Интегральное исчисление_эл_учебник
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Харьковский политехнический институт»
Ю.Л. Геворкян, Н.А. Чикина, И.В. Антонова
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Электронный мультимедийный учебник
Теория пределов и непрерывность Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
(теория и практика)
Учебное пособие
Харьков, 2014
УДК 517.983(075):510.223(075) ББК 22.143 Г27
Авторский коллектив:
Ю.Л. Геворкян, к.ф.-м.н., профессор, зав. каф. высшей математики НТУ «ХПИ» Н.А. Чикина, к.т.н., доц., профессор каф. высшей математики НТУ «ХПИ» И.В. Антонова, к.т.н., доц. каф. высшей математики НТУ «ХПИ»
Рецензенты:
В.А. Ванин, д-р техн. наук, профессор кафедры высшей математики НТУ «ХПИ» А.И. Поворознюк, д-р техн. наук, профессор кафедры вычислительной техники и программирования НТУ «ХПИ»
Електронний мультимедійний навчальний посібник містить теоретичний і практичний курс вищої математики з теорії границь, диференціального та інтегрального числення функцій однієї змінної. Частина теоретичного матеріалу додатково представлена у форматі відео – лекцій. Посібник створений сумісно з лабораторією нових технологій у навчанні Центру нових інформаційних технологій НТУ «ХПІ».
Призначений для студентів очної, заочної та дистанційної форм навчання у вищих технічних навчальних закладах.
Геворкян Ю.Л.
Г27 Высшая математика. Теория пределов и непрерывность. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной (теория и практика) [Текст] : учеб. пособ. / Геворкян Ю.Л., Чикина Н.А., Антонова И.В. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2013. – 337 с.
ISBN
Электронное мультимедийное учебное пособие содержит теоретический и практический курс высшей математики по теории пределов, дифференциальному и интегральному исчислению функции одной переменной. Часть теоретического материала дополнительно представлена в формате видео – лекций. Пособие создано совместно с лабораторией нових технологий в обучении Центра нових информационных технологий НТУ «ХПИ».
Предназначено для студентов очной, заочной и дистанционной формы обучения в высших технических учебных заведениях.
Ил. 12. Библиогр.: 15 назв.
|
УДК 517.983(075):510.223(075) |
|
ББК 22.143 |
ISBN |
© Ю.Л. Геворкян, Н.А.Чикина, |
|
И.В.Антонова, 2014 |
|
© НТУ «ХПИ», 2014 |
ВВЕДЕНИЕ
С развитием компьютерных и мультимедийных технологий в учебный процесс вошли и активно используются обучающие и тестирующие программы по различным дисциплинам. Возросший интерес, как преподавателей, так и студентов, к такой форме обучения объясняется стремлением сегодняшних сту-
дентов к самостоятельной работе над предметом. Как показывает практика,
внедрение таких программ позволяет повысить не только интерес студентов к дисциплине, но и их успеваемость. Решению этой задачи в некотором смысле посвящено настоящее электронное издание. Основная цель его – закрепить у студентов систему фундаментальных представлений, связанную с понятием пределов, дифференциального и интегрального исчисления функции одной пе-
ременной, достаточную для усвоения технических дисциплин в диапазоне ин-
женерных специальностей, по которым готовит специалистов НТУ «ХПИ».
Электронный мультимедийный учебник «Высшая математика. Теория пределов и непрерывность. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» состоит из теоретической и практической части.
Часть теоретического материала дополнительно представлена в формате видео
– лекций. Практическая часть – комплекс практических занятий (16 практиче-
ских занятий), который представляет собой по сути обучающие и тестирующие в режиме on-line программы по указанным разделам курса высшей математики,
созданные по принципу имитации «присутствия преподавателя». Эти програм-
мы дают возможность каждому студенту максимально индивидуализировать процесс обучения, осуществлять самоконтроль.
Материал представлен в электронной форме, может быть исполнен на любом оптическом носителе (CD-ROM, DVD и др.), а также опубликован в электронной компьютерной сети.
Программное обеспечение и техническая поддержка настоящего элек-
тронного издания осуществляется лабораторией новых технологий в обучении ЦНИТ НТУ «ХПИ».
3
Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3. 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
3.1.1. Основные определения
Одной из основных задач дифференциального исчисления является зада-
ча нахождения производной функции. Основной задачей интегрального исчис-
ления является обратная задача – отыскание функции по заданной ее производ-
ной.
Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором интервале, если в каждой точке этого интервала
F (x) f x .
|
Пример 3.1. Функция |
F(x) cos x |
является первообразной для функции f x sin x на интервале |
|||||||||||||||
( , ) , так как [cos x] sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F x |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
x |
|
на |
||||
|
Пример 3.2. Функция |
4 x2 является первообразной для функции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интервале ( 2, 2) , так как 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 3.1. Пусть функция F (x) является первообразной для функции |
|||||||||||||||||
f (x) |
на некотором интервале. Тогда все остальные первообразные для функ- |
|||||||||||||||||
ции |
f (x) имеют вид F(x) C , где C – произвольная постоянная. |
|||||||||||||||||
|
Определение. |
Пусть |
|
|
F (x) является первообразной |
для функции |
f (x) , тогда выражение F(x) C называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом
4
f (x)dx F (x) C, |
(3.1) |
f (x) – подынтегральная функция,
f (x) dx – подынтегральное выражение.
Отыскание множества всех первообразных для заданной функции назы-
вается интегрированием.
Теорема 3.2. Любая, непрерывная на некотором интервале, функция име-
ет на нем первообразную.
В настоящем разделе будут рассмотрены первообразные лишь для непре-
рывных функций.
3.1.2. Таблица основных интегралов
Используя формулы, по которым вычислялись производные элемен-
тарных функций, можно составить таблицу интегралов.
1. dx x C . 9. sin x dx cos x C .
2. xαdx |
xα 1 |
|
C |
(α 1) . |
|
α 1 |
|||||
|
|
|
3.dxx 2x C .
4.dxx ln x C .
|
|
dx |
|
|
|
|
||
5. |
|
|
arctg x C . |
|||||
1 x2 |
||||||||
6. |
|
|
dx |
|
|
arcsin x C . |
||
|
|
|
|
|
||||
1 x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
axdx |
|
|
ax |
C . |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ln a |
|||
8. |
exdx ex C . |
10. |
cos x dx sin x C . |
||||
11. |
|
dx |
tg x C . |
||
|
|
||||
cos2 x |
|||||
12. |
|
|
dx |
ctg x C . |
|
|
|
||||
sin2 x |
13.ch x dx sh x C .
14.sh x dx ch x C .
15. |
|
|
dx |
cth x C . |
|
|
|
|
|||
sh2 x |
|||||
16. |
|
dx |
th x C . |
||
|
|||||
ch2 x |
5
3.1.3. Основные свойства неопределенного интеграла
Прежде всего, отметим два свойства:
1.f (x) dx f (x) .
2.d f (x) dx f (x) dx .
3.dF (x) F (x) C .
Замечание. Эти три свойства неопределенного интеграла вытекают непо-
средственно из определения.
4. Свойство аддитивности:
[ f1(x) f2 (x) ... fn (x)]dx f1(x) dx f2 (x) dx ... fn (x) dx,
то есть неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого.
5. Свойство однородности:
[λf (x)]dx λ f (x)dx, где λ const .
Объединяя свойства 3 и 4, можно записать (свойство линейности),
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
λk fk x dx |
λk fk x dx . |
|
||
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
6. Инвариантность формул интегрирования. |
|
|||||
|
|
f x dx F x C, |
|
|
|
где u x |
Пусть |
|
тогда |
u x du F u C, |
извольная дифференцируемая функция аргумента x .
Доказательство. По определению
dF x f x dx.
что
– про-
В силу инвариантности формулы первого дифференциала, имеем |
|
dF u f u du. |
(3.2) |
Проинтегрировав равенство (3.2), получим:
f u du dF u F u C.
6
Пример 3.3. Найти ctg x dx.
Решение. ctg x dx cos x dx . Известно, что cos x dx d sin x. sin x
Следовательно,
ctg x dx d sin x ln sin x C.
Аналогично получаем:
tg x dx ln cos x C.
Пример 3.4. Найти интеграл |
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Нетрудно проверить, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
x |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2a x a |
|
x a |
Применяя свойство линейности неопределенного интеграла, получаем:
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
1 |
|
d (x a) |
|
1 |
|
|
d (x a) |
|
|||||||||||||
x |
2 |
2 |
|
2a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
x a |
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a x a |
|
|
|
2a x a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x a |
|
C |
1 |
|
x a |
|
|
C. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
x a |
|
|
ln |
|
|
ln |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
3.2. Основные методы интегрирования
3.2.1. Интегрирование путем замены переменной
В основе метода замены переменной в неопределенном интеграле лежит следующая теорема.
Теорема 3.3. Пусть x φ t – монотонная дифференцируемая функция,
тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dx |
|
f φ t |
|
t dt. |
(3.3) |
|
|
|
φ |
Формула (3.3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
7
Пример 3.5. Найти |
|
dx |
|
. |
|
2 |
2 |
||
|
a |
x |
|
|
Решение. Положим x at , тогда |
|
dx adt . Применив формулу (3.3), получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
adt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
arctg t C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
2 |
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Возвращаясь к исходной переменной x , получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
x |
2 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Применяя ту же замену переменной x at , нетрудно получить формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.6. Найти x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 x3 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. Положим 4 x3 |
|
|
t , тогда dt 3x2dx , откуда x2 dx |
|
1 |
dt . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
Применяя формулу (3.3), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 4 x3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
dt |
2 |
(4 x3 )2 C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 3.7. Найти |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x ln3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Если положить ln x t , |
то получим dt |
dx |
. Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln |
3 |
|
|
t |
3 |
2t |
2 |
2 ln |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
Пример 3.8. Найти |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Положим |
|
x |
|
|
a |
x t , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx dt . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
|
x2 |
a x |
dx dt , так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
t |
C ln |
x |
|
x |
2 |
a |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполните практическое занятие 11.
8
Практическое занятие 11
Тема: Неопределенный интеграл. Инвариантность формул интегрирования.
Простейшие методы интегрирования.
Пример 1. Найти: (3x2 4x 7)dx .
Ответ: x3 2x2 7x C .
Помочь?
Подсказка 1. Воспользуйтесь свойством линейности неопределенного
интеграла.
Напомнить?
Подсказка 2. Свойство линейности неопределенного интеграла:
[α f (x) β g(x)]dx α f (x)dx β g(x)dx.
Для заданного интеграла
(3x2 4x 7)dx 3 x2dx 4 xdx 7 dx.
Далее воспользуйтесь табличным интегралом:
xndx |
|
xn 1 |
|
C , |
n 1 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не получается? |
Подсказка 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2dx 4 xdx 7 dx 3 |
x3 |
|
4 |
x2 |
|
7x C x3 |
2x2 |
7x C. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Замечание. dx вычисляем также по приведенному табличному интегра- |
|||||||||||||||
лу при n 0 : dx x0dx |
x1 |
C x C . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти: |
2x3 x4 3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
Ответ: x2 x3 3 C. 3 x
Помочь?
Подсказка 1. Преобразуйте подынтегральную функцию, выполнив
почленное деление, примените свойство линейности неопределенного интегра-
ла.
Не получается?
Подсказка 2.
f x |
2x3 x4 3 |
2x x2 |
|
3 |
, |
||
x2 |
|
x2 |
|||||
|
|
|
|
f (x)dx 2 xdx x2dx 3 dxx2 .
Далее воспользуйтесь табличным интегралом:
xndx |
xn 1 |
|
C , |
n 1 . |
|
n 1 |
|||||
|
|
|
Как?
Подсказка 3. Так как 1 x2
2 xdx x2dx 3 dx x2
x 2 , то
2 |
x2 |
|
x3 |
3 |
x 1 |
C x2 |
x3 |
|
3 |
C. |
|
|
1 |
|
|
||||||
2 |
3 |
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Найти |
|
5 |
|
x 2 |
3 x5 3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
10 |
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
C . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||
|
|
|
3 x |
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Помочь? |
Подсказка 1. |
|
Преобразуйте |
|
|
подынтегральную функцию, выполнив |
почленное деление, примените свойство линейности неопределенного интегра-
ла.
Не получается?
10