство прямих рівнобіжних ліній. Розглянемо одну з них, що проходить через початок координат, що буде мати місце за умови, коли в ~ 22,8. При цьому х2 = Зх}
353
B.O. Василенко
Цікавляча нас пряма в = 22,8, як видно з рис. 2.8, має нахил вправо від осі х2. Задаючи різними значеннями в, одержимо сімейство прямих ліній, рівнобіжних прямій в = 22,8, що проходить через точку 0. При цьому, чим менше буде значення в, тим, мабуть, правіше буде розташовуватися відповідна пряма.