- •Управление непрерывными динамическими тп Поиск экстремума функционалов
- •Свойства функций и функционалов
- •Классическое вариационное исчисление Метод Эйлера для определения экстремальных функций без ограничений
- •Решение вариационной задачи на безусловный экстремум при различных заданиях подынтегральной функции в функционале
- •Решение вариационных задач на условный экстремум (метод Эйлера-Лагранжа)
- •Решение задач акр с помощью кви
- •Решение задач акр с помощью метода Эйлера-Лагранжа
- •Решение неклассических задач вариационного исчисления
- •Принцип максимума
- •I. Решение задачи без ограничений на u.
- •II. Решение задачи с ограничениями.
- •Оптимальное по быстродействию управление линейными объектами
- •Теорема об nинтервалах
- •Нелинейные задачи оптимального управления
Управление непрерывными динамическими тп Поиск экстремума функционалов
Постановка задачи в общем виде.
Будем рассматривать динамические задачи оптимизации, когда объект управления описывается системой дифференциальных уравнений вида:
, (1)
где – вектор состояний системы,– вектор управлений. Для объекта (1) требуется найти такое управлениеили, переводящее объект из заранее заданной точкив конечную точку, так чтобы минимизировался критерий оптимальности, зависящий в общем случае от переменных системы и управлений:
. (2)
Поставленная задача встречается на нижних уровнях иерархии ТП – при управлении отдельными механизмами и агрегатами.
Пример объекта.Примером объекта (1) может служить электродвигатель постоянного тока с постоянным потоком возбуждения, на входе которого стоит инерционный усилитель. Тогда уравнение движения ЭД в относительных единицах можно записать в форме системы уравнений:
,
где – напряжение якорной цепи,– напряжение на входе усилителя,– скорость двигателя. В матричной форме:
,
где ,,.
Критерий оптимальности. В теории оптимальных процессов критерий оптимальности записывается в виде интегрального функционала:
,
где – время перехода, может быть задано или не задано заранее. Выбор критерия оптимальности является сложной проблемой и рассматривается в рамках теории принятия решений, исследования операций и т.д. В теории оптимальных процессов критерий оптимальности считаем постулатом, который выбирается из физических соображений. Главную роль здесь играет опыт, накопленный в данной области техники.
Приведем примеры критериев оптимальности, заданных в виде интегральных функционалов.
Задача быстродействия.
,
где – не задано, т.е. минимизируется время перехода изв.
Задачи с ограничением ресурсов (или на минимум ресурсов).
.
Здесь может быть задано или не задано, а функционал количественно характеризует отклонения переменных и управления в системе. Например, если задан функционал
,
то будем иметь постановку задачи стабилизации, в которой требуется минимизировать отклонения фазовых переменных, а также управления на полубесконечном интервале времени.
Задача на минимум энергии, поступающей в систему (ЭП):
,
на минимум импульса энергии (ракетные системы):
.
Если сравнить задачу (1,2) с постановкой задач на поиск экстремума функций, то (1) – это уравнения связи, (2) – цепь управления. Кроме того, (1) характеризует ограничения, связывающие систему в единое целое, но это ограничение в форме равенства.
Задача поиска экстремума функционала относится в математике к разделу вариационного исчисления. Классическое вариационное исчисление не предусматривает ограничения на переменные и, их решение дано Эйлером вXVIIIвеке.
В последние 20-25 лет из-за потребностей приложения возникла необходимость в разработке неклассических задач, когда на инакладываются ограничения, что всегда наблюдается в технике. Эти задачи, однако, можно иногда решить и классическими методами вариационного исчисления, что часто и делается до сих пор. Но здесь следует помнить л разработке наших ученых Понтрягина Л.С., Мищенко Е.Ф, Болтянского и др. – аппарата, получившего название «Принцип максимума», который значительно быстрее приводит к цели.
Рассмотрим математические основы решения задач оптимизации. Прежде чем приступать к изучению вариационного исчисления, рассмотрим свойства функционалов в сравнении со свойствами функций.