![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Экз. Геометрия
.pdf![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH21x1.jpg)
1.Многоугольник – это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).
2.Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
3.Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.
4.Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
5.Свойства параллелограмма:
1.В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам
(AC – общая сторона, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому: AB=CD, AD=BC и B= D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем
A= 1 + 3= 2+ 4= C.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.
6.Признаки параллелограмма:
1.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник
– параллелограмм.
![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH22x1.jpg)
2.Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3.Если в четырехугольнике диагонали не пересекаются и точкой пересечение делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
7.Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
8. Равнобедренная трапеция – если её боковые стороны равны.
9.Прямоугольная трапеция – трапеция, один из углов которой прямой.
10.Теорема Фалеса.
Теорема.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство.
Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла.
Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.
C1B2B1 = C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, C1B2B1 = C2B2B3, как вертикальные, B1C1B2 = = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.
11.Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.
12.Свойства прямоугольника:
![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH23x1.jpg)
1.
2.
13. Признаки прямоугольника:
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Теорема.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Доказательство.
Пусть дан параллелограмм ABCD и A = B = С = D.
Углы A и B являются внутренними односторонними, а значит их сумма равна 180 º. По условию они равны, значит каждый из них равен 90 º. Значит, A = B = С = D = 90 º. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. Теорема доказана.
14.Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
15.Свойство ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Рассмотрим ромб ABCD. Требуется доказать, что AC
BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, что BAC= DAC.
По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD – равнобедренный. Т.к. ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой O пересечения делятся пополам. Следовательно,
![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH24x1.jpg)
AO – медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC BD и BAC= DAC, что и требовалось доказать.
16.Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
17.Основные свойства квадрата.
1.Все углы квадрата прямые.
2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся
пополам и делят углы квадрата пополам.
18.Свойства площадей.
19.Площадь квадрата: S=a2
20.Теорема о площади прямоугольника:
![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH25x1.jpg)
21.
22. Следствия теоремы о площади треугольника:
![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH26x1.jpg)
Следствие 1: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Следствие 2: Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
23. Теорема об отношении площадей треугольника имеющих по равному углу.
24. Площадь трапеции.
![](/html/2706/297/html_dVLTWiksta.YqoM/htmlconvd-HE6WH27x1.jpg)
25. Теорема Пифагора.
26. Обратная теорема Пифагора.