Практикум по математическому анализу
.pdfПрактикум по математическому
анализу
Функция. Способы задания. Классификация функций. Числовая последовательность
1.Способы задания функций. График функции.
2.Классификация функций.
3.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Теоретическая часть:
Функция одной переменной: основные понятия
Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а≤х≤b,
называется отрезком и обозначается [ a;b ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Множество |
действительных чисел х, |
удовлетворяющих неравенству |
|||||||||||
a<х<b, называется интервалом и обозначается (а; b). |
|
|
|
||||||||||
Интервал |
( x - ; x ) |
, где |
|
> 0 называется |
|
- окрестностью точки х. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
- окрестностью + называется |
( |
|
;+ ); |
|
- окрестностью - |
||||||
|
|
|
|||||||||||
называется (- ; - ); - окрестностью называется (- |
; - |
)U( ;+ ). |
Величины в математике делятся на постоянные и переменные. Постоянной называется величина, которая в условиях данного
эксперимента сохраняет одно и то же значение.
Переменной называется величина, которая в условиях данного эксперимента может принимать различные значения.
Рассмотрим две переменные величины х и у и пусть у зависит от х. Зависимость у от х, при которой каждому значению переменной х
соответствует единственное, вполне определенное, значение переменной у,
называется функциональной.
Пусть даны два множества Х и У.
Определение: Функцией, отображающей Х в Y, называется соответствие, при котором каждому элементу хєХ соответствует единственный элемент уєY. Обозначается это так: f : X Y . Множество Х называется областью определения функции, множество Y – областью значений функций. Значение функции в точке х обозначается f(x).
Способы задания функции бывают следующие:
1) |
аналитический способ; |
2) |
графическое задание; |
3) |
табличный способ; |
4) |
перечисление множества пар вида x; f x и так далее. |
Функция определяет однозначное соответствие в одну сторону, но не требуется, чтобы обратное соответствие в одну сторону, но не требуется, чтобы обратное соответствие тоже было однозначным. Однако, если
соответствие |
f : X Y , определяемое данной функцией, |
является взаимно |
||
однозначным, |
то |
функция |
называется обратимой, |
а соответствие |
Y X называется обратной функцией и обозначается f 1 . |
|
|||
Приняты обозначения: область определения - D f ; множество значений - |
||||
f . При этом всегда |
f D f f |
Y , где Y– область значений. |
Если функция усмотрена из конкретной практической задачи, то ее область определения может быть заранее не дана. И тогда ее установить из данной задачи.
Если функция задана формулой и практическое происхождение формулы неясно, а также область определения функции не указана, то условились под областью определения этой функции понимать область определения соответствующего аналитического выражения.
|
|
|
Классификация функций |
|
|
|
Определение: Функция f называется неубывающей (невозрастающей) |
||||||
на множестве Х, |
если для любых х1 и х2 х1 |
Х , х2 Х . Из того, что |
х2 |
x1 |
||
следует, что |
f x2 |
f x1 |
f x2 f x1 . |
|
|
|
f (x) |
|
- |
неубывающая |
(невозрастающая) |
|
на |
def |
x1 X x2 X x2 x1 f x2 f x1 ( f x2 f x1 ) . |
|
|
|||
X x1 , x2 |
|
|
Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными. Если в предыдущем определении между значениями функции будет
стоять знак строгого неравенства, то функция будет называться возрастающей и убывающей (функция тогда называется строго монотонной).
Определение: Функция f называется ограниченной на множестве Х, если множество ее значений f(x), принимаемых на данном множестве Х, является ограниченным.
Определение: Функция f называется четной (нечетной), если выполняется:
1) Область определения симметрична относительно точки х=0, т.е. x :
x D f x D f .
2) |
x D f |
: |
f ( x) f (x) |
f ( x) f (x) |
График четной функции симметричен относительно оси ОY (осевая симметрия). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).
Определение: Функция f называется периодической с периодом T>0, если:
1) x : x D f x T D f
2) x : x D f f (x T ) f x .
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
Определение: Числовой последовательностью называется заданная на множестве всех натуральных числе: f 1 , f 2 , f 3 , ..., f n , f n 1 , ...
функция,
или |
|
|
|
|
|
|
, ... x |
|
|
|
x |
, x |
2 |
, x |
, ..., x |
n |
, x |
n 1 |
n |
||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
xn - общий член последовательности.
Способы задания последовательности могут быть такие же, как и у других функций:
1. Аналитический. Например,
x |
|
|
n |
, |
т.е. x |
|
|
1 |
, |
2 |
, |
3 |
, ..., |
n |
, ... |
|
n |
n 1 |
n |
2 |
3 |
4 |
n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. «Кусочный». Например,
|
1 |
, если n нечетное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
x |
|
1, 0, |
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
если n четное, т.е. |
|
, 0, |
, 0, ... |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
3 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Вотличие от других функций для последовательности есть
своеобразный способ
x1 |
|
|
xn 1 |
|
2 xn n N |
2; |
Рассмотрим примеры:
задания |
– |
рекуррентный. |
Например, |
т.е. |
|
|
|
1)
x |
n |
|
x |
|
1 |
n |
1 |
|||
n |
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
1; |
1 |
; |
1 |
|||
2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
(рис. 21)
; |
1 |
; |
1 |
; |
1 |
; ... |
|
4 |
5 |
6 |
|||||
|
|
|
|
Какую бы малую окрестность точки х=0 мы ни взяли, вне этой окрестности окажется лишь конечное число членов. Другой такой точки нет. Точка х=0 является пределом этой последовательности. Запишем это так:
lim 1 n
2)
3)
x |
n |
|
1 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
т.е. xn |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
xn n, |
|
|
||||||||||
x |
|
|
1 |
n |
n |
|
|
|||||
n |
|
n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
; |
2 |
; |
3 |
; |
4 |
|||||
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1;2;3;4 ... Эта последовательность предела не имеет.
; |
5 |
; |
6 |
; ... . Члены последовательности как угодно близко |
|
6 |
7 |
||||
|
|
|
подходят к точкам 1 и -1.
Однако вне окрестности точки х=1 имеется бесконечное число членов данной последовательности. Поэтому 1 не является пределом этой последовательности, аналогично -1 тоже не является пределом.
Определение 1: Число а называется пределом последовательности xn ,
если какую бы малую окрестность точки а мы ни взяли, вне этой окрестности будет находиться лишь конечное число членов последовательности. Запишем
это так:
lim x |
n |
a |
|
|
или xn a .
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.
В противном случае – расходящейся. |
xn , |
Определение: Точка а называется пределом последовательности |
если какую бы малую окрестность этой точки мы ни взяли, все члены последовательности. Начиная с некоторого номера, попадут в эту окрестность, т.е.
def
lim xn a U a, N n n N xn U a,
или
|
|
def |
N n n N x |
|
|
lim x |
n |
a 0 |
n |
a |
|
|
|
|
|
1.Теорема: Всякая сходящаяся последовательность может иметь только один предел.
Если из данной последовательности удалить часть ее членов, так что в последовательности останется бесконечное число членов, и, если оставшиеся члены заново пронумеровать в прежнем порядке, то получится новая последовательность, которая называется подпоследовательностью данной последовательности.
2.Теорема:Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность также сходится к тому же пределу.
3.Теорема:Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Замечание. Обратное утверждение неверно. Последовательность может
быть ограниченная, но расходящаяся. Например, xn 1 n . |
|||||||||
|
|
|
4. Теорема:Пусть даны |
(xn ) и |
уn . |
Причем |
n : xn yn , и пусть |
||
|
xn a, yn b . Тогда справедливо |
a b . |
|
|
|
||||
|
|
|
5. Теорема: Пусть |
xn yn |
zn . |
Если |
крайние |
последовательности |
|
|
xn , zn имеют одинаковый предел, то и промежуточная последовательность yn |
||||||||
также сходится и имеет тот же предел. |
|
|
|
||||||
|
|
|
Определение: Последовательность n называется |
бесконечно малой, |
|||||
если она стремится к 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Определение: Под окрестностью +∞ мы будем понимать любой |
||||||
интервал вида Е, , где |
Е 0 |
, |
под окрестностью -∞ интервал , E , а |
||||||
под окрестностью ∞ - объединение интервалов , E E, . Неравенство |
|||||||||
|
x |
|
E означает: «х принадлежит Е – окрестности ∞». |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
Определение: Последовательность |
xn называется бесконечно большой, |
если какую бы окрестность бесконечности мы ни взяли, вне этой окрестности останется лишь конечное число членов в последовательности.
Записывается это так: |
lim xn |
или |
xn . Бесконечно |
большая |
|
последовательность является расходящейся. |
|
|
|||
Всякая |
бесконечно |
большая |
последовательность |
является |
неограниченной. Обратное утверждение неверно, т.е. последовательность может быть неограниченной, но не стремиться к бесконечности.
Например:
1)1;2;1;3;1;4;1; ...
2)xn 1 1 n n , т.е. xn 0;4;0;8;0;12; ...
Теорема: 1) Если n - бесконечно малая последовательность, члены
которой отличны от нуля, то xn 1 - бесконечно большая.
n
2) Если |
xn |
- бесконечно большая последовательность, члены которой |
отличны от нуля, то n |
|
1 |
- бесконечно малая последовательность. |
|
x |
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Практические задания:
1. Найти область определения функции:
а) f (x)
б)f(x)=
|
1 |
|
ln(2x 1) |
|
2 |
||
|
3x x |
2 |
|
|
|
||
|
2x |
|
|
|
|
||
3 2x x2 |
|
в)f (x)=
х |
|
1 |
|
3 |
х 3 |
||
|
|||
|
|
lg(
2х
3
)
2. Для функции найти ей обратную
а) y 2x 5 |
б) y |
x 3 |
в) y |
4 5x |
|
||||
|
2 |
|
|
3.Найти значение функции при данных значениях переменной:
f (x)=
lg(5 x) |
||
x |
2 |
x |
|
, х=4; х=с
4.Исследовать функцию на четность, нечетность
|
х |
4 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
f(x)= |
|
x |
ln(1 |
x |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.Даны функции, заполните таблицу: |
||||||||||||
1)y=3x2+sin x; |
|
|
|
2) y+ln xy=cos |
x |
; |
|
|||||
|
|
|
y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)y=cos(2x+3); |
|
|
5) y=(5x3+2x)ln x; |
|||||||||
7) y=cos(x3+2y)-sin3x; |
8)y=arccos( |
3х2 2х |
); |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5х 3 |
3)y=tg(x2+7x);
6)y +5x+y=ln y;
x
9)y-3x2+cos3x=5.
Функция |
|
Функция |
задана |
Функция |
Функция не |
|
задана |
в |
является |
является |
|||
в неявном виде |
||||||
явном виде |
сложной |
сложной |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
6. Вычислить пределы числовых последовательностей
1.
lim |
(3 n) |
|
|
n) |
|
n (3 |
2 2
(3 n)
(3 n)
2 2
.
2.
|
(3 n) |
4 |
(2 n) |
4 |
|
|
lim |
|
|
. |
|||
|
4 |
|
4 |
|||
n (1 n) |
(1 n) |
|
||||
|
|
|
|
7. Вычислить пределы числовых последовательностей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
lim |
n3 |
5n2 |
|
4 9n8 1 |
|
|
. 2. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n (n n) |
|
7 n n2 |
|
|
|
|
n 1 |
n |
2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
. |
n 3 |
3n |
3 |
|
4 |
n |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
8. Вычислить пределы числовых последовательностей
1. limn n(n2 1 n2 1) . 2.
lim n( |
n(n 2) |
n |
2 |
|
|||
n |
|
|
|
3)
.
9. Вычислить пределы числовых последовательностей
1.
|
n 1 |
|
n |
|
|
||
lim |
. |
||
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
2.
|
|
2n 3 |
|
n 1 |
|
|
|||
lim |
2n 1 |
. |
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самосоятельного решения:
1.
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
n |
2 |
1 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
2 |
. |
||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2.
|
n 1 |
|
n 2 |
|
|
||
lim |
. |
||
n |
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
n5 |
8 n n(n2 5)) |
|
||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
||||||
|
n |
|
|
|
|
4.
6.
lim ( |
n |
2 |
|
|||
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
(3 n) |
4 |
||||
lim |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
||
n (1 n) |
||||||
|
3n 2
(2
(1
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n) |
. |
5. |
lim |
|
3 |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
n 3 |
n |
1 |
|
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции в точке
1. Техника вычисления предела функции в точке
2.Техника вычисления предела функции на бесконечности.
Теоретическая часть:
Рассмотрим функцию y=f(x).Придавая переменной х различные значения, получим х1; х2; х3;...хn...- последовательность значений аргумента. Ей соответствует: f(x1);f(x2); f(х3); …; f(xn);… - последовательность соответствующих значений функции.
Если из того, что любая последовательность значений аргумента, взятая из области определения функции и -окрестности точки х0 (хn х0) сходится к х0 (x х0) следует, что последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А (f(х) А), то число А называется пределом функции f(x) в точке х0.
Обозначение:
lim n x0
f(x)
A
.
Если
lim n x0
f(x)
0
, то функция f(х) называется бесконечно малой в
окрестности точки х0.
Например: функция у=х-4 при х
Если |
lim f(x) |
или |
lim |
||
n x |
|
n x |
|
||
|
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
4 является бесконечно малой.
f(x) , то функция называется
бесконечно большой в окрестности точких0. |
|
Замечание. Данные выше определения справедливы и при x ± Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых функций в окрестности некоторой точки есть
бесконечно малая в окрестности той же точки;
.
функция
2)произведение любого конечного числа бесконечно малых функций в окрестности некоторой точки есть функция, бесконечно малая в окрестности той же точки;
3)произведение бесконечно малой функции в окрестности некоторой точки на функцию ограниченную, есть функция, бесконечно малая в окрестности той же точки.
Бесконечно малые функции в окрестности некоторой точки х0 |
(х) и |
||
(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если |
|||
lim |
(x) |
c 0 . |
|
|
|
||
x x0 |
( x ) |
|
Если с=0 то |
|
(х) называется |
|
||
высокого порядка |
малости по |
бесконечно
сравнению с
малой функцией
(х). Бесконечно
более
малые
функции (х) и
если |
lim |
(x) |
|
( x ) |
|||
x x0 |
|||
|
(х) называются эквивалентными в окрестности точки х0,
1 |
. Обозначение: |
( x ) ~ ( x ) |
. |
|
|||
|
|
Предел бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией т.е.
lim |
f ( x ) |
|
lim |
f1 |
( x ) |
,если f ( x ) ~ f1 |
( x ), ( x ) ~ 1( x ) . |
|
( x ) |
|
( x ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
x 1 |
|
|
|
При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими основными теоремами о пределах:
если |
lim |
f ( |
x x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1) lim c
x x0
x ) и |
lim q( x ) существуют и конечны, то |
|
x x0 |
c , где c=const.
2) |
lim c f(x) c lim f ( x ) . |
|
|
x x0 |
x x0 |
3) |
lim |
|
x x |
|
0 |
f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) |
|
x x |
x x |
0 |
0 |
4) |
lim |
|
x x |
|
0 |
f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) |
|||
x x |
0 |
x x |
0 |
5) |
lim |
|
x x |
|
0 |
f ( x ) |
|
lim f ( x ) |
|
|
x x |
0 |
|
g( x ) |
|
lim g( x ) |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
0 |
, если lim q( x ) 0
x x0
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
1)сокращение на множитель, создающий неопределенность;
2)деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента
(для отношения многочленов при х 3) применение эквивалентных
больших;
);
бесконечно малых и бесконечно
4) применение первого
замечательного предела lim x
замечательного предела
|
1 |
x |
1 |
|
|
|
|||
1 |
|
|
lim 1 x x |
e |
|
x |
|
x |
|
lim |
sin x |
1 |
|
x |
|||
x 0 |
|
и второго
Кроме того, при вычислении пределов полезно запомнить следующее:
lim |
f ( x ) |
|
( x ) |
||
x a |
||
lim |
f ( x ) |
|
( x ) |
||
x a |
||
lim |
f ( x ) |
|
( x ) |
||
x a |
||
lim |
f ( x ) |
|
( x ) |
||
x a |
=0, если |
lim f ( x |
||
|
|
|
x a |
= |
|
, если |
lim f ( |
|
|||
|
|
|
x a |
=0, если |
lim f ( x |
||
|
|
|
x a |
= |
|
, если |
lim f ( |
|
|||
|
|
|
x a |
) c x ) ) 0 x )
, lim ( x ) , |
|
с |
|
|
|
||||
т.е. |
|
|
=0 |
|
|||||
x a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
c ,lim ( x ) 0, |
|
с |
|
|
|
||||
т.е. |
|
|
= |
|
|||||
|
|
|
|||||||
x a |
|
0 |
|
|
|
||||
, lim ( x ) с , |
0 |
|
|
|
|
||||
т.е. |
|
|
|
=0 |
|
||||
x a |
|
с |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, lim ( x ) с , т.е. |
|
= |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
||||||||
x a |
|
|
|
с |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Может также понадобится таблица бесконечно малых в окрестности х0 функций, эквивалентных данным.
tgmx ~ mx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
sain mx ~ mx |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
~ 1 x |
|
|
|||||
x 1 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg mx ~ mx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 1 1 ~ |
|
при |
|||||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 cos 2 x ~ |
|
3 sin 2 |
|
|
||||||
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin mx ~ mx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
||||
1 cos x ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Практическая часть:
1. Найти пределы функций:
|
2x |
2 |
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) lim |
|
приx |
|
2; x |
|
3; x |
|
; |
|||||||
|
2 |
4x 15 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||
x x 0 3x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) lim |
x 1 |
|
7 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) lim |
1 cosx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
3 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
1а)
8 10 3 12 8 15
1б)
|
|
|
2x |
2 |
5x 3 |
||
lim |
|
|
|||||
|
|
2 |
4x 15 |
||||
x 2 |
3x |
||||||
|
|
||||||
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2x |
2 |
5x 3 |
||
lim |
|
|
|||||
|
|
2 |
4x 15 |
||||
x 3 |
3x |
||||||
|
|
=(так как функция непрерывна при х=2)=
|
0 |
|
|
|
.Разложим числитель и знаменатель на |
|
0 |
|
множители.
2x |
2 |
5x |
3 0; |
x |
|
|
5 |
25 24 |
|
5 |
7 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1,2 |
|
4 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
3x |
2 |
|
|
3, x |
2 |
|
|
|
|
4x 15 |
1
2
0;
. 2x |
||
x |
1,2 |
|
|
|
2 |
5x |
|
|
||
4 |
16 |
|
|
|
6 |
3
2(x 3)(x |
1 |
) (x 3)(2x |
1). |
||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
180 |
|
4 14 |
; |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3, x |
|
|
|
5 |
. 3x |
2 |
4x 15 3(x |
3)(x |
5 |
) (x 3)(3x 5). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
5x |
3 |
|
|
|
|
(x 3)(2x 1) |
|
|
1 |
|
|||||||||||||
Получим |
lim |
|
|
|
|
lim |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3 3x |
|
4x 15 |
x 3 (x 3)(3x 5) |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
(2 |
|
5 |
|
3 |
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2x |
|
5x |
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1в) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
4x |
|
15 |
|
2 |
|
|
4 |
|
15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x 3x |
|
|
|
x |
x |
(3 |
|
) |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
lim |
x 1 |
|
7 x |
0 |
|
|
(Домножим числитель и знаменатель на |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумму корней)