PraktykumD+ICh
.pdfНаціональний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ПРАКТИКУМ
Київ — 2011
Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум. (І курс І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К:
НТУУ «КПІ», 2011. — 180 с.
Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (протокол № 5 від 22.01.2009)
Навчальне видання
Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної
Практикум
для студентів І курсу технічних спеціальностей
Укладачі: |
Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц. |
|
Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц. |
|
Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц. |
|
Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц. |
Відповідальний |
В. В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, професор |
редактор |
|
Рецензенти: |
С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц. |
|
В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц. |
Зміст
Теоретична частина
Вступ ........................................................................................................................ |
|
4 |
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ ............................. |
5 |
|
Розділ 1. |
ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ....................................... |
13 |
Розділ 2. |
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ |
|
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ........................................................................... |
42 |
|
Розділ 3. |
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ .......... |
53 |
Практична частина
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1. |
Множини. Функції ......................................................................................... |
61 |
|
2. |
Границя послідовності ................................................................................... |
68 |
|
3. |
Границя функції ............................................................................................. |
76 |
|
4. |
Нескінченно малі та нескінченно великі функції......................................... |
84 |
|
5. |
Неперервність функції. Точки розриву функції ........................................... |
91 |
|
Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ |
|
||
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ |
|
||
6. |
Похідна. Техніка диференціювання .............................................................. |
99 |
|
7. |
Застосування похідної.................................................................................. |
110 |
|
8. |
Похідні вищих порядків............................................................................... |
115 |
|
9. |
Правило Бернуллі — Лопіталя .................................................................... |
118 |
|
10. |
Тейлорова формула .................................................................................... |
123 |
|
11. |
Дослідження функцій за допомогою похідних......................................... |
128 |
|
12. |
Побудова графіків функцій........................................................................ |
134 |
|
Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ |
|
||
13. |
Інтегрування внесенням під знак диференціала....................................... |
145 |
|
14. |
Методи замінювання змінної і інтегрування частинами.......................... |
153 |
|
15. |
Інтегрування дробово-раціональних фунцій ............................................ |
159 |
|
16. |
Інтегрування тригонометричних виразів .................................................. |
168 |
|
17. |
Інтегрування ірраціональних виразів........................................................ |
172 |
|
Список використаної і рекомендованої літератури...................................... |
179 |
Вступ
Практикум з вищої математики «Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який містить: конспект лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань, збірник контрольних та тестових завдань.
Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання математики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:
—множини;
—границя функції і неперервність;
—похідна й диференціал;
—техніка диференціювання;
—правило Бернуллі — Лопіталя і формула Тейлора;
—повне дослідження функцій та побудова їхніх графіків;
—первісна й інтеграл;
—основні методи інтегрування;
—інтегрування деяких класів функцій.
Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує свідоме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які достатньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові практичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для самостійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього завдання з відповідями.
Метою практикуму є:
допомогти опанувати студентам основ математичного аналізу;
розвинути логічне та аналітичне мислення;
виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач.
Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення, передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням конспекту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку рекомендованої літератури.
У практичній частині використано такі позначення:
[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій вміщено теоретичний факт або формулу, таблиці A.B. з теми А;
,,,... — посилання у навчальній задачі на коментар, який вміщено після її розв’язання.
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
0.1. Модуль, ціла та дробові частини дійсного числа
Модуль дійсного числа. Модулем |
Властивості модуля. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(абсолютною величиною) дійсного |
x y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа x називають число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 0, |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x, |
x 0 |
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Геометричний зміст модуля. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Віддаль між точками A(a) та B(b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
числової прямої дорівнює |
|
b a |
|
. |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
y |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ціла частина числа. Цілою |
Дробова частина числа. Дробовою |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частиною числа x називають |
частиною числа x називають число |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найбільше ціле число, яке не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{x} x [x]. |
||||||||||||||||||||||||||||
перевищує числа x, і позначають [x]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Середнє арифметичне. Середнім |
Середнє геометричне. Середнім |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
арифметичним чисел a1,a2,...,an |
геометричним чисел a1,a2,...,an |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a1 a2 ... an |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
називають число |
. |
називають число n a1a2...an . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2. Деякі важливі нерівності
Нерівності з модулем |
|
|
x y |
|
x |
|
|
y |
(нерівність |
|||||||||||||||||||||
|
трикутника); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
x y |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Нерівність Коші |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 ... an |
||||||||||||||||||||
n a a |
...a |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 2 |
|
n |
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Нерівність Бернуллі |
(1 h)n 1 nh,h 1,n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
0.3. Степені, корені, логарифми
Степені. |
|
|
Властивості степенів. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
n |
x x x (n |
); |
|
a |
x |
b |
|
x |
a b |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n разів |
|
|
|
xa |
|
|
xa b; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x0 1 (x 0); x1 |
x; |
xb |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x a |
1 |
(x 0,a ) |
(xa )b xab; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xa |
|
|
(xy)a |
xaya |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Арифметичний корінь n -го |
Властивості коренів. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степеня. Арифметичним коренем n - |
n |
|
|
n a; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
го степеня з невід’ємного числа x |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
називають таке невід’ємне число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a n |
|
, що |
|
|
am n n |
am |
,m ,n ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n a2n |
|
a |
|
, n ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Для від’ємних чисел x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2n 1 a2n 1 a, n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2n x не існує; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n 1 x 2n 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Логарифми. Логарифмом |
Властивості логарифмів. Для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
додатного числа x за основою |
x,y 0 правдиві співвідношення: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a (a 0,a 1) називають показник |
loga(xy) loga x loga y; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степеня, до якого потрібно піднести |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
loga |
|
x |
loga x loga y; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число a, щоб одержати число x, і |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
позначають loga x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
loga x b a |
b |
x. |
logar |
xp |
|
loga x; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||
loga 1 0, loga a 1. |
|
|
log |
|
|
ax |
x; |
|
|
aloga x x,x 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
log10 x lg x — десятковий |
loga x |
logb x |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
логарифм; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
logb a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
loge x ln x — натуральний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lnb |
lgb ; |
||||||||||||||||||||||
логарифм. |
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
logb a |
lna |
lga |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a loga x , x 0 |
|
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ |
7 |
0.4. Многочлени
Многочлен n -го степеня. P (x) a xn |
a xn 1 ... |
a |
x |
a . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|||
a0,a1,a2,...,an |
— коефіцієнти |
|
|
|
P0(x) a0 — стала; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
многочлена; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1(x) a0x a1 |
— лінійний двочлен; |
|||||||||||||||||
a xn — старший член многочлена; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
P (x) a x2 |
a x a |
|
— |
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
a0 |
— старший коефіцієнт; |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
квадратний тричлен. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
an |
|
— вільний член многочлена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Число x0 |
|
називають коренем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
многочлена Pn (x), якщо Pn(x0 ) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Властивості многочленів. |
|
|
|
Теорема Безу. Остача від ділення |
||||||||||||||||||||||||||
Два многочлени Pn (x) та Qm (x) |
|
многочлена Pn (x) на двочлен x a |
||||||||||||||||||||||||||||
|
дорівнює значенню цього многочлена |
|||||||||||||||||||||||||||||
тотожно рівні, якщо вони: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
для x |
a : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) однакового степеня (n m); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Pn (x) (x a)Qn 1(x) Pn (a). |
||||||||||||||||||||||||||
2) мають рівні коефіцієнти при |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Якщо x x0 — корінь многочлена |
||||||||||||||||||||||||||||
однакових степенях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Цілі корені многочлена з цілими |
|
Pn (x), то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
коефіцієнтами можуть бути лише |
|
|
|
|
|
|
Pn (x) (x x0 )Qn 1(x). |
|
||||||||||||||||||||||
дільниками його вільного члена. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Квадратний тричлен ax2 +bx +c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
D b2 4ac — дискримінант; x1, x2 |
— корені многочлена. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Вилучення повного квадрату. |
|
Розклад на множники. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
D |
|
|
ax2 bx c a(x x |
)(x x |
2 |
), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
ax |
|
bx |
c |
a x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
x1, x2 — корені многочлена. |
|
|
||||||||||||||||
Корені. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Вієта. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D 0 |
|
|
D 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
b |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
не має |
|
|
|
b |
|
D |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
коренів |
|
|
2a |
|
|
|
|
x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
0.5. Тригонометричні функції
Синус. Синусом числа t |
називають |
|
|
|
|
y |
|
Pt |
|
II |
y |
|
|
|
|
I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ординату точки Pt |
одиничного кола і |
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
позначають sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin(t 2 k) sint,k ; |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin( t) sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Косинус. Косинусом числа t |
|
|
|
|
|
|
y |
|
Pt |
|
II |
y |
|
|
|
|
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
називають абсцису точки Pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
одиничного кола і позначають cost. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos(t 2 k) cost,k , |
|
|
|
|
O |
cost 1 x |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( t) cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тангенс. Тангенсом числа t |
|
|
|
|
|
|
y |
tg t |
|
|
|
II |
y |
|
|
|
|
I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
називають ординату точки перетину |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
прямої x 1 (осі тангенсів) із |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
променем OPt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
1 x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg(t k) tg t,k |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg t |
|
|
sin t |
; |
|
|
|
|
tg( t) tg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Котангенс. Котангенсом числа t |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
y |
|
|
|
|
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
називають абсцису точки перетину |
|
|
|
|
|
|
Pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
прямої y 1 (осі котангенсів) із |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
променем OPt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
ctg t 1 x |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ctg(t k) ctg t,k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ctg t |
|
cost |
; |
|
|
ctg( t) ctg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«Стандартні» значення. |
|
|
Формули зведення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
cos x |
|
|
cos x |
sin x |
|
|
|
sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin |
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
sin x |
|
sin x |
cos x |
cos x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
cos |
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
ctg x |
|
ctg x |
tg x |
|
tg x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
tg |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
tg x |
|
tg x |
ctg x |
ctg x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ |
9 |
0.6. Тригонометричні формули
Основні тригонометричні |
Формули додавання. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
тотожності. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x y) sin x cos y sin y cos x; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin2 x cos2 x |
1; |
|
|
|
|
|
|
cos(x y) cos x cos y sin x sin y; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg x ctg x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x tg y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(x y) |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
1 tg2 x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1 tg x tg y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg(x y) |
ctg x ctg y 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 ctg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x ctg y |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Формули кратних аргументів. |
Формули зниження степеня. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2x 2 sin x cos x; |
sin2 |
x |
1 cos 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos 2x cos2 x sin2 x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
sin 3x 3 sin x 4 sin3 x; |
cos2 |
x |
1 cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos 3x |
4 cos3 |
x 3 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Формули половинного аргументу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
sin |
x |
|
|
1 cos x |
; |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
, t tg |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos |
x |
|
|
1 cos x |
; |
|
cos x |
|
1 t |
, t tg |
|
x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
tg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
tg x |
|
|
|
, t tg |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Перетворення добутку |
Перетворення суми |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометричних функцій у суму. |
тригонометричних функцій у добуток. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 sin x sin y cos(x y) cos(x y); |
sin x sin y 2 sin x y cos x y |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 cos x cos y cos(x y) cos(x y); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 sin x cos y sin(x y) sin(x y) |
cos x cos y 2 cos x y cos x y |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x cos y 2 sin x y sin y x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ |
|
|
|
|
||||||||||||
0.7. Обернені тригонометричні функції |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Арксинус. Арксинусом числа x |
|
Арккосинус. Арккосинусом числа x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
, синус |
називають число t |
0; |
, косинус |
|||||||
називають число t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
якого дорівнює x і позначають |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
якого дорівнює x, і позначають |
|
|
arccos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arcsin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos x t cos t x; |
|
|||||||
|
arcsin x t sin t |
x; |
|
cos(arccosx) x, x [ 1;1]; |
|
||||||||||||||
sin(arcsin x) x,x [ 1;1]; |
|
arccos( x) arccos x |
|
||||||||||||||||
|
arcsin( x) arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Арктангенс. Арктангенсом числа |
Арккотангенс. Арккотангенсом |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числа x називають число t 0; , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||
x називають число t |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
котангенс якого дорівнює x, і |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
тангенс якого дорівнює x, і |
|
|
|
|
позначають arcctg x. |
|
|
|
|
||||||||||
позначають arctg x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg x t ctg t x; |
|
|||||||||
|
arctg x t tg t |
|
x; |
|
|
ctg(arcctg x) x, x ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
tg(arctg x) x, x ; |
|
|
arcctg( x) arcctg x |
|
||||||||||||||
|
arctg( x) arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
«Стандартні» значення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
3 1 1 |
0 1 1 3 |
||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||||||
arcsin |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
6 |
|
|
6 |
|
4 |
3 |
2 |
|
3 |
4 |
6 |
|
6 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
arccos |
|
5 |
3 |
2 |
|
|
|
|
0 |
arcctg |
5 |
3 |
2 |
|
|
|
|
||
6 |
4 |
3 |
2 |
|
3 |
|
4 |
6 |
6 |
4 |
3 |
2 |
3 |
4 |
6 |
||||
Основні тотожності. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x arccos x |
|
arctg x arcctg x |
|
2 |
2 |